Matematik og teknologi

Den virkelige matematik, statistik, algoritmik og fysik bag Lotto Simulator – hentet fra den kode, der kører i appen.

Sådan læser du denne side

Hver formel nedenfor er hentet fra implementeringen, ikke fra en brochure. Hvor en komponent er en deterministisk regel eller en heuristik og ikke en formel, beskriver vi algoritmen præcis, som den kører, uden at opdigte matematik til den.

Lotto Simulator er et miljø til analyse, læring og simulering. Appen genererer kombinationer med seksten metoder, vurderer dem i en matematisk domstol med tolv jurymedlemmer, seks forsvarere og en Overdommer, tester ægte trækningshistorik for retfærdighed, analyserer kalendersammenfald og afspiller en fysisk 3D-lottotromle. Intet af dette ændrer sandsynligheden for noget tal i en officiel trækning – afsnit 8 forklarer hvorfor, med tal.

Notation, der bruges overalt

hvor

$N$: antallet af hovedtal, der vælges imellem (for eksempel 50 i Eurojackpot)
$k$: hvor mange hovedtal der trækkes og spilles (5 i Eurojackpot)
$B,\; b$: antallet af tal i den separate bonustalspulje og hvor mange bonustal der spilles (12 og 2 i Eurojackpot)
$D$: antallet af tidligere trækninger i det valgte analysevindue
$c_n$: hvor mange gange tallet $n$ forekom blandt hovedtallene i disse $D$ trækninger
$t = 0, 1, \dots$: trækningsindeks, nyeste først: $t = 0$ er den seneste trækning
$\binom{n}{r}$: binomialkoefficienten, antallet af måder at vælge $r$ elementer blandt $n$ på

1. Systemarkitektur

Én applikation, én kodebase: den samme webapp kører i browsere på computer og mobil og, uændret, i iOS- og Android-apperne (Capacitor WebView). Tunge og betalte beregninger kører på serveren; alt, hvad brugeren ser, tegnes på enheden.

Enhed (web, iOS, Android)Brugerflade, kupon og arbejdssæt, generatorens fire FREE-metoder, hyppighedsdiagrammer, χ²-test, kalendermatematik, 3D-tromle. Ren tilfældig og 3D-tromlen henter deres tilfældighed fra Web Crypto API.
Edge-funktioner (TypeScript, Deno)Generatorens tolv PRO-metoder, alle domstolens nitten modeller, de tolv jurymedlemmer, de seks forsvarere, Overdommeren, hjulsystemer og prognoseregistret. Domstolen kører på reproducerbare pseudotilfældige strømme med faste frø.
Database (PostgreSQL)Officielle trækningsresultater med regelversion, præmietabeller, konti og adgangsrettigheder, prognoseregistret, hvor poster kun kan tilføjes, og evalueringen af det.
DatapipelinePlanlagte job henter officielle resultater, validerer hver trækning mod de regler, der gjaldt, da den fandt sted, og udgiver datasættet efter de gældende regler.

Hvem beregner hvad

I browseren: FREE-metoderne (Hotte numre, Kombineret, Segmentdækning, Ren tilfældig) og al beskrivende statistik. Det offentlige build fjerner PRO-implementeringerne fysisk fra klienten: deres funktioner erstattes af stubbe, så et PRO-resultat kan kun komme fra serveren.
På serveren: alle PRO-metoder, hele den matematiske domstol og Overdommeren. En forespørgsel indeholder lotteriet, metoden, antallet af rækker (1–50) og analysevinduet; serveren henter selv trækningerne, så klienten ikke kan fodre den med opdigtet historik.
Regel om sikker afvisning: en servermodel skal have mindst 5 trækninger i det valgte analysevindue. Med færre afviser den forespørgslen med et udtrykkeligt svar om »utilstrækkelig historik« i stedet for at lave rækker ud af ingenting.

Reproducerbar beregning i domstolen

Hvert jurymedlem, hver forsvarer og hver model i domstolen kører på sin egen pseudotilfældige strøm, hvis frø er en hash af algoritmeversionen, personaen, lotteriet, hele trækningshistorikken og datoen for måltrækningen. De samme data giver derfor altid den samme kendelse, og enhver ændring i historikken ændrer alle strømmene.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Frøet til en beregning i domstolen og strømmen af uniforme tal, der trækkes fra det.

hvor

$v$: algoritmeversionen af domstolens motor
$\kappa$: nøglen til personaen eller modellen, for eksempel et jurymedlems identifikator
$H$: alle trækninger i vinduet, hovedtal og bonustal i rækkefølge
$g,\; d$: lotteriets identifikator og datoen for måltrækningen
$h_0$: startværdien (offset basis) i FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ hasher teksten $x$ med starttilstanden $h$
$u_i$: det $i$ -te uniforme tilfældige tal i strømmen

Lagring og oprindelse

Hver kombination har en oprindelsespost: kilden (generatormetode, jurymedlem, jurykonsensus, hjul, 3D-trækning, Overdommeren, manuel indtastning), de tal, den startede med, og en hændelseslog, hvor poster kun kan tilføjes, med vurderinger, forslag, forsvarernes holdninger, kendelser, beslutninger og transformationer (højst 200 hændelser). En post godkendes kun, hvis transformationerne, anvendt igen på de oprindelige tal, genskaber rækken præcist; ellers vises rækken, som om kilden ikke er tilgængelig.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Oprindelseskontrol: den aktuelle række R_m skal være lig med den oprindelige række R_0, efter at hver registreret udskiftning τ₁ … τₘ er anvendt i rækkefølge.

Afstamning: når en række redigeres i hånden, oprettes en ny post med den forrige som forælder (op til fire tidligere poster bevares), så historikken før den manuelle ændring forbliver synlig.
Prognoseregister: hver anbefaling (en genereret række, et jurymedlems udskiftning, en forsvarers holdning, en kendelse) skrives i et register før måltrækningen og evalueres automatisk efter det officielle resultat.

2. Hovedgeneratoren: seksten metoder

Generatoren har seksten valgmuligheder. Fire FREE-metoder kører i browseren, tolv PRO-metoder kører på serveren. Alle vælger $k$ forskellige tal fra $1..N$ plus lotteriets bonustal; de adskiller sig kun ved, hvordan tallene vægtes eller konstrueres.

Seriegeneratoren med antal, analysemetode og de tre standardfiltre — Generatorpanelet: metodevælgeren og standardfiltrene

Fælles byggesten

Vægtede metoder giver hvert tal en vægt $w_n \ge 0$ og trækker derefter sekventielt uden tilbagelægning: hvert valg fjerner tallet og normaliserer de resterende vægte igen.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Sekventiel vægtet udtrækning uden tilbagelægning, brugt af alle vægtbaserede metoder.

hvor

$x_j$: det $j$ -te tal, der vælges til rækken, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: metodens vægt for tallet $n$

Tilfældighed: i browseren bruger Ren tilfældig og unikhedstrinnet Web Crypto API, mens Hotte numre, Kombineret og Segmentdækning bruger browserens standardgenerator (Math.random). På serveren trækker metoderne på kryptografisk tilfældighed, undtagen Fysisk model (standardgenerator) og Kaos-frøet, som blander kryptografisk tilfældighed med en højopløselig timer. I browseren fås et heltal uden skævhed i $0..M-1$ med forkastelsesmetoden (rejection sampling), så ingen rest bliver favoriseret:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Forkastelsesmetoden: en kryptografisk 32-bitsværdi x trækkes igen, indtil den ligger under det største multiplum af M, og reduceres derefter modulo M.

Bonustal

Bonustallene (Eurojackpot 2 af 12, EuroMillions 2 af 12, Powerball 1 af 26, Mega Ball 1 af 24, Vikingtal 1 af 5, Powerball AU 1 af 20) trækkes fra deres egen pulje, uafhængigt af hovedtallene. Lotto, SuperEnalotto og Lotto Max har intet bonustal for spilleren: deres tillægstal trækkes af operatøren fra hovedtromlen.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Vægten w′ⱼ for bonustallet j med c′ⱼ forekomster for metoden μ: freq = Hotte numre; rnd, phys, chaos, world = Ren tilfældig, Fysisk model, Kaos og World-metoderne; alle andre metoder bruger c′ⱼ + 2. Med færre end 5 trækninger bruger alle metoder ens vægte.

FREE-filtre og unikhed

Rækker, der laves i browseren, passerer tre filtre, som er slået til som standard: ikke kun lige eller kun ulige tal; summen inden for et interval; ingen serie på mere end tre på hinanden følgende tal. En forkastet række erstattes af en uniformt tilfældig række, der består filtrene (dens bonustal trækkes med Bayes-vægtene $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Standardsuminterval. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, interval 73–183.

For at den samme kombination ikke udleveres to gange på samme enhed, identificeres hver FREE-række ved den leksikografiske rang af dens hovedtal blandt alle $\binom{N}{k}$ kombinationer og sammenlignes med de seneste 20 000 rækker, der er udstedt til det lotteri; en gentaget rang ændres med tilfældige ombytninger, og som sidste udvej tages den næste ubrugte rang fra en tilfældig affin permutation af alle rangene. En række, der er ændret på denne måde, kontrolleres ikke mod filtrene igen.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Den leksikografiske rang af en kombination og den affine gennemgang med fuld periode over alle range.

Kørselsveje for FREE og PRO

Vej	Metoder	Hvor den kører	Rækker pr. kørsel	Historik
FREE	Hotte numre, Kombineret, Segmentdækning, Ren tilfældig	browser	op til 5 (op til 50 for PRO-brugere)	FREE-vinduet med de seneste trækninger
PRO	de tolv andre metoder	server	op til 50	det valgte analysevindue, mindst 5 trækninger

Hotte numre

FREEI browseren

Formål: favorisere de tal, der forekom oftest i analysevinduet.

w_n = c_n + 0.05

Vægten af tallet n; med færre end 5 trækninger er alle vægte lig med 1.

Flere detaljer

Kombineret

FREEI browseren

Formål: blande varme, mellemste og kolde tal i et fast forhold.

Tallene sorteres efter $c_n$ (ved lighed kommer det mindste tal først) og deles i tredjedele af størrelsen $\lceil N/3 \rceil$ : varme, mellemste, kolde. Række $i$ tager uniforme valg fra hver tredjedel:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Række i tager h varme, mᵢ mellemste og cᵢ kolde tal; ulige og lige rækker bytter om på andelene af mellemste og kolde tal.

Flere detaljer

Segmentdækning

FREEI browseren

Formål: sprede en række jævnt over talområdet.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Ét uniformt tal fra hvert af k på hinanden følgende segmenter; det sidste segment tager resten.

Flere detaljer

Ren tilfældig

FREEI browseren

Formål: den ærlige reference – alle tal er lige sandsynlige.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

En kryptografisk Fisher–Yates-blanding giver hver kombination samme sandsynlighed før filtreringen.

Flere detaljer

Hjulmatrix

PROServer

Formål: bygge flere rækker, der tilsammen dækker så mange par som muligt fra en lille talgruppe – et grådigt dækningsdesign.

Gruppen har $\min(N, k+5)$ tal, hentet skiftevis fra den varme, den kolde og den mellemste tredjedel. Alle $\binom{|P|}{k}$ kombinationer af gruppen er kandidater (over 40 000 bruges en tilfældig stikprøve); hvert trin tilføjer kandidaten med den højeste score og markerer dens par som dækkede:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Grådig score for pardækning; ved lighed afgøres valget uniformt tilfældigt.

Flere detaljer

hvor

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: parrene i kandidatrækken $R$ og de par, der allerede er dækket af de valgte rækker
$u_n$: hvor mange af de allerede valgte rækker der indeholder tallet $n$
$[\,\cdot\,]$: er 1, hvis betingelsen er opfyldt, ellers 0

World Hot og World Combined

PROServer

Formål: overføre hyppighedsprofilen fra alle ni understøttede lotterier til det aktuelle lotteri.

Hvert trukket tal $x$ i hvert lotteri $g$ afbildes på sin relative position $q = (x-1)/(N_g - 1)$ og spredes med en smal gaussisk kerne ud over det aktuelle lotteris tal; hvert lotteri får samme vægt pr. trækning, og det aktuelle lotteris egen hyppighed lægges til én gang mere oveni:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

World-scoren for tallet n; X_g er alle hovedtal trukket i lotteriet g (op til 400 nylige trækninger efter de gældende regler, D_g trækninger).

Flere detaljer

World Hot: $k$ uniforme valg blandt de $\max(3k, 12)$ tal med den højeste score.
World Combined: $\lceil 0.45k \rceil$ fra den øverste tredjedel, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ fra den nederste tredjedel, resten fra midten. Bonustallene er uniforme.

Markov-kæder

PROServer

Formål: vægte tallene efter, hvor ofte de fulgte efter tallene i den forrige trækning.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplace-udglattet overgangssandsynlighed af første orden, midlet over den seneste trækning L.

Flere detaljer

hvor

$T(a \to b)$: hvor ofte tallet $b$ forekom i trækningen lige efter en trækning, der indeholdt $a$
$L$: hovedtallene i den seneste trækning

Gauss · den centrale grænseværdisætning

PROServer

Formål: bygge rækker med en typisk sum. Summen af $k$ tal trukket uden tilbagelægning har

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Middelværdi og varians for rækkesummen ved udtrækning uden tilbagelægning (erstattes af de empiriske værdier, når der findes mindst 5 summer).

Flere detaljer

Hvert tal vægtes med en gaussisk kurve omkring gennemsnitsværdien pr. position, og op til 40 kandidatrækker trækkes; den med summen tættest på $\mu$ vinder (søgningen stopper tidligt inden for $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Vægten pr. tal i Gauss-metoden.

Intervalmodel Δ

PROServer

Formål: efterligne afstandene mellem nabotal i ægte trækninger.

Fra de seneste 120 trækninger samler modellen det mindste tal i hver trækning og alle differenser mellem nabotal i sorteret rækkefølge. En række bygges som en tilfældig start plus tilfældige differenser; en række, der går ud over $N$ , forkastes (op til 300 forsøg, derefter en uniform række):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empirisk bootstrap af første tal og afstande; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) er trækningen t i sorteret rækkefølge.

Flere detaljer

Bayes · Dirichlet

PROServer

Formål: hyppighed med krympning mod den uniforme fordeling.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Posteriormiddelværdien for en symmetrisk Dirichlet(α)-prior opdateret med de observerede optællinger; metoden trækker med vægtene c_n + 3.

Flere detaljer

Gap-analyse

PROServer

Formål: favorisere tal, der ikke er kommet i lang tid.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n er indekset for den nyeste trækning, der indeholder n (0 = den seneste trækning); et tal, der aldrig er set, får D + ḡ.

Flere detaljer

Fysisk model af tromlen

PROServer

Formål: lade en forenklet 2D-simulering afgøre, i hvilken rækkefølge kuglerne kommer ud.

$N$ skiver med radius $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ bevæger sig i et enhedskvadrat med tilfældige vindstød, en konstant drift mod udløbet, dæmpning og elastiske kollisioner mellem lige store masser; en skive, der forlader kvadratet gennem udløbet midt i bundvæggen, er trukket.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Ét trin i 2D-modellen (y peger nedad, mod udløbet; højst 2400 trin). En skive kommer ud, når 0.43 < x < 0.57 ved bundvæggen; hvis færre end k skiver kommer ud, fuldføres rækken uniformt.

Flere detaljer

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Elastisk kollision mellem lige store masser: hastighedernes normalkomponenter byttes.

Kaos · logistisk afbildning

PROServer

Formål: vise, at et fuldstændig deterministisk system kan være uforudsigeligt.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Efter 100 indsvingningsiterationer fra et tilfældigt frø samles værdier, indtil k forskellige tal er fundet.

Flere detaljer

Kvantekollaps

PROServerEksperimentel

Formål: en modstrømsvægt, der favoriserer sjældent trukne tal.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Vægt med »hyppighedsbarriere«; de tilfældige tal kommer fra en buffer med kryptografiske 16-bitsværdier.

Flere detaljer

System af paradokser

PROServerEksperimentel

Formål: forskningsrækker bygget på kontraintuitive egenskaber ved tilfældige kombinationer. Fem arketyper bruges på skift:

Mængden: foretrækker tal over 31, når puljen har mindst 42 tal (fødselsdage slutter ved 31), med vægt 2.6 over grænsen og 0.28 under, ×1.1 for multipla af 10, og tvinger derefter mindst $\lceil 0.6k \rceil$ tal over grænsen. Færre spiller sådanne tal, så en gevinst skulle deles med færre – vinderchancen er uændret.
Sammenstød: halvdelen af rækken fra de hyppigste tal, resten fra dem, der har været væk længst.
Klynge: indeholder et par på hinanden følgende tal – en egenskab, der er langt mere almindelig i tilfældige trækninger, end intuitionen siger:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot omkring 35%, Lotto 7/34 omkring 78%.

Flere detaljer

Spejl: parrer $n$ med $N + 1 - n$ .
Regression: de tal, hvis nylige rate (seneste 10 trækninger) afviger mest fra deres langsigtede rate.

3. Den matematiske domstol

Domstolen vurderer en kombination, du allerede har. Jurymedlemmer og modeller kan foreslå at udskifte ét tal, forsvarerne argumenterer for eller imod hvert forslag, og Overdommeren afgør sagen ud fra et strukturelt felt af tidligere trækninger. Tallene ændres kun, når du beslutter det – og hvert trin bliver registreret.

Udvalget af de tolv jurymedlemmer omkring domstolens emblem — Juryen: tolv personaer, hver med sin egen matematiske strategi

Sagens gang

Forslag. Et jurymedlem eller en model gennemgår alle mulige enkeltudskiftninger i rækken og foreslår højst én udskiftning – eller foreslår at beholde rækken.
Forsvar. Forsvarerne tager stilling til hvert forslag: støtte, indsigelse eller protest. En forsvarer foreslår eller indsætter aldrig selv et tal.
Kendelse. Overdommeren godkender forslaget, tilbyder et alternativ eller beholder tallet ud fra det strukturelle felt af tidligere trækninger.
Beslutning. Kun du ændrer tal: accepter et forslag, følg forsvaret, accepter dommeren, behold originalen eller fortryd. Hver beslutning gemmes sammen med, hvem der traf den.

Fra en model til en præference pr. tal

Hver model reduceres til en relativ præference $\operatorname{rel}(n)$ for hvert tal, hvor 1 betyder »modellens gennemsnit«, sammen med en standardfejl. Modeller, der er defineret ved en eksplicit vægtvektor, er eksakte; de øvrige måles ved at køre dem:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Eksakt relativ præference for Hotte numre, Markov, Gauss, Bayes, Gap-analyse, Kvantekollaps, Kvante-astral og Strukturelt felt.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Monte Carlo-præference for procedurebaserede modeller: X₁ … X_R er R = 600 rækker fra modellen med faste frø (120 for den fysiske model). Konsensus midler i stedet over tre kørsler (se dens kort).

De nitten modeller

Domstolen bruger generatorens seksten metoder fra afsnit 2 plus tre egne modeller. Fire af dem bruger ingen historik og er registreret uden talpræference (Segmentdækning, Ren tilfældig, Fysisk model, Kaos); i praksis favoriserer Segmentdækning tallene i korte segmenter, når $k$ ikke går op i $N$ , og Kaos favoriserer kanterne af talområdet, som deres kort viser. To modeller er sammensatte (Konsensus og Strukturelt felt).

Model	Type	Grundlag
Hotte numre	vægte	$c_n + 0.05$
Kombineret	simuleret	varme / mellemste / kolde tredjedele
Segmentdækning	simuleret, uden historik	ét tal pr. segment
Ren tilfældig	simuleret, uniform	Fisher–Yates-blanding
Markov-kæder	vægte	udglattede overgange fra den seneste trækning
Gauss · den centrale grænseværdisætning	vægte	gaussisk kurve omkring $\mu/k$
Intervalmodel Δ	simuleret	bootstrap af afstande
Bayes · Dirichlet	vægte	$c_n + 3$
Gap-analyse	vægte	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Fysisk model	simuleret, uden historik	2D-simulering af skiver
Kaos	simuleret, uden historik	logistisk afbildning, skæv mod kanterne
Kvantekollaps	vægte, eksperimentel	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
System af paradokser	simuleret, eksperimentel	fem arketyper
Kvante-astral	vægte, eksperimentel	Månens stjernetegn og belysningsgrad
Hjulmatrix	simuleret	design til pardækning
World Hot	simuleret	kerneprofil på tværs af lotterier
World Combined	simuleret	kerneprofil på tværs af lotterier
Modelkonsensus	ensemble	14 medlemsmodeller
Strukturelt felt	sammensat	seks beskrivende komponenter

Strukturelt felt

Server

Feltet er Overdommerens målestok: en håndvægtet sammensætning af seks beskrivende komponenter. Hyppigheder, sammenhæng og pardækning divideres med deres maksimum over alle tal; fraværstid og typiskhed ligger allerede i $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Det strukturelle felts score for tallet n, fra 0 til 100.

Flere detaljer

hvor

$A_n,\ S_n$: hyppigheden i hele vinduet og i de seneste $\max(3, \min(10, D))$ trækninger
$G_n$: fraværstid, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: summen af lift-værdierne for par $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ over alle partnere $m$ , hvor $O_{nm}$ er antallet af trækninger, der indeholder begge
$T_n$: gennemsnitlig strukturel typiskhed for de trækninger, der indeholder $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , hvor $e$ er andelen af lige tal og $z_S$ den standardiserede sum
$P_n$: pardækning, det samlede antal parobservationer, der omfatter $n$

Modelkonsensus

Server

Fjorten medlemsmodeller i tolv familier producerer hver 10 rækker; et tal får point efter, hvor mange modeller og familier der valgte det, hvor ofte og hvor jævnt:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensusscore; domstolen midler over tre uafhængige kørsler og bruger spredningen mellem dem som standardfejl.

Flere detaljer

hvor

$M_n,\ F_n$: antallet af medlemsmodeller og modelfamilier, hvis rækker indeholder $n$
$f_n$: det samlede antal rækker, der indeholder $n$
$\operatorname{stab}_n$: gennemsnitligt antal forekomster pr. medlemsmodel, der valgte $n$ , divideret med 10

Kvante-astral model

ServerEksperimentel

En underholdningsmodel, der vægter tallene efter Månen på datoen for måltrækningen, plus en lille andel af det strukturelle felt:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kvante-astral vægt; σ ∈ {0,…,11} er stjernetegnet for Månens ekliptiske længde på datoen for måltrækningen, I er belysningsgraden i procent.

Flere detaljer

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Månens belysningsgrad i procent ud fra alderen A i den synodiske måned med længden P (døgn).

Sådan vurderer en model en række

For hver mulig udskiftning $a \to b$ – tallet $a$ forlader rækken, tallet $b$ kommer ind – beregner modellen gevinsten og støjen i den. En gevinst tæller kun, hvis den er statistisk tydelig; et tab tæller altid.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modelvurdering. Eksakte vægtmodeller har SE = 0, så deres gevinster tæller altid; udskiftningen kvalificerer, når effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Standardfejlen for en udskiftning i en simuleret model: den samlede andel under hypotesen om, at a og b er lige sandsynlige. For Konsensus er SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) over de tre kørsler; eksakte vægtmodeller har SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Bonferroni-korrigeret tærskel over alle k(N−k) mulige udskiftninger; Eurojackpot: 3.43.

Grundværdi $z$	Eurojackpot, 225 udskiftninger	Lotto 7/34, 189 udskiftninger
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

De tolv jurymedlemmer

Hvert jurymedlem har én strategi, egne kilder (modeller eller signaler fra historikken), en mindste effekt og et signifikansniveau. Et jurymedlems konklusion om en række er enten »behold« eller præcis én udskiftning; jurymedlemmerne kommer ikke med indsigelser eller protester – det er forsvarets rolle.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Numerisk gevinst ved en udskiftning ud fra jurymedlemmets vægtede kilder; λ = D/(D+40) for Eva Lind, ellers 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Effektiv værdi af en udskiftning. Den bedste kvalificerende udskiftning vinder (ved lighed: det mindste nye tal, derefter den tidligste position); findes der ingen, beholder jurymedlemmet rækken.

hvor

$\omega_m$: vægten af kilden $m$ i jurymedlemmets definition
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , med $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: jurymedlemmets signifikansniveau, korrigeret for $k(N-k)$ udskiftninger som i tabellen ovenfor
$\Delta \ell_c$: ændringen i log-likelihood for strukturkomponenten $c$ (nats)
$\Delta \Gamma$: ændringen i kuponens dækningsscore

Signaler beregnet ud fra historikken

Tre jurymedlemmer bruger signaler, der aflæses direkte fra trækningerne og ikke fra en generator. Med $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Hyppighedstest. Under retfærdige trækninger er Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), fordi tallene i én trækning er negativt korrelerede; division med det forventede antal Dp giver SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Replikation. Hyppighed i K disjunkte vinduer med s = ⌊D/K⌋ trækninger; fordelen skal overleve et fradrag på én standardfejl.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomali. Absolut afvigelse fra det forventede antal; √(1−2/π) er standardafvigelsen af |Z| for en standardnormalfordelt Z.

Struktur og dækning

Strukturkomponenterne sammenligner en række med profilen for tidligere trækninger: paritet, lav/høj, klynger og afstande er kategoriske med Laplace-udglatning; sum og spredning er gaussiske.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-likelihood: ℓ₁ kategorisk (paritet, lav/høj, klynger; J kategorier, n_j tidligere trækninger i kategori j), ℓ₂ gaussisk (sum, spredning), ℓ₃ afstande mellem nabotal.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Kupondækning: 𝒫′ er mængden af par i kuponens øvrige rækker; det andet led tæller, hvor mange tiergrupper i talfeltet rækken berører.

Eva Lind · Skarpskytte

Strategi: langsigtet hyppighed med bayesiansk krympning. Kilder: Bayes 0.8 + Hotte numre 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; ingen signifikanstest (eksakte vægte).

Regel: den bedste udskiftning er altid rækkens mindst hyppige tal → det hyppigste tal uden for rækken; den kvalificerer, når $\Delta \ge 0.12$ .

Flere detaljer

Maya Chen · Formarkitekt

Strategi: rækkens form. Kilder: Gauss 0.5 + Kombineret 0.5; strukturvægt 2 på paritet, lav/høj, sum, spredning og klynger; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regel: strukturleddet tæller altid, så en udskiftning, der bringer rækken tættere på den typiske form for tidligere trækninger, kan kvalificere alene på strukturen.

Flere detaljer

Clara Moretti · Anomalijæger

Strategi: anomalier i begge retninger. Kilde: anomalisignalet; afstandsstruktur 0.4, der kun tælles for en signifikant udskiftning; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

For anomalisignalet går gennemsnittet ud: kun forskellen mellem de absolutte afvigelser tæller.

Flere detaljer

Leila Haddad · Global observatør

Strategi: verdensprofilen. Kilder: World Hot 0.5 + World Combined 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; kræver data fra de andre lotterier.

Flere detaljer

Freya Olsen · Dækningsingeniør

Strategi: kupondækning uden talpræference. Ingen kilder; dækningsvægt 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Flere detaljer

Nora Blake · Seerske

Eksperimentel

Strategi: underholdningssystemet med astrologi for trækningsdatoen. Kilde: Kvante-astral; $E_{\min} = 0.05$ ; kræver en dato for måltrækningen.

Flere detaljer

Derek Cole · Kædemester

Strategi: overgange fra den seneste trækning. Kilde: Markov-kæder; afstandsstruktur 0.4, der altid tælles; $E_{\min} = 0.12$ . Fordi Markov-vægtene summerer til én, er $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Flere detaljer

Marcus Reed · Alarmsignal

Strategi: det længste fravær. Kilder: Gap-analyse 0.8 + Hotte numre 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; ingen signifikanstest.

Flere detaljer

Victor Moreau · Lottomaskinens fysiker

Strategi: en fysisk skævhed i tromlen ville gentage sig i hver periode. Kilde: replikation; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Støjgulvet forhindrer, at fire heldige vinduer ser signifikante ud.

Flere detaljer

Noah Bennett · Årvågen skeptiker

Strategi: forkaste ren tilfældighed på det strengeste niveau. Kilde: hyppighedstest; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Lukket form af Noahs teststørrelse.

Flere detaljer

Elias Berg · Tryllekunstner mod strømmen

Eksperimentel

Strategi: mod mængden – sjældnere tal. Kilder: Kvantekollaps 0.85 + System af paradokser 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Flere detaljer

Leo Fischer · Konsensusdirigent

Strategi: stabiliteten i modelkonsensus. Kilde: Konsensus (tre uafhængige kørsler); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Flere detaljer

Generering i juryen

Når juryen genererer en række i stedet for at vurdere en, trækker hvert jurymedlem 40 kandidatrækker ud fra sine egne vægte $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ og beholder den bedste efter

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Et jurymedlems stemmeseddel. Juryens række tager de k tal med flest stemmer; ved lighed afgør den højeste normaliserede støtte, derefter det mindste tal.

De seks forsvarere

Forsvarerne vurderer en foreslået udskiftning $n_c \to n_p$ – det aktuelle tal og det foreslåede, trukket $x_c$ og $x_p$ gange i $D$ trækninger – med deres egne signaler. Positive værdier taler for forslaget:

Signal	Definition
hyppighed	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
posterior	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, felt, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktur	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilitet	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ over seks på hinanden følgende perioder

Posteriorsandsynligheden beregnes eksakt, uden normalapproksimation:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Lukket form for betaposteriorer med heltallige parametre; betafunktionen bruger Lanczos-approksimationen af log-gamma.

Beslutningsregel for udskiftningen, hvor $\bar z$ er det vægtede gennemsnit af forsvarerens signaler:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

En forsvarers holdning ψ: S støtte, P protest, O indsigelse. χ = 1, når forsvarerens kontroller består: for støtte – enstemmige signaler, enighed fra et andet signal og strukturvetoet; for protest – kun enstemmighed og enighed.

Thomas Keller · Beskikket forsvarer

FREE

Signaler: hyppighed + Bayes + strukturelt felt, alle skal være enige; støtte ved 1, protest ved −1; kræver 20 trækninger, og med 5 til 19 trækninger arbejder han i en begrænset tilstand med Bayes + posterior.

Flere detaljer

Elena Rossi · Statistisk advokat

Signal: hyppighed, korrigeret for multiple sammenligninger; strukturveto ved −1; støtte og protest ved 1.96; mindst 30 trækninger.

Flere detaljer

Amelia Grant · Mod falsk sikkerhed

Signal: posteriorsandsynligheden for overlegenhed; støtte ved $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protest ved $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); mindst 10 trækninger.

Flere detaljer

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Holdning
30	1	7	0.987	støtte
30	4	3	0.354	indsigelse
30	5	2	0.128	protest
100	6	16	0.987	støtte

Julien Morel · Strukturadvokat

Signal: samlet ændring i de seks strukturelle log-likelihood-værdier; støtte ved 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protest ved 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); mindst 20 trækninger.

Flere detaljer

Ingrid Falk · Stabilitet over tid

Signal: sejre minus nederlag for det foreslåede tal over seks på hinanden følgende perioder; skal stemme overens med den samlede hyppighed; tærskel 1.5, altså mindst $W - L \ge 4$ ; mindst 30 trækninger.

Flere detaljer

Adrian Vega · Underholdningsastrologi

Eksperimentel

Signal: Kvante-astral-vægtene for datoen for måltrækningen; støtte og protest ved 0.5.

Flere detaljer

Overdommeren

Dommeren afgør et omstridt tal ved hjælp af det strukturelle felt $F$ , normaliseret til sit maksimum: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Et tal er svagt, hvis det ligger blandt feltets laveste 35%.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ er en ordensstørrelse af feltværdierne sorteret stigende; det aktuelle tal er svagt, når φ(n_c) < θ. Marginen m gælder, når mere end halvdelen af de forsvarere, der har taget stilling, protesterer.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Kendelsen V er det tal, dommeren beholder på positionen; den første linje, der passer, gælder. a* er tallet med den højeste feltværdi uden for rækken, som ikke er forslaget.

Overdommerens analyse og anbefaling

For hele rækker angiver dommeren en score for rækken og foreslår at udskifte op til $\lfloor k/2 \rfloor$ af de svageste tal under $\theta$ med de stærkeste tal uden for rækken. Du vælger selv, hvilke udskiftninger der skal gennemføres. Uden rækker giver dommeren en anbefaling: uniformt tilfældige udkast forbedres på samme måde og returneres med deres oprindelse.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Rækkescore i Overdommerens analyse.

Beslutninger, puljer og historik

Beslutninger: accepter forslaget, accepter forsvaret, accepter dommeren, behold originalen, fortryd. Tallene ændres kun, når du accepterer et forslag, accepterer en kendelse fra dommeren, der udskifter tallet, eller fortryder; hver ændring er en transformation i oprindelsesposten.
Massebeslutninger: højst én udskiftning pr. tal. »Accepter alle flertalsudskiftninger« gennemfører kun valg, som mere end halvdelen af de udvalgte jurymedlemmer har truffet; »Anvend alle forslag« tager for hvert tal flertallets valg, ellers det med flest stemmer, og springer uafgjorte tilfælde over.
Puljer: en vurdering af op til 50 rækker med den samme opstilling af personaer tæller som ét forsøg; rækker, der allerede er analyseret, springes over, og en afbrudt pulje fortsætter efter den samme plan.
Historik: hændelsestyperne er juryvurdering, modelvurdering, forslag, forsvarsvurdering, dommervurdering, beslutning og transformation; loggen rummer op til 200 hændelser og kasserer aldrig en transformation eller de seneste vurderinger.

Domstolen stilles til ansvar

Hver påstand skrives i prognoseregistret før trækningen og vurderes bagefter mod tilfældigheden. For påstande om $n_i$ tal med grundchancen $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H er antallet af træffere. En kilde rangeres kun med mindst 30 tal over mindst 3 trækninger.

4. 3D-tromlen: fysikmotoren

3D-trækningen er en realtidssimulering af stive legemer: kuglerne er legemer med masse, inerti, friktion og restitution, drevet af tyngdekraften, en omrørerrotor og et luftfelt, og den trukne kugle er den, der fysisk falder gennem udløbet. Det er en troværdig fysisk model af en tromle, ikke en optagelse af en ægte maskine.

SuperEnalotto-tromle med 90 kugler, der blandes, mens en kugle udvælges — 90 SuperEnalotto-kugler i det simulerede kammer

Motor og koordinater

Fysikken kører i Rapier 3D (version 0.14, WebAssembly); visningen bruger Three.js (r169). Koordinatsystemet er højrehåndet med $+y$ opad og origo i midten af kammeret; rotoraksen er den vandrette $x$ -akse, og $+z$ peger mod beskueren.

Kammer: en sfære med radius $R = 3.0$ enheder, bygget som et trekantsnet med indadvendte normaler og et cirkulært udløb i bunden (halv åbningsvinkel $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Kugler: sfærer med radius $r = 0.2$ og densitet 1; én kugle pr. tal, fra 5 til 90 kugler.
Rotor: en kinematisk aksel med seks arme, hvis kapselformede padler er dimensioneret til at stoppe 0.14 enheder fra glasset i rotationsplanet, plus en mindre trearmet rotor, der skifter retning mellem blandefaserne.
Spærre: en cylindrisk prop i udløbet, der fjernes, når en kugle må komme ud.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Masse, inertimoment og vægt for en kugle i modelenheder.

Skala og Froude-similaritet

Én modelenhed er 10 cm: en kugle på 40 mm er 0.4 enheder, og kammeret er en sfære på 600 mm. Tyngdekraften er reduceret til $30$ enheder/s² i stedet for de virkelige $98.1$ . Bevægelse, der domineres af tyngdekraft og inerti, ser ens ud, når Froude-tallet er det samme, så simuleringen svarer til en maskin i fuld størrelse med et langsommere ur:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Størrelser med mærke (′) hører til modellen. Samme Froude-tal ved samme længde: hastigheder skaleres med √γ og tider med 1/√γ.

Kræfter

Hver kugle følger Newtons anden lov med de kræfter, som koden faktisk anvender:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D luftmodstand, F_W analytisk væg, F_S sug ved udløbet, F_C kontakter med kugler, rotor og spærre (beregnet af Rapier); τ de tilhørende kraftmomenter. Rapier anvender også en lille lineær dæmpning og vinkeldæmpning, og hastighederne er begrænset til 22 enheder/s og 105 rad/s som sikkerhedsnet.

Luftfelt og kvadratisk luftmodstand

Blæseren er modelleret som et foreskrevet lufthastighedsfelt $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; hver kugle påvirkes af kvadratisk luftmodstand mod den lokale lufthastighed. Modstandskonstanten er fastlagt ud fra en sluthastighed på 48 enheder/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

I stille luft når en faldende kugle v_t = √(g/k_d) = 48 enheder/s, omkring 8.7 m/s i virkelig skala.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Central opstrømning: stærkest på aksen nær bunden (102 ved y = −3, 68 i midten, 34 i toppen); ρ_h er den vandrette afstand fra aksen.

Hvirvel: en vandret rotation på 11 enheder/s om den lodrette akse.
Indadgående strøm: uden for 60% af radius, op til $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ mod centrum, så kuglerne bliver ved med at cirkulere i stedet for at klæbe til glasset.
Turbulens: jævn tredimensional værdistøj (value noise) med amplitude 58, der driver i tid; det er en fast deterministisk funktion, ikke en tilfældighedsgenerator.
Vindstød mod stilstand: en kugle, der bliver for længe i bunden, i toppen, ved væggen eller næsten ubevægelig, får et lokalt vindstød lagt til lufthastigheden, som stadig virker gennem luftmodstanden.

Analytisk sfærisk væg

Ud over nettet håndhæves glasset som en eksakt sfære på hastighedsniveau, hvilket forhindrer tunnelering og giver korrekt rulning. Med udadvendt normal $\hat{\mathbf n}$ , udadgående hastighed $v_n$ og indtrængning $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulativ kontaktmargin v* og restitution e (e_b er kuglens restitution; nul under slækhastigheden, så en kugle i hvile ikke kan vibrere).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normalrespons, anvendes kun, hvis v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Coulomb-friktion i kontaktpunktet; s er den tangentielle glidehastighed v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35) med μ_b kuglens friktion.

Kontakter mellem legemer

Kontakterne kugle–kugle, kugle–rotor og kugle–spærre løses af Rapiers bånd-solver (constraint solver) med kontinuerlig kollisionsdetektion på kuglerne. Koefficienterne kombineres ved gennemsnit:

Par	Friktion	Restitution
kugle – kugle	0.16	0.55
kugle – glas	0.255	0.415
kugle – padle	0.19	0.525
kugle – arm eller aksel	0.17	0.35
kugle – spærre	0.23	0.375

Dæmpningen er lille under trækningen (lineær 0.05, vinkel 0.035) og kraftig, mens kuglerne falder til ro (2.4). Der er ingen parameter for rullemodstand: rulningen bremses kun af dæmpning og kontaktfriktion.

Tidsskridt og integration

Simuleringen går frem i faste skridt uafhængigt af skærmens opdateringshastighed; hvert billede kører så mange faste skridt, som realtiden kræver, højst fem:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Akkumulator med fast skridt: et billede med varigheden Δt_f kører n faste skridt (højst 5); hvert skridt deles i 2 Rapier-delskridt på h = 1/120 s med 6 solver-iterationer.

Inden for et delskridt opdaterer motoren hastighederne ud fra kræfterne og derefter positionerne ud fra de nye hastigheder – den semi-implicitte (symplektiske) Euler-metode, som impulsbaserede motorer bruger, vist her som det generelle princip:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Generel form: F er de påførte kræfter, F_c båndkræfterne (kontaktkræfterne), som Rapiers iterative solver finder.

Appens egne kræfter (luft, væg, sug) beregnes én gang pr. skridt ud fra tilstanden ved skridtets start og holdes konstante over begge delskridt. Rotoren er kinematisk og får nyt mål i hvert delskridt:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Eksponentiel tilnærmelse af rotorhastigheden mod målet; blandingen skifter cyklisk mellem 2.4, 2.9, 2.1 og 2.7 rad/s.

Sådan udvælges en kugle

Efter 1 s opstart og 2.6 s blanding åbner spærren. Mens udløbet er åbent, aftager opstrømningen over det jævnt, den centrale stråle reduceres til 62%, og et sug på omkring 2.2 kuglevægte (omkring 4 efter 5 s) trækker kugler nær udløbet:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Sug nær udløbet (y < −1.6 og vandret afstand < 0.6); t_c er tiden, siden spærren åbnede.

Den trukne kugle er den første, hvis centrum falder under $y = -3.18$ ; hvis flere gør det i samme skridt, den laveste. Der bruges intet tilfældigt tal i det øjeblik. De tilfældige tal i en trækning er kuglernes startplacering og en lille starthastighed og startrotation, hentet fra Web Crypto API (igen, når en separat bonustalspulje indlæses). Kuglen bevæger sig derefter ad udgangsbanen til kuglestativet; den bevægelse er scriptet, ikke simuleret.

Visning, simulering og tilfældighed

Simulering: faste skridt på 1/60 s; kvalitetsniveauerne (ultra, høj, middel, lav) ændrer kun skygger, bloom, opløsning og nettenes detaljeniveau, aldrig fysikken.
Visning: hvert billede viser det senest fuldførte skridt; der er ingen interpolation mellem skridtene.
Tilfældighed: kræfterne er deterministiske; udfaldet afhænger af startplaceringen og, fra og med den anden kugle, også af, hvor lang tid visningen af den forrige kugle tager på enheden, så en trækning kan ikke afspilles præcist igen.

5. Statistik over ægte trækninger

Analyseskærmene beskriver historiske trækninger. De svarer på »hvad skete der« og »er dette foreneligt med et retfærdigt lotteri«, aldrig på »hvad vil der ske«.

Hyppigheder, varme og kolde tal

For hvert tal tæller appen forekomsterne i vinduet og viser dem ved siden af det forventede antal i et retfærdigt lotteri; standardafvigelsen er angivet her som reference:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Forventet antal (vises i appen) og dets standardafvigelse (reference) for ét tal over D uafhængige trækninger.

Varme og kolde: de fem hyppigste og de fem mindst hyppige tal, hver med sit forventede antal (kræver mindst 5 trækninger).
Hyppighedssøjler: røde, når et tals andel overstiger 1.3 gange den forventede andel, blå under 0.7 gange.
Varmekort: farve efter min–maks-normalisering $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Varmekort over de 50 hovedtal i Eurojackpot, farvet fra blå til rød — Varmekort: farven viser kun tidligere hyppighed

Retfærdighedstest: χ² med korrektion

χ²-testen undersøger, om optællingerne er forenelige med lige store sandsynligheder. I én trækning tages de $k$ tal uden tilbagelægning, hvilket gør optællingerne negativt korrelerede; den almindelige multinomiale teststørrelse bliver da for lille, og appen korrigerer den:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pearsons teststørrelse med korrektion for udtrækning uden tilbagelægning; kræver mindst 10 trækninger.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regulariseret øvre ufuldstændig gammafunktion, beregnet med rækkeudvikling og kædebrøk.

p-værdi	Vurdering
$p > 0.05$	ingen signifikant afvigelse
$0.01 < p \le 0.05$	afvigelse i grænseområdet
$p \le 0.01$	statistisk signifikant afvigelse

Positionel Q-test

Med mindst 30 komplette trækninger tester appen også gennemsnittet for hver sorteret position (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). Det $i$ -te mindste af $k$ tal trukket fra $1..N$ har middelværdi og kovarians

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ er vektoren af forskelle mellem de observerede positionsgennemsnit og μ over m trækninger.

Par, sammenligninger og kontroller

Par: en 12 × 12-matrix over, hvor ofte de 12 hyppigste tal forekom sammen (mindst 10 trækninger). Det er rå optællinger; som reference er det forventede antal for et givet par i retfærdige trækninger $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Sammenligning af lotterier: jackpotchance, pris og prisen for at købe alle kombinationer.
Kontrol af matematikken: appen genberegner $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ og sammenligner med den gemte konstant, og den kontrollerer analysevinduets trækninger for værdier uden for talområdet, forkert antal kugler og dublerede datoer.
Præmierækker: officielle præmietabeller pr. trækning. Trækningsbilledet viser gennemsnittet af de seneste 60 ægte præmietabeller; kun for et lotteri helt uden præmiedata anslås antallet af vindere ud fra præmierækkernes sandsynligheder i afsnit 8 og en antaget omsætning, så de tal er kun illustrative.

Simulering af et helt livs spil

50-årssimuleringen bruger sandsynligheden for mindst én jackpot på $T$ uafhængige rækker:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Sandsynligheden for mindst én jackpot på T rækker; C er antallet af jackpotkombinationer, d trækninger pr. uge, r rækker pr. trækning.

6. Kalenderanalyse

Kalenderanalysen leder efter sammenfald mellem trækningsdatoer og trukne tal – for eksempel at dagen i måneden er blandt kuglerne – og sammenligner hver observeret andel med den andel, ren tilfældighed ville give.

Udvalg af trækninger

Trækningerne kan filtreres efter år, måned, samme måned på tværs af alle år eller et datointerval og efter regelperiode. Hyppighedslisterne (varme, kolde, længst væk) bruger rå optællinger i udvalget; et tal, der er umuligt i alle de valgte perioder, udelades, og et udvalg, der blander perioder, markeres med en advarsel, fordi et tal, der kun er gyldigt i den nyere periode, ser fejlagtigt »koldt« ud. Datoreglerne nedenfor tager højde for regelperioderne: en trækning tæller kun for en regel, hvis mindst én kandidat er et gyldigt tal efter reglerne for netop den trækning.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Observeret andel for en datoregel: C_t er kandidattallene for trækningen t, X_t dens trukne tal, Ω_t de gyldige tal efter dens regler; ℰ er de kvalificerede trækninger.

Ti datoregler

Regel	Kandidattal for en trækning den DD.MM.ÅÅÅÅ
dag	DD
måned	MM
år	ÅÅÅÅ mod 100
time	trækningens klokketime, hvor operatøren offentliggør den
årets cifre	de forskellige cifre i ÅÅÅÅ
årets tværsum	summen af cifrene i ÅÅÅÅ
tværsum af tocifret år	summen af cifrene i ÅÅÅÅ mod 100
dagens tværsum	summen af cifrene i DD
datoens tværsum	summen af alle cifre i DD, MM og ÅÅÅÅ
itereret tværsum	datoens tværsum reduceret til ét ciffer

En kandidat lig med 0 ignoreres, og en trækning tæller kun én gang for en regel, selv om flere af dens tal rammer.

Tilfældig forventning

For en trækning af $k$ tal blandt $S$ mulige værdier og en mængde på $m$ kandidattal er sandsynligheden for, at ingen kandidat trækkes, hypergeometrisk:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: ingen kandidat trækkes; P≥1: mindst én trækkes. Kandidater uden for talområdet i trækningens regelperiode kasseres.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Forventet træfandel r̂ over de kvalificerede trækninger ℰ, hver med sin egen regelperiode; P^M og P^B for hovedtal og bonustal kombineres som uafhængige.

Kalendertræf med observerede andele ved siden af den tilfældige forventning — Kalendertræf sammenlignet med tilfældigheden

Fortolkning af andelene

Par vises fra 30 trækninger og tripler fra 120 (kun kombinationer, der er set mindst to gange, de ti hyppigste); under 100 trækninger vises en advarsel om lille stikprøve. Med 100 trækninger har en andel nær 20% stadig et 95%-interval på omkring $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ procentpoint.

7. Historisk arkiv og regelperioder

Lotterier ændrer deres regler. En trækning giver kun mening sammen med de regler, der gjaldt på datoen, så hver gemt trækning bærer sin regelversion.

Regelperioder

Lotteri	Perioder (hovedtal · bonustal)
Lotto (Norge)	7/34 + 3 tillægstal → 7/34 + 1 tillægstal (fra 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + tillægstal og lykketal → Vikingtal 1–8 (2017) → 1–5 (fra 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (fra 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (fra 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (fra 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (fra 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly siden 1997; SuperStar er en separat tromle og indgår ikke i modellerne
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (fra 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (fra 19.04.2018)

Kompatibilitetsregel

Modeller og analyser bruger kun trækninger, der er sammenlignelige med de nuværende regler. To perioder sammenlignes gruppe for gruppe:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Perioden e er sammenlignelig for hovedtallene, når antal og talområde stemmer (venstre), og for bonustallene, når hver bonusgruppe 𝓑 stemmer (højre). En trækning med sammenlignelige hovedtal, men andre bonusregler beholder sine hovedtal og mister sine bonustal.

Eurojackpot-historik med kortet for perioden med de gældende regler og trækninger markeret med deres regelversion — Arkivet markerer hver trækning med dens regelperiode

8. Sandsynlighed og begrænsninger

Hver officiel trækning er et uafhængigt tilfældigt eksperiment. Ingen historik, model, domstol eller simulering ændrer sandsynligheden for nogen kombination.

Jackpotsandsynlighed

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Jackpotsandsynligheden for én række efter de gældende regler (til højre: Eurojackpot); lotterier uden bonustal for spilleren bruger kun den første faktor.

Lotteri	Regler	Jackpotchance
Lotto (Norge)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Alle præmierækker

At ramme præcis $i$ af de $k$ hovedtal og $j$ af de $b$ bonustal er et produkt af to hypergeometriske sandsynligheder:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

For et tillægstal trukket fra samme tromle (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) er den anden faktor (k−i)/(N−k) for »+1«.

Præmierække i Eurojackpot	Chance
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Hvorfor ingen metode kan slå tilfældigheden

Hvis trækningerne er uafhængige, og alle kombinationer er lige sandsynlige, er den betingede sandsynlighed for den næste trækning givet en hvilken som helst historik den samme som uden den, og det forventede antal ramte hovedtal er det samme for hver række, uanset hvordan den blev lavet:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H er antallet af ramte hovedtal i en række. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 pr. række for alle metoder.

Åbn Lotto Simulator