Matemātika un tehnoloģijas

Īstā matemātika, statistika, algoritmi un fizika, uz kuriem balstās Lotto Simulator, — ņemti tieši no koda, kas darbojas lietotnē.

Atvērt Lotto Simulator

Kā lasīt šo lapu

Katra turpmākā formula ir pārņemta no implementācijas, nevis no reklāmas brošūras. Ja kāda komponente ir deterministisks noteikums vai heiristika, nevis formula, mēs aprakstām algoritmu tieši tā, kā tas darbojas, un neizdomājam tam matemātiku.

Lotto Simulator ir analītiska, izglītojoša un simulācijas vide. Tā ģenerē kombinācijas ar sešpadsmit metodēm, izvērtē tās Matemātiskajā tiesā, kurā darbojas divpadsmit zvērinātie, seši aizstāvji un Augstākais tiesnesis, pārbauda reālu izložu vēsturi godīguma ziņā, analizē kalendāra sakritības un atveido fiziskas 3D loterijas bungas. Nekas no tā nemaina neviena skaitļa varbūtību oficiālajā izlozē — 8. sadaļa skaitļos paskaidro, kāpēc.

Lapā lietotie apzīmējumi

kur

$N$: galveno skaitļu kopas lielums (piemēram, 50 loterijā Eurojackpot)
$k$: cik galveno skaitļu tiek izlozēts un spēlēts (Eurojackpot — 5)
$B,\; b$: atsevišķās bonusa skaitļu kopas lielums un spēlēto bonusa skaitļu skaits (Eurojackpot — 12 un 2)
$D$: pagātnes izložu skaits izvēlētajā analīzes logā
$c_n$: cik reižu skaitlis $n$ parādījies starp šo $D$ izložu galvenajiem skaitļiem
$t = 0, 1, \dots$: izlozes indekss, sākot ar jaunāko: $t = 0$ ir pēdējā izloze
$\binom{n}{r}$: binomiālais koeficients — veidu skaits, kā izvēlēties $r$ elementus no $n$

1. Sistēmas arhitektūra

Viena lietotne, viena koda bāze: tā pati tīmekļa lietotne darbojas datoru un mobilo ierīču pārlūkos un bez izmaiņām arī iOS un Android lietotnēs (Capacitor WebView). Smagie un maksas aprēķini notiek serverī; viss, ko lietotājs redz, tiek attēlots ierīcē.

Ierīce (tīmeklis, iOS, Android)Saskarne, biļete un darba kopas, četras FREE ģeneratora metodes, biežuma diagrammas, χ² tests, kalendāra matemātika, 3D bungas. „Tīri nejauši” un 3D bungas nejaušību iegūst no Web Crypto API.
Edge funkcijas (TypeScript, Deno)Divpadsmit PRO ģeneratora metodes, visi deviņpadsmit tiesas modeļi, divpadsmit zvērinātie, seši aizstāvji, Augstākais tiesnesis, riteņu matricu shēmas, prognožu reģistrs. Tiesa darbojas ar sēklotām, atkārtojamām pseidogadījuma plūsmām.
Datubāze (PostgreSQL)Oficiālie izložu rezultāti ar to noteikumu versiju, laimestu tabulas, konti un piekļuves tiesības, tikai papildināmais prognožu reģistrs un tā novērtējums.
Datu konveijersPlānoti uzdevumi savāc oficiālos rezultātus, pārbauda katru izlozi pret tās laikmeta noteikumiem un publicē datu kopu atbilstoši pašreizējiem noteikumiem.

Kas ko aprēķina

Pārlūkā: FREE metodes („Karstie numuri”, „Apvienots”, „Segmentu pārklājums”, „Tīri nejauši”) un visa aprakstošā statistika. Publiskajā būvē PRO implementācijas no klienta tiek fiziski izņemtas: to funkcijas aizstātas ar aizbāžņiem, tāpēc PRO rezultāts var nākt tikai no servera.
Serverī: visas PRO metodes, visa Matemātiskā tiesa un Augstākais tiesnesis. Pieprasījumā norāda loteriju, metodi, rindu skaitu (1–50) un analīzes logu; izlozes serveris ielādē pats, tāpēc klients nevar tam iebarot izdomātu vēsturi.
Drošās atteices noteikums: servera modelim izvēlētajā analīzes logā vajadzīgas vismaz 5 izlozes. Ja to ir mazāk, modelis atsakās ar skaidru atbildi „nepietiekama vēsture”, nevis rada rindas no nekā.

Atkārtojams tiesas aprēķins

Katrs zvērinātais, aizstāvis un modelis tiesā darbojas ar savu pseidogadījuma plūsmu, kuras sēkla ir jaucējvērtība no algoritma versijas, personāža, loterijas, pilnās izložu vēstures un mērķa izlozes datuma. Tāpēc vieni un tie paši dati vienmēr dod vienu un to pašu spriedumu, bet jebkura izmaiņa vēsturē maina visas plūsmas.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Tiesas aprēķina sēkla un no tās iegūtā vienmērīgi sadalīto skaitļu plūsma.

kur

$v$: tiesas dzinēja algoritma versija
$\kappa$: personāža vai modeļa atslēga, piemēram, zvērinātā identifikators
$H$: visas loga izlozes — galvenie un bonusa skaitļi pēc kārtas
$g,\; d$: loterijas identifikators un mērķa izlozes datums
$h_0$: FNV-1a sākuma vērtība (offset basis); $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ aprēķina teksta $x$ jaucējvērtību, sākot no stāvokļa $h$
$u_i$: plūsmas $i$ -tais vienmērīgi sadalītais gadījumskaitlis

Saglabāšana un izcelsme

Katrai kombinācijai ir izcelsmes ieraksts: tās avots (ģeneratora metode, zvērinātais, zvērināto konsenss, riteņu matrica, 3D izloze, Augstākais tiesnesis, manuāla ievade), sākotnējie skaitļi un tikai papildināms notikumu žurnāls ar izvērtējumiem, priekšlikumiem, aizstāvju nostājām, spriedumiem, lēmumiem un transformācijām (ne vairāk kā 200 notikumu). Ieraksts tiek pieņemts tikai tad, ja, no jauna piemērojot tā transformācijas sākotnējiem skaitļiem, rinda tiek iegūta precīzi; pretējā gadījumā rinda tiek rādīta kā tāda, kuras avots nav pieejams.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Izcelsmes pārbaude: pašreizējai rindai R_m jāsakrīt ar sākotnējo rindu R_0, kurai secīgi piemērotas visas reģistrētās aizstāšanas τ₁ … τₘ.

Izcelsmes ķēde: ja rindu rediģē manuāli, tiek izveidots jauns ieraksts, kura vecāks ir iepriekšējais (saglabājas līdz četriem agrākiem ierakstiem), tāpēc vēsture pirms manuālās izmaiņas paliek redzama.
Prognožu reģistrs: katrs ieteikums (ģenerēta rinda, zvērinātā aizstājums, aizstāvja nostāja, spriedums) tiek ierakstīts reģistrā pirms mērķa izlozes un pēc oficiālā rezultāta automātiski novērtēts.

2. Galvenais ģenerators: sešpadsmit metodes

Ģenerators piedāvā sešpadsmit metodes. Četras FREE metodes darbojas pārlūkā, divpadsmit PRO metodes — serverī. Visas tās izvēlas $k$ dažādus skaitļus no $1..N$ un loterijas bonusa skaitļus; tās atšķiras tikai ar to, kā skaitļi tiek svērti vai konstruēti.

Sērijas ģenerators ar daudzumu, analīzes metodi un trim noklusējuma filtriem — Ģeneratora panelis: metodes izvēle un noklusējuma filtri

Kopīgie pamatelementi

Svērtās metodes katram skaitlim piešķir svaru $w_n \ge 0$ un pēc tam izvēlas skaitļus secīgi bez atgriešanas: katra izvēle izņem skaitli, un atlikušie svari tiek normēti no jauna.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Secīga svērtā izlase bez atgriešanas, ko izmanto visas uz svariem balstītās metodes.

kur

$x_j$: rindai izvēlētais $j$ -tais skaitlis, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: metodes piešķirtais skaitļa $n$ svars

Nejaušība: pārlūkā „Tīri nejauši” un unikalitātes solis izmanto Web Crypto API, bet „Karstie numuri”, „Apvienots” un „Segmentu pārklājums” — pārlūka standarta ģeneratoru (Math.random). Serverī metodes izmanto kriptogrāfisku nejaušību, izņemot fizisko modeli (standarta ģenerators) un haosa sēklu, kas jauc kriptogrāfisku nejaušību ar augstas izšķirtspējas taimeri. Pārlūkā nenovirzītu veselu skaitli no $0..M-1$ iegūst ar noraidīšanas izlasi, tāpēc neviens atlikums netiek favorizēts:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Noraidīšanas izlase: 32 bitu kriptogrāfisko vērtību x izvelk no jauna, līdz tā kļūst mazāka par lielāko M daudzkārtni, un pēc tam ņem pēc moduļa M.

Bonusa skaitļi

Bonusa skaitļi (Eurojackpot 2 no 12, EuroMillions 2 no 12, Powerball 1 no 26, Mega Ball 1 no 24, Viking skaitlis 1 no 5, Powerball AU 1 no 20) tiek izlozēti no savas kopas neatkarīgi no galvenajiem skaitļiem. Loterijās Lotto, SuperEnalotto un Lotto Max spēlētājam bonusa skaitļa nav: to papildbumbiņu operators izlozē no galvenajām bungām.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Bonusa skaitļa j svars w′ⱼ ar bonusa skaitījumu c′ⱼ metodei μ: freq = „Karstie numuri”; rnd, phys, chaos, world = „Tīri nejauši”, fiziskais modelis, haoss un pasaules metodes; visas pārējās metodes izmanto c′ⱼ + 2. Ja izložu ir mazāk par 5, visas metodes izmanto vienādus svarus.

FREE filtri un unikalitāte

Pārlūkā radītās rindas iziet caur trim filtriem, kas pēc noklusējuma ir ieslēgti: ne visi skaitļi ir pāra vai visi nepāra; summa ir noteiktā diapazonā; nav sērijas, kas garāka par trim secīgiem skaitļiem. Noraidītu rindu aizstāj ar vienmērīgi nejaušu rindu, kas iziet filtrus (tās bonusa skaitļus izlozē ar Beijesa svariem $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Noklusējuma summas diapazons. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, diapazons 73–183.

Lai vienā ierīcē vienu un to pašu kombināciju neizsniegtu divreiz, katru FREE rindu identificē pēc tās galveno skaitļu leksikogrāfiskā ranga starp visām $\binom{N}{k}$ kombinācijām un salīdzina ar pēdējām 20 000 šai loterijai izsniegtajām rindām; atkārtotu rangu maina ar nejaušām apmaiņām, un galējā gadījumā nākamo neizmantoto rangu ņem no visu rangu nejaušas afīnas permutācijas. Šādi mainītu rindu filtri atkārtoti nepārbauda.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Kombinācijas leksikogrāfiskais rangs un pilna perioda afīnā pārstaigāšana pa visiem rangiem.

FREE un PRO izpildes ceļi

Ceļš	Metodes	Kur darbojas	Rindas vienā palaišanā	Vēsture
FREE	„Karstie numuri”, „Apvienots”, „Segmentu pārklājums”, „Tīri nejauši”	pārlūkā	līdz 5 (PRO lietotājiem līdz 50)	jaunāko izložu FREE logs
PRO	pārējās divpadsmit metodes	serverī	līdz 50	izvēlētais analīzes logs, vismaz 5 izlozes

Karstie numuri

FREEPārlūkā

Mērķis: dot priekšroku skaitļiem, kas analīzes logā parādījušies visbiežāk.

w_n = c_n + 0.05

Skaitļa n svars; ja izložu ir mazāk par 5, visi svari ir vienādi ar 1.

Sīkāka informācija

Apvienots

FREEPārlūkā

Mērķis: sajaukt karstos, vidējos un aukstos skaitļus fiksētā proporcijā.

Skaitļus sakārto pēc $c_n$ (vienādu vērtību gadījumā pirmais ir mazākais skaitlis) un sadala trešdaļās ar izmēru $\lceil N/3 \rceil$ : karstie, vidējie, aukstie. Rinda $i$ no katras trešdaļas ņem vienmērīgi izvēlētus skaitļus:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Rinda i ņem h karstos, mᵢ vidējos un cᵢ aukstos skaitļus; nepāra un pāra rindās vidējo un auksto skaitļu daļas samainās vietām.

Sīkāka informācija

Segmentu pārklājums

FREEPārlūkā

Mērķis: vienmērīgi izkliedēt rindu pa visu skaitļu diapazonu.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Pa vienam vienmērīgi izvēlētam skaitlim no katra no k secīgiem segmentiem; pēdējais segments ietver atlikumu.

Sīkāka informācija

Tīri nejauši

FREEPārlūkā

Mērķis: godīgs atskaites punkts — visi skaitļi vienlīdz varbūtīgi.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Kriptogrāfiska Fisher–Yates sajaukšana pirms filtrēšanas piešķir katrai kombinācijai vienādu varbūtību.

Sīkāka informācija

Riteņu matrica

PROServerī

Mērķis: izveidot vairākas rindas, kas kopā pārklāj pēc iespējas vairāk nelielas skaitļu kopas pāru, — alkatīga pārklājuma shēma.

Kopā ir $\min(N, k+5)$ skaitļi, kas pārmaiņus ņemti no karstās, aukstās un vidējās trešdaļas. Visas kopas $\binom{|P|}{k}$ kombinācijas ir kandidātes (ja to ir vairāk par 40 000, izmanto nejaušu izlasi); katrā solī pievieno kandidāti ar labāko vērtējumu un tās pārus atzīmē kā pārklātus:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Alkatīgais pāru pārklājuma vērtējums; vienādu vērtējumu gadījumā izvēle ir vienmērīgi nejauša.

Sīkāka informācija

kur

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: kandidātrindas $R$ pāri un jau izvēlēto rindu pārklātie pāri
$u_n$: cik jau izvēlēto rindu satur skaitli $n$
$[\,\cdot\,]$: vienāds ar 1, ja nosacījums izpildās, citādi 0

Pasaules karstais un Pasaules kombinētais

PROServerī

Mērķis: pārnest visu deviņu atbalstīto loteriju biežuma profilu uz pašreizējo loteriju.

Katru izlozēto skaitli $x$ no katras loterijas $g$ attēlo tā relatīvajā pozīcijā $q = (x-1)/(N_g - 1)$ un ar šauru Gausa kodolu izkliedē pa pašreizējās loterijas skaitļiem; katrai loterijai vienā izlozē ir vienāds svars, un virsū vēl vienreiz pieskaita pašreizējās loterijas pašas biežumu:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Skaitļa n pasaules vērtējums; X_g ir visi loterijā g izlozētie galvenie skaitļi (līdz 400 jaunākajām izlozēm pēc pašreizējiem noteikumiem, D_g izlozes).

Sīkāka informācija

Pasaules karstais: $k$ vienmērīgas izvēles no $\max(3k, 12)$ skaitļiem ar augstāko vērtējumu.
Pasaules kombinētais: $\lceil 0.45k \rceil$ no augšējās trešdaļas, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ no apakšējās trešdaļas, pārējie no vidējās. Bonusa skaitļi ir vienmērīgi.

Markova ķēdes

PROServerī

Mērķis: svērt skaitļus pēc tā, cik bieži tie sekojuši iepriekšējās izlozes skaitļiem.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Ar Laplasa metodi izlīdzināta pirmās kārtas pārejas varbūtība, vidējota pa pēdējo izlozi L.

Sīkāka informācija

kur

$T(a \to b)$: cik bieži skaitlis $b$ parādījās izlozē tūlīt pēc izlozes, kurā bija $a$
$L$: pēdējās izlozes galvenie skaitļi

Gauss · centrālā robežteorēma

PROServerī

Mērķis: veidot rindas ar tipisku summu. $k$ bez atgriešanas izlozētu skaitļu summai ir

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Rindas summas vidējā vērtība un dispersija izlasē bez atgriešanas (ja ir vismaz 5 summas, tās aizstāj ar empīriskajām vērtībām).

Sīkāka informācija

Katru skaitli sver ar Gausa funkciju ap vidējo vērtību uz vienu pozīciju, un tiek izvilktas līdz 40 kandidātrindām; uzvar tā, kuras summa ir vistuvāk $\mu$ (meklēšana beidzas agrāk, ja novirze ir $0.5\sigma$ robežās):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Gausa metodes svars katram skaitlim.

Intervāla modelis Δ

PROServerī

Mērķis: atdarināt attālumus starp blakus esošiem skaitļiem reālās izlozēs.

No pēdējām 120 izlozēm tiek savākts katras izlozes mazākais skaitlis un visas starpības starp blakus esošiem sakārtotiem skaitļiem. Rindu veido kā nejaušu sākumu plus nejaušas starpības; rindu, kas pārsniedz $N$ , noraida (līdz 300 mēģinājumiem, pēc tam ņem vienmērīgu rindu):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Pirmo skaitļu un atstarpju empīriskais butstreps; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) ir sakārtota izloze t.

Sīkāka informācija

Bayes · Dirihlē

PROServerī

Mērķis: biežums ar saraušanu (shrinkage) vienmērīgā sadalījuma virzienā.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Simetriska Dirihlē(α) apriorā sadalījuma aposteriorā vidējā vērtība, atjaunināta ar novērotajiem skaitījumiem; metode izvēlas ar svariem c_n + 3.

Sīkāka informācija

Atstarpju analīze

PROServerī

Mērķis: dot priekšroku skaitļiem, kas nav parādījušies ilgu laiku.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n ir jaunākās izlozes, kurā ir n, indekss (0 = pēdējā izloze); nekad neredzēts skaitlis iegūst D + ḡ.

Sīkāka informācija

Loterijas automāta fiziskais modelis

PROServerī

Mērķis: ļaut vienkāršotai 2D simulācijai noteikt izkrišanas secību.

$N$ diski ar rādiusu $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ kustas vienības kvadrātā ar nejaušām gaisa brāzmām, pastāvīgu dreifu izejas virzienā, slāpēšanu un vienādu masu elastīgām sadursmēm; izlozēts tiek disks, kas iziet caur izeju apakšējās sienas vidū.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Viens 2D modeļa solis (y vērsts uz leju, uz izeju; ne vairāk kā 2400 soļu). Disks iziet, ja pie apakšējās sienas 0.43 < x < 0.57; ja iziet mazāk par k diskiem, rindu papildina vienmērīgi.

Sīkāka informācija

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Vienādu masu elastīga sadursme: ātruma normālās komponentes apmainās.

Haoss · loģistiskais attēlojums

PROServerī

Mērķis: parādīt, ka pilnīgi deterministiska sistēma var būt neparedzama.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Pēc 100 iesildīšanas iterācijām no nejaušas sēklas vērtības tiek vāktas, līdz atrasti k dažādi skaitļi.

Sīkāka informācija

Kvantu sabrukums

PROServerīEksperimentāls

Mērķis: pretstraumes svars, kas dod priekšroku reti izlozētiem skaitļiem.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

„Biežuma barjeras” svars; gadījumskaitļi nāk no 16 bitu kriptogrāfisku vērtību bufera.

Sīkāka informācija

Paradoksu sistēma

PROServerīEksperimentāls

Mērķis: pētnieciskas rindas, kas balstītas uz nejaušu kombināciju pretintuitīvām īpašībām. Pēc kārtas tiek izmantoti pieci arhetipi:

Pūlis: kopās ar vismaz 42 skaitļiem dod priekšroku skaitļiem virs 31 (dzimšanas dienas beidzas ar 31), svars 2.6 virs robežas un 0.28 zem tās, ×1.1 skaitļiem, kas dalās ar 10, un pēc tam piespiedu kārtā ņem vismaz $\lceil 0.6k \rceil$ skaitļus virs robežas. Šādus skaitļus spēlē mazāk cilvēku, tāpēc laimests būtu jādala ar mazāk spēlētājiem — laimēšanas izredzes nemainās.
Sadursme: puse rindas no visbiežākajiem skaitļiem, pārējie — no tiem, kuru nav bijis visilgāk.
Kopa: satur divu secīgu skaitļu pāri — īpašību, kas nejaušās izlozēs sastopama daudz biežāk, nekā liek domāt intuīcija:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot aptuveni 35%, Lotto 7/34 aptuveni 78%.

Sīkāka informācija

Spogulis: pāri $n$ un $N + 1 - n$ .
Regresija: skaitļi, kuru nesenais biežums (pēdējās 10 izlozes) visvairāk atšķiras no ilgtermiņa biežuma.

3. Matemātiskā tiesa

Tiesa izvērtē kombināciju, kas jums jau ir. Zvērinātie un modeļi var ierosināt aizstāt vienu skaitli; aizstāvji iestājas par katru priekšlikumu vai pret to; Augstākais tiesnesis lemj, balstoties uz pagātnes izložu strukturālo lauku. Skaitļi mainās tikai tad, kad izlemjat jūs, — un katrs solis tiek reģistrēts.

Divpadsmit zvērināto izvēle ap tiesas emblēmu — Zvērinātie: divpadsmit personāži, katram sava matemātiskā stratēģija

Lietas izskatīšanas kārtība

Priekšlikums. Zvērinātais vai modelis pārbauda visas iespējamās viena skaitļa apmaiņas rindā un ierosina ne vairāk kā vienu aizstājumu — vai ierosina rindu atstāt.
Aizstāvība. Aizstāvji ieņem nostāju par katru priekšlikumu: atbalsts, iebildums vai protests. Aizstāvis nekad neierosina un nepiemēro skaitli.
Spriedums. Augstākais tiesnesis pieņem priekšlikumu, piedāvā alternatīvu vai atstāj skaitli, izmantojot pagātnes izložu strukturālo lauku.
Lēmums. Skaitļus maināt tikai jūs: pieņemiet priekšlikumu, sekojiet aizstāvībai, pieņemiet tiesneša spriedumu, saglabājiet oriģinālu vai atgrieziet iepriekšējo. Katrs lēmums tiek saglabāts kopā ar tā autoru.

No modeļa līdz priekšrokai katram skaitlim

Katrs modelis tiek reducēts līdz relatīvai priekšrokai $\operatorname{rel}(n)$ katram skaitlim, kur 1 nozīmē „modeļa vidējo”, kopā ar standartkļūdu. Modeļi, kas definēti ar skaidru svaru vektoru, ir precīzi; pārējos mēra, tos darbinot:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Precīza relatīvā priekšroka modeļiem „Karstie numuri”, Markovs, Gauss, Bayes, „Atstarpju analīze”, „Kvantu sabrukums”, „Kvantu-astrālais” un „Strukturālais lauks”.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Procedurālo modeļu Montekarlo priekšroka: X₁ … X_R ir R = 600 modeļa sēklotas rindas (fiziskajam modelim — 120). Konsenss tā vietā vidējo trīs palaišanas (sk. tā karti).

Deviņpadsmit modeļi

Tiesa izmanto sešpadsmit 2. sadaļas ģeneratora metodes un vēl trīs tiesas modeļus. Četri no tiem neizmanto vēsturi un ir reģistrēti kā tādi, kam nav priekšrokas nevienam skaitlim („Segmentu pārklājums”, „Tīri nejauši”, fiziskais modelis, „Haoss”); praksē „Segmentu pārklājums” dod priekšroku īso segmentu skaitļiem, ja $k$ nedala $N$ , bet „Haoss” — diapazona malām, kā redzams to kartēs. Divi modeļi ir salikti („Konsenss” un „Strukturālais lauks”).

Modelis	Tips	Pamats
Karstie numuri	svari	$c_n + 0.05$
Apvienots	izlase	karstā / vidējā / aukstā trešdaļa
Segmentu pārklājums	izlase, bez vēstures	viens skaitlis katrā segmentā
Tīri nejauši	izlase, vienmērīga	Fisher–Yates sajaukšana
Markova ķēdes	svari	izlīdzinātas pārejas no pēdējās izlozes
Gauss · centrālā robežteorēma	svari	Gausa funkcija ap $\mu/k$
Intervāla modelis Δ	izlase	atstarpju butstreps
Bayes · Dirihlē	svari	$c_n + 3$
Atstarpju analīze	svari	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Fiziskais modelis	izlase, bez vēstures	2D disku simulācija
Haoss	izlase, bez vēstures	loģistiskais attēlojums, nobīde uz malām
Kvantu sabrukums	svari, eksperimentāls	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Paradoksu sistēma	izlase, eksperimentāls	pieci arhetipi
Kvantu-astrālais	svari, eksperimentāls	Mēness zīme un apgaismojums
Riteņu matrica	izlase	pāru pārklājuma shēma
Pasaules karstais	izlase	starploteriju kodola profils
Pasaules kombinētais	izlase	starploteriju kodola profils
Modeļu konsenss	ansamblis	14 dalībnieku modeļi
Strukturālais lauks	salikts	sešas aprakstošas komponentes

Strukturālais lauks

Serverī

Lauks ir Augstākā tiesneša mērs: ar rokām svērts sešu aprakstošu komponenšu kompozīts. Biežumus, saistītību un pāru pārklājumu dala ar to maksimumu pa visiem skaitļiem; nesenums un tipiskums jau atrodas intervālā $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Skaitļa n strukturālā lauka vērtējums no 0 līdz 100.

Sīkāka informācija

kur

$A_n,\ S_n$: biežums visā logā un pēdējās $\max(3, \min(10, D))$ izlozēs
$G_n$: nesenums, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: pāru pacēlumu summa $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ pa visiem partneriem $m$ , kur $O_{nm}$ ir izložu skaits, kurās ir abi skaitļi
$T_n$: to izložu, kurās ir $n$ , vidējais strukturālais tipiskums: $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , kur $e$ ir pāra skaitļu daļa un $z_S$ — standartizētā summa
$P_n$: pāru pārklājums — kopējais pāru novērojumu skaits, kuros piedalās $n$

Modeļu konsenss

Serverī

Četrpadsmit dalībnieku modeļi no divpadsmit saimēm katrs rada 10 rindas; skaitlis iegūst punktus pēc tā, cik modeļu un saimju to izvēlējās, cik bieži un cik vienmērīgi:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensa vērtējums; tiesa vidējo trīs neatkarīgas palaišanas un to izkliedi izmanto kā standartkļūdu.

Sīkāka informācija

kur

$M_n,\ F_n$: to dalībnieku modeļu un modeļu saimju skaits, kuru rindās ir $n$
$f_n$: kopējais rindu skaits, kurās ir $n$
$\operatorname{stab}_n$: vidējais parādīšanās reižu skaits uz katru dalībnieka modeli, kas izvēlējās $n$ , dalīts ar 10

Kvantu-astrālais modelis

ServerīEksperimentāls

Izklaides modelis, kas sver skaitļus pēc Mēness stāvokļa mērķa izlozes datumā, pievienojot nelielu strukturālā lauka daļu:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kvantu-astrālais svars; σ ∈ {0,…,11} ir Mēness ekliptiskā garuma zodiaka zīme mērķa izlozes datumā, I — apgaismojums procentos.

Sīkāka informācija

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Mēness apgaismojums procentos pēc sinodiskā mēneša vecuma A, kura garums ir P (dienās).

Kā modelis izvērtē rindu

Katrai iespējamai apmaiņai $a \to b$ — skaitlis $a$ atstāj rindu, skaitlis $b$ ienāk — modelis aprēķina ieguvumu un tā troksni. Ieguvums tiek ņemts vērā tikai tad, ja tas ir statistiski skaidrs; zaudējums tiek ņemts vērā vienmēr.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modeļa izvērtējums. Precīzajiem svaru modeļiem SE = 0, tāpēc to ieguvumi tiek ņemti vērā vienmēr; apmaiņa kvalificējas, ja effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Apmaiņas standartkļūda izlases modelim: apvienotā proporcija pie hipotēzes, ka a un b ir vienlīdz varbūtīgi. Konsensam SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) pa tā trim palaišanām; precīzajiem svaru modeļiem SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Ar Bonferroni korekciju pielāgots slieksnis visām k(N−k) iespējamajām apmaiņām; Eurojackpot: 3.43.

Bāzes $z$	Eurojackpot, 225 apmaiņas	Lotto 7/34, 189 apmaiņas
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Divpadsmit zvērinātie

Katram zvērinātajam ir viena stratēģija, savi avoti (modeļi vai vēstures signāli), minimālais efekts un nozīmības līmenis. Zvērinātā spriedums par rindu ir vai nu „atstāt”, vai tieši viens aizstājums; zvērinātie neiebilst un neprotestē — tā ir aizstāvības loma.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Apmaiņas skaitliskais ieguvums no zvērinātā svērtajiem avotiem; Eva Lind gadījumā λ = D/(D+40), citiem — 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Apmaiņas efektīvā vērtība. Uzvar labākā kvalificētā apmaiņa (vienādības gadījumā — mazākais jaunais skaitlis, pēc tam agrākā pozīcija); ja tādas nav, zvērinātais rindu atstāj.

kur

$\omega_m$: avota $m$ svars zvērinātā definīcijā
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , kur $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: zvērinātā nozīmības līmenis, koriģēts $k(N-k)$ apmaiņām, kā tabulā iepriekš
$\Delta \ell_c$: strukturālās komponentes $c$ logaritmiskās ticamības izmaiņa (natos)
$\Delta \Gamma$: biļetes pārklājuma vērtējuma izmaiņa

No vēstures aprēķinātie signāli

Trīs zvērinātie izmanto signālus, kas nolasīti tieši no izlozēm, nevis no ģeneratora. Ar $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Biežuma tests. Godīgās izlozēs Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), jo vienas izlozes skaitļi ir negatīvi korelēti; dalot ar sagaidāmo skaitījumu Dp, iegūst SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Atkārtojamība. Biežums K nepārklājošos logos pa s = ⌊D/K⌋ izlozēm; priekšrocībai jāiztur viena standartkļūdas lieluma sods.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomālija. Absolūtā novirze no sagaidāmā skaitījuma; √(1−2/π) ir |Z| standartnovirze standarta normālam Z.

Struktūra un pārklājums

Strukturālās komponentes salīdzina rindu ar pagātnes izložu profilu: pāra/nepāra, mazie/lielie, kopas un atstarpes ir kategoriskas ar Laplasa izlīdzināšanu; summa un izkliede ir Gausa.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Logaritmiskās ticamības: ℓ₁ kategoriskā (pāra/nepāra, mazie/lielie, kopas; J kategorijas, n_j pagātnes izlozes kategorijā j), ℓ₂ Gausa (summa, izkliede), ℓ₃ atstarpes starp blakus esošiem skaitļiem.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Biļetes pārklājums: 𝒫′ ir biļetes pārējo rindu pāru kopa; otrais loceklis skaita skaitļu lauka desmitus, kurus rinda aizskar.

Eva Lind · Trāpīgā šāvēja

Stratēģija: ilgtermiņa biežums ar Beijesa saraušanu. Avoti: Bayes 0.8 + „Karstie numuri” 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; bez nozīmības testa (precīzi svari).

Noteikums: labākā apmaiņa vienmēr ir rindas retākais skaitlis → biežākais skaitlis ārpus tās; tā kvalificējas, ja $\Delta \ge 0.12$ .

Sīkāka informācija

Maya Chen · Formas arhitekte

Stratēģija: rindas forma. Avoti: Gauss 0.5 + „Apvienots” 0.5; struktūras svars 2 pāra/nepāra, mazajiem/lielajiem, summai, izkliedei un kopām; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Noteikums: struktūras loceklis tiek ņemts vērā vienmēr, tāpēc apmaiņa, kas tuvina rindu pagātnes izložu tipiskajai formai, var kvalificēties tikai struktūras dēļ.

Sīkāka informācija

Clara Moretti · Anomāliju medniece

Stratēģija: anomālijas abos virzienos. Avots: anomāliju signāls; atstarpju struktūra 0.4, kas tiek ņemta vērā tikai nozīmīgai apmaiņai; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Anomāliju signālam vidējā vērtība saīsinās: nozīme ir tikai absolūto noviržu starpībai.

Sīkāka informācija

Leila Haddad · Globālā vērotāja

Stratēģija: pasaules profils. Avoti: „Pasaules karstais” 0.5 + „Pasaules kombinētais” 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; vajadzīgi pārējo loteriju dati.

Sīkāka informācija

Freya Olsen · Pārklājuma inženiere

Stratēģija: biļetes pārklājums bez priekšrokas kādiem skaitļiem. Bez avotiem; pārklājuma svars 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Sīkāka informācija

Nora Blake · Gaišreģe

Eksperimentāls

Stratēģija: izklaides astroloģiskā sistēma izlozes datumam. Avots: „Kvantu-astrālais”; $E_{\min} = 0.05$ ; vajadzīgs mērķa izlozes datums.

Sīkāka informācija

Derek Cole · Ķēžu meistars

Stratēģija: pārejas no pēdējās izlozes. Avots: „Markova ķēdes”; atstarpju struktūra 0.4, vienmēr ņemta vērā; $E_{\min} = 0.12$ . Tā kā Markova svaru summa ir viens, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Sīkāka informācija

Marcus Reed · Trauksmes signāls

Stratēģija: visilgākā prombūtne. Avoti: „Atstarpju analīze” 0.8 + „Karstie numuri” 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; bez nozīmības testa.

Sīkāka informācija

Victor Moreau · Loterijas automāta fiziķis

Stratēģija: bungu fiziska novirze atkārtotos katrā periodā. Avots: atkārtojamība; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Trokšņa apakšējā robeža neļauj četriem veiksmīgiem logiem izskatīties nozīmīgiem.

Sīkāka informācija

Noah Bennett · Modrais skeptiķis

Stratēģija: noraidīt tīru nejaušību visstingrākajā līmenī. Avots: biežuma tests; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Noas testa statistikas slēgtā forma.

Sīkāka informācija

Elias Berg · Iluzionists pret straumi

Eksperimentāls

Stratēģija: pret pūli — retāki skaitļi. Avoti: „Kvantu sabrukums” 0.85 + „Paradoksu sistēma” 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Sīkāka informācija

Leo Fischer · Konsensa diriģents

Stratēģija: modeļu konsensa stabilitāte. Avots: „Konsenss” (trīs neatkarīgas palaišanas); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Sīkāka informācija

Zvērināto ģenerēšana

Ja zvērinātie rindu ģenerē, nevis izvērtē, katrs zvērinātais no saviem svariem $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ izvelk 40 kandidātrindas un patur labāko pēc

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Zvērinātā biļetens. Zvērināto rindā nonāk k skaitļi ar visvairāk balsīm; vienādības gadījumā izšķir augstākais normētais atbalsts, pēc tam mazākais skaitlis.

Seši aizstāvji

Aizstāvji ar saviem signāliem izvērtē ierosināto apmaiņu $n_c \to n_p$ — pašreizējo skaitli un ierosināto, kas izlozēti attiecīgi $x_c$ un $x_p$ reizes $D$ izlozēs. Pozitīvas vērtības ir par labu priekšlikumam:

Signāls	Definīcija
biežums	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
aposteriorā varbūtība	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, lauks, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktūra	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilitāte	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ sešos secīgos periodos

Aposteriorā varbūtība tiek aprēķināta precīzi, bez normālās aproksimācijas:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Slēgtā forma Beta aposteriorajiem sadalījumiem ar veselu parametru; Beta funkcija izmanto Lanczos log-Gamma.

Aizstāšanas lēmuma noteikums, kur $\bar z$ ir aizstāvja signālu svērtā vidējā vērtība:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Aizstāvja nostāja ψ: S — atbalsts, P — protests, O — iebildums. χ = 1, ja aizstāvja pārbaudes ir izietas: atbalstam — signālu vienprātība, otra signāla saskaņa un strukturālais veto; protestam — tikai vienprātība un saskaņa.

Thomas Keller · Ieceltais aizstāvis

FREE

Signāli: biežums + Bayes + strukturālais lauks, visiem jāsaskan; atbalsts pie 1, protests pie −1; vajadzīgas 20 izlozes, bet ar 5–19 izlozēm darbojas ierobežotā režīmā ar Bayes + aposterioro varbūtību.

Sīkāka informācija

Elena Rossi · Statistikas advokāte

Signāls: biežums, koriģēts daudzkārtējām salīdzināšanām; strukturālais veto pie −1; atbalsts un protests pie 1.96; vismaz 30 izlozes.

Sīkāka informācija

Amelia Grant · Pret maldīgu pārliecību

Signāls: pārākuma aposteriorā varbūtība; atbalsts pie $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protests pie $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); vismaz 10 izlozes.

Sīkāka informācija

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Nostāja
30	1	7	0.987	atbalsts
30	4	3	0.354	iebildums
30	5	2	0.128	protests
100	6	16	0.987	atbalsts

Julien Morel · Struktūras advokāts

Signāls: sešu strukturālo logaritmisko ticamību kopējā izmaiņa; atbalsts pie 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nati), protests pie 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); vismaz 20 izlozes.

Sīkāka informācija

Ingrid Falk · Stabilitāte laikā

Signāls: ierosinātā skaitļa uzvaras mīnus zaudējumi sešos secīgos periodos; jāsaskan ar kopējo biežumu; slieksnis 1.5, tātad vismaz $W - L \ge 4$ ; vismaz 30 izlozes.

Sīkāka informācija

Adrian Vega · Izklaides astroloģija

Eksperimentāls

Signāls: kvantu-astrālie svari mērķa izlozes datumam; atbalsts un protests pie 0.5.

Sīkāka informācija

Augstākais tiesnesis

Tiesnesis lemj par apstrīdētu skaitli, izmantojot strukturālo lauku $F$ , kas normēts pret tā maksimumu: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Skaitlis ir vājš, ja tas atrodas lauka zemākajos 35%.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ ir augošā secībā sakārtoto lauka vērtību kārtas statistika; pašreizējais skaitlis ir vājš, ja φ(n_c) < θ. Rezerve m tiek piemērota, ja vairāk nekā puse aizstāvju, kuriem ir nostāja, protestē.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Spriedums V ir skaitlis, ko tiesnesis atstāj pozīcijā; piemēro pirmo atbilstošo rindiņu. a* ir skaitlis ar augstāko lauka vērtību ārpus rindas, kas nav priekšlikums.

Augstākā tiesneša analīze un ieteikums

Veselām rindām tiesnesis paziņo rindas vērtējumu un iesaka aizstāt līdz $\lfloor k/2 \rfloor$ vājākajiem skaitļiem zem $\theta$ ar spēcīgākajiem skaitļiem ārpus rindas. Kuras apmaiņas piemērot, izvēlaties jūs. Ja rindu nav, tiesnesis iesaka pats: vienmērīgi nejauši melnraksti tiek uzlaboti tādā pašā veidā un atgriezti kopā ar to izcelsmi.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Augstākā tiesneša analīzes rindas vērtējums.

Lēmumi, partijas un vēsture

Lēmumi: pieņemt priekšlikumu, pieņemt aizstāvības viedokli, pieņemt tiesneša spriedumu, saglabāt oriģinālu, atgriezt. Skaitļi mainās tikai tad, kad pieņemat priekšlikumu, pieņemat tiesneša spriedumu, kas skaitli aizstāj, vai atgriežat; katra izmaiņa izcelsmes ierakstā ir transformācija.
Masveida lēmumi: ne vairāk kā viens aizstājums katram skaitlim. „Pieņemt visus vairākuma aizstājumus” piemēro tikai tos variantus, kurus izvēlējusies vairāk nekā puse atlasīto zvērināto; „Piemērot visus priekšlikumus” katram skaitlim ņem vairākuma variantu vai, ja tāda nav, variantu ar visvairāk balsīm, un izlaiž neizšķirtus gadījumus.
Partijas: līdz 50 rindu izvērtējums ar vienu un to pašu personāžu sastāvu skaitās kā viens mēģinājums; jau analizētās rindas tiek izlaistas, un pārtraukta partija atsākas ar to pašu plānu.
Vēsture: notikumu tipi ir zvērināto izvērtējums, modeļa izvērtējums, priekšlikums, aizstāvības izvērtējums, tiesneša izvērtējums, lēmums un transformācija; žurnāls glabā līdz 200 notikumiem un nekad neizmet transformāciju vai jaunākos izvērtējumus.

Tiesas atbildība

Katrs apgalvojums tiek ierakstīts prognožu reģistrā pirms savas izlozes un pēc tam novērtēts salīdzinājumā ar nejaušību. Apgalvojumiem par $n_i$ skaitļiem ar bāzes izredzēm $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H ir trāpījumu skaits. Avots tiek ierindots tikai tad, ja tam ir vismaz 30 skaitļi vismaz 3 izlozēs.

4. 3D bungas: fizikas dzinējs

3D izloze ir reāllaika cietu ķermeņu simulācija: bumbiņas ir ķermeņi ar masu, inerci, berzi un atsitiena koeficientu, kurus kustina gravitācija, maisošs rotors un gaisa lauks, un izlozētā bumbiņa ir tā, kas fiziski izkrīt caur izeju. Tas ir ticams bungu fizikāls modelis, nevis reālas iekārtas ieraksts.

SuperEnalotto bungas ar 90 bumbiņām, kas tiek sajauktas, kamēr tiek izvēlēta bumbiņa — 90 SuperEnalotto bumbiņas simulētajā kamerā

Dzinējs un koordinātas

Fizika darbojas Rapier 3D (versija 0.14, WebAssembly); attēlošanai izmanto Three.js (r169). Pasaule ir labās rokas koordinātu sistēmā, $+y$ vērsts uz augšu un koordinātu sākumpunkts ir kameras centrā; rotora ass ir horizontālā $x$ ass, un $+z$ vērsta pret skatītāju.

Kamera: sfēra ar rādiusu $R = 3.0$ vienības, veidota kā trijstūru tīkls ar uz iekšu vērstām normālēm un apaļu izeju apakšā (pusleņķis $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Bumbiņas: sfēras ar rādiusu $r = 0.2$ un blīvumu 1; viena bumbiņa katram skaitlim, no 5 līdz 90 bumbiņām.
Rotors: kinemātiska vārpsta ar sešām svirām, kuru kapsulveida lāpstiņu izmērs ir tāds, ka to rotācijas plaknē tās apstājas 0.14 vienību attālumā no stikla, kā arī mazāks trīssviru rotors, kura virziens mainās starp sajaukšanas fāzēm.
Aizvars: cilindrisks aizbāznis izejā, ko noņem, kad bumbiņa drīkst iziet.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Bumbiņas masa, inerces moments un svars modeļa vienībās.

Mērogs un Frūda līdzība

Viena modeļa vienība ir 10 cm: 40 mm bumbiņa ir 0.4 vienības, un kamera ir 600 mm sfēra. Gravitācija ir samazināta līdz $30$ vienībām/s² reālo $98.1$ vietā. Kustība, kurā dominē gravitācija un inerce, izskatās vienādi, ja Frūda skaitlis ir vienāds, tāpēc simulācija atbilst reāla izmēra iekārtai ar lēnāku pulksteni:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Ar triepienu apzīmētie lielumi pieder modelim. Vienāds Frūda skaitlis pie vienāda garuma: ātrumi mērogojas ar √γ, bet laiki — ar 1/√γ.

Spēki

Katra bumbiņa pakļaujas Ņūtona otrajam likumam ar tiem spēkiem, kurus kods patiešām pielieto:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D — gaisa pretestība, F_W — analītiskā siena, F_S — sūkšana pie izejas, F_C — kontakti ar bumbiņām, rotoru un aizvaru (aprēķina Rapier); τ — atbilstošie griezes momenti. Rapier arī pielieto nelielu lineāro un leņķisko slāpēšanu, un drošības nolūkos ātrumi ir ierobežoti līdz 22 vienībām/s un 105 rad/s.

Gaisa lauks un kvadrātiskā pretestība

Pūtējs ir modelēts kā uzdots gaisa ātruma lauks $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; katra bumbiņa izjūt kvadrātisku pretestību lokālā gaisa ātruma virzienā. Pretestības konstanti nosaka galīgais ātrums 48 vienības/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

Nekustīgā gaisā krītoša bumbiņa sasniedz v_t = √(g/k_d) = 48 vienības/s, reālā mērogā aptuveni 8.7 m/s.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Centrālā augšupplūsma: visspēcīgākā uz ass pie apakšas (102 pie y = −3, 68 centrā, 34 augšā); ρ_h ir horizontālais attālums no ass.

Virpulis: horizontāla rotācija ar 11 vienībām/s ap vertikālo asi.
Plūsma uz iekšu: ārpus 60% rādiusa līdz $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ centra virzienā, lai bumbiņas turpinātu cirkulēt, nevis kļautos pie stikla.
Turbulence: gluds trīsdimensiju vērtību troksnis ar amplitūdu 58, kas laikā dreifē; tā ir fiksēta deterministiska funkcija, nevis gadījumskaitļu ģenerators.
Pretiestrēgšanas brāzmas: bumbiņa, kas pārāk ilgi uzturas apakšā, augšā, pie sienas vai gandrīz nekustas, saņem lokālu brāzmu, kas tiek pieskaitīta gaisa ātrumam un joprojām darbojas caur pretestību.

Analītiskā sfēriskā siena

Papildus tīklam stikls tiek uzturēts kā precīza sfēra ātruma līmenī, kas novērš tunelēšanu un nodrošina pareizu ripošanu. Ar uz āru vērstu normāli $\hat{\mathbf n}$ , uz āru vērstu ātrumu $v_n$ un iespiešanos $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulatīvā kontakta pielaide v* un atsitiena koeficients e (e_b ir bumbiņas atsitiena koeficients; zem pielaides ātruma tas ir nulle, lai miera stāvoklī esoša bumbiņa nevibrētu).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normālā reakcija, ko pielieto tikai tad, ja v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Kulona berze kontakta punktā; s ir tangenciālais slīdēšanas ātrums v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), kur μ_b ir bumbiņas berzes koeficients.

Kontakti starp ķermeņiem

Bumbiņa–bumbiņa, bumbiņa–rotors un bumbiņa–aizvars kontaktus risina Rapier saišu risinātājs ar nepārtrauktu sadursmju noteikšanu bumbiņām. Koeficientus apvieno, ņemot vidējo:

Pāris	Berze	Atsitiens
bumbiņa – bumbiņa	0.16	0.55
bumbiņa – stikls	0.255	0.415
bumbiņa – lāpstiņa	0.19	0.525
bumbiņa – svira vai vārpsta	0.17	0.35
bumbiņa – aizvars	0.23	0.375

Izlozes laikā slāpēšana ir neliela (lineārā 0.05, leņķiskā 0.035), bet bumbiņām nostājoties — spēcīga (2.4). Ripošanas pretestības parametra nav: ripošana palēninās tikai slāpēšanas un kontakta berzes dēļ.

Laika soļi un integrēšana

Simulācija virzās ar fiksētiem soļiem neatkarīgi no ekrāna atsvaidzes frekvences; katrā kadrā izpilda tik fiksētu soļu, cik prasa reālais laiks, bet ne vairāk kā piecus:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Fiksēta soļa akumulators: kadrs ar ilgumu Δt_f izpilda n fiksētus soļus (ne vairāk kā 5); katrs solis tiek sadalīts 2 Rapier apakšsoļos ar h = 1/120 s un 6 risinātāja iterācijām.

Apakšsolī dzinējs vispirms atjaunina ātrumus no spēkiem un pēc tam pozīcijas no jaunajiem ātrumiem — tā ir pusimplicītā (simplektiskā) Eilera shēma, ko izmanto uz impulsiem balstīti dzinēji; šeit tā parādīta kā vispārējs princips:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Vispārīgā forma: F ir pieliktie spēki, F_c — saišu (kontakta) spēki, ko atrod Rapier iteratīvais risinātājs.

Lietotnes pašas spēki (gaiss, siena, sūkšana) tiek aprēķināti vienreiz katrā solī no stāvokļa tā sākumā un paliek nemainīgi abos apakšsoļos. Rotors ir kinemātisks, un tā mērķis tiek iestatīts no jauna katrā apakšsolī:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Rotora ātruma eksponenciāla tuvošanās mērķa vērtībai; sajaukšana cikliski iet cauri 2.4, 2.9, 2.1 un 2.7 rad/s.

Kā tiek izvēlēta bumbiņa

Pēc 1 s palaišanas un 2.6 s sajaukšanas aizvars atveras. Kamēr izeja ir atvērta, augšupplūsma virs tās vienmērīgi izzūd, centrālā strūkla tiek samazināta līdz 62%, un sūkšana aptuveni 2.2 bumbiņas svara apmērā (pēc 5 s — aptuveni 4) pievelk bumbiņas pie izejas:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Sūkšana pie izejas (y < −1.6 un horizontālais attālums < 0.6); t_c ir laiks kopš aizvara atvēršanas.

Izlozētā bumbiņa ir pirmā, kuras centrs nokrītas zem $y = -3.18$ ; ja tas vienā solī notiek ar vairākām, — zemākā. Šajā brīdī netiek izmantots neviens gadījumskaitlis. Izlozes gadījumskaitļi ir bumbiņu sākotnējais izvietojums un neliels sākotnējais ātrums un griešanās, kas ņemti no Web Crypto API (atkārtoti, kad tiek ielādēta atsevišķa bonusa kopa). Pēc tam bumbiņa pa izejas ceļu dodas uz statīvu; šī kustība ir ieprogrammēta, nevis simulēta.

Attēlošana, simulācija un nejaušība

Simulācija: fiksēti 1/60 s soļi; kvalitātes iestatījumi (ultra, augsta, vidēja, zema) maina tikai ēnas, mirdzumu, izšķirtspēju un tīkla detalizāciju, nekad — fiziku.
Attēlošana: katrs kadrs rāda pēdējo pabeigto soli; interpolācijas starp soļiem nav.
Nejaušība: spēki ir deterministiski; iznākums ir atkarīgs no sākotnējā izvietojuma un, sākot ar otro bumbiņu, arī no tā, cik ilgi ierīcē ilgst iepriekšējās bumbiņas parādīšana, tāpēc izlozi nevar precīzi atkārtot.

5. Reālo izložu statistika

Analītikas ekrāni apraksta vēsturiskās izlozes. Tie atbild uz jautājumiem „kas notika” un „vai tas atbilst godīgai loterijai”, bet nekad — „kas notiks”.

Biežumi, karstie un aukstie skaitļi

Katram skaitlim lietotne saskaita parādīšanās reizes logā un parāda tās blakus godīgas loterijas sagaidāmajam skaitījumam; standartnovirze šeit dota uzziņai:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Viena skaitļa sagaidāmais skaitījums (rādīts lietotnē) un tā standartnovirze (uzziņai) D neatkarīgās izlozēs.

Karstie un aukstie: pieci biežākie un pieci retākie skaitļi, katrs ar savu sagaidāmo skaitījumu (vajadzīgas vismaz 5 izlozes).
Biežuma stabiņi: sarkani, ja skaitļa daļa pārsniedz sagaidāmo daļu vairāk nekā 1.3 reizes, zili, ja tā ir zem 0.7 reizēm.
Siltuma karte: krāsa pēc min–max normēšanas $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Eurojackpot 50 galveno skaitļu siltuma karte, iekrāsota no zilas līdz sarkanai — Siltuma karte: krāsa rāda tikai pagātnes biežumu

Godīguma tests: χ² ar korekciju

χ² tests pārbauda, vai skaitījumi atbilst vienādām varbūtībām. Vienā izlozē $k$ skaitļi tiek ņemti bez atgriešanas, tāpēc skaitījumi ir negatīvi korelēti; parastā multinomiālā statistika tad ir pārāk maza, un lietotne to koriģē:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pīrsona statistika ar korekciju izlasei bez atgriešanas; vajadzīgas vismaz 10 izlozes.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regularizētā augšējā nepilnā gamma funkcija, ko aprēķina ar rindu un ķēdes daļu.

p-vērtība	Secinājums
$p > 0.05$	nav nozīmīgas novirzes
$0.01 < p \le 0.05$	robežgadījuma novirze
$p \le 0.01$	statistiski nozīmīga novirze

Godīguma pārbaude ar koriģēto χ², brīvības pakāpēm, p-vērtību un pozicionālo Q-testu — χ² godīguma tests un pozicionālais audits

Pozicionālais Q-tests

Ja ir vismaz 30 pilnas izlozes, lietotne pārbauda arī katras sakārtotās pozīcijas vidējo vērtību (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). $i$ -tajam mazākajam no $k$ skaitļiem, kas izlozēti no $1..N$ , vidējā vērtība un kovariācija ir

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ ir starpību vektors starp novērotajām pozīciju vidējām vērtībām un μ m izlozēs.

Pāri, salīdzinājumi un pārbaudes

Pāri: 12 × 12 matrica, kas rāda, cik bieži 12 biežākie skaitļi parādījušies kopā (vismaz 10 izlozes). Tie ir neapstrādāti skaitījumi; uzziņai — konkrēta pāra sagaidāmais skaitījums godīgās izlozēs ir $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Loteriju salīdzinājums: džekpota izredzes, cena, visu kombināciju iegādes izmaksas.
Matemātikas pārbaude: lietotne no jauna aprēķina $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ un salīdzina to ar saglabāto konstanti, kā arī pārbauda analīzes loga izlozes, meklējot diapazona kļūdas, nepareizu bumbiņu skaitu un dublētus datumus.
Laimestu kategorijas: oficiālās izmaksu tabulas katrai izlozei. Izlozes attēls vidējo pēdējās 60 reālās izmaksu tabulas; tikai loterijai, kurai izmaksu datu nav vispār, tas novērtē laimētājus pēc 8. sadaļas kategoriju varbūtībām un pieņemta pārdošanas apjoma, tāpēc šie skaitļi ir ilustratīvi.

Visa mūža spēles simulācija

50 gadu simulācija izmanto varbūtību laimēt vismaz vienu džekpotu $T$ neatkarīgās biļetēs:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Varbūtība laimēt vismaz vienu džekpotu T biļetēs; C ir džekpota kombināciju skaits, d — izlozes nedēļā, r — rindas vienā izlozē.

6. Kalendāra analīze

Kalendāra analīze meklē sakritības starp izložu datumiem un izlozētajiem skaitļiem — piemēram, mēneša dienu starp bumbiņām — un salīdzina katru novēroto biežumu ar biežumu, ko radītu tīra nejaušība.

Izložu atlase

Izlozes var filtrēt pēc gada, mēneša, viena un tā paša mēneša visos gados vai datumu diapazona, kā arī pēc noteikumu ēras. Biežumu saraksti (karstie, aukstie, visilgāk neizlozētie) izmanto atlases neapstrādātos skaitījumus; skaitlis, kas nav iespējams nevienā atlasītajā ērā, tiek izlaists, un atlase, kas jauc ēras, tiek atzīmēta ar brīdinājumu, jo skaitlis, kas derīgs tikai jaunākajā ērā, maldīgi izskatās „auksts”. Turpmākie datuma noteikumi ņem vērā ēras: izloze tiek ieskaitīta noteikumam tikai tad, ja vismaz viens kandidāts ir derīgs skaitlis saskaņā ar šīs izlozes pašas noteikumiem.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Datuma noteikuma novērotais biežums: C_t ir izlozes t kandidātskaitļi, X_t — tās izlozētie skaitļi, Ω_t — derīgie skaitļi saskaņā ar tās noteikumiem; ℰ ir piemērotās izlozes.

Desmit datuma noteikumi

Noteikums	Kandidātskaitļi izlozei datumā DD.MM.YYYY
diena	DD
mēnesis	MM
gads	YYYY mod 100
stunda	izlozes stunda, ja operators to publicē
gada cipari	atšķirīgie YYYY cipari
gada ciparu summa	YYYY ciparu summa
divciparu gada summa	YYYY mod 100 ciparu summa
dienas ciparu summa	DD ciparu summa
datuma ciparu summa	visu DD, MM un YYYY ciparu summa
ciparu sakne	datuma ciparu summa, reducēta līdz vienam ciparam

Kandidāts, kas vienāds ar 0, tiek ignorēts, un izloze noteikumam tiek ieskaitīta vienreiz, pat ja sakrīt vairāki tās skaitļi.

Nejaušā gaidāmā vērtība

Izlozei, kurā $k$ skaitļi tiek izvēlēti no $S$ iespējamām vērtībām, un $m$ kandidātskaitļu kopai varbūtība, ka netiek izlozēts neviens kandidāts, ir hipergeometriska:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: netiek izlozēts neviens kandidāts; P≥1: tiek izlozēts vismaz viens. Kandidāti ārpus izlozes ēras diapazona tiek atmesti.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Sagaidāmais sakritību biežums r̂ piemērotajās izlozēs ℰ, katrai ar savu ēru; galvenās un bonusa kopas P^M un P^B tiek apvienotas kā neatkarīgas.

Kalendāra sakritības ar novērotajiem biežumiem blakus nejaušajai gaidāmajai vērtībai — Kalendāra sakritības salīdzinājumā ar nejaušību

Biežumu interpretācija

Pāri tiek rādīti, sākot no 30 izlozēm, un trijnieki — no 120 (tikai kombinācijas, kas redzētas vismaz divreiz, desmit biežākās); ja izložu ir mazāk par 100, tiek rādīts mazas izlases brīdinājums. Ar 100 izlozēm biežumam ap 20% joprojām ir 95% josla aptuveni $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ procentpunktu.

7. Vēstures arhīvs un noteikumu ēras

Loterijas maina savus noteikumus. Izlozei ir jēga tikai kopā ar noteikumiem, kas bija spēkā tās datumā, tāpēc katrai saglabātajai izlozei ir pievienota tās noteikumu versija.

Noteikumu ēras

Loterija	Ēras (galvenie · bonusa)
Lotto (Norvēģija)	7/34 + 3 papildskaitļi → 7/34 + 1 papildskaitlis (no 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + papildskaitlis un laimīgais skaitlis → Viking skaitlis 1–8 (2017) → 1–5 (no 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (no 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (no 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (no 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (no 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly kopš 1997. gada; SuperStar ir atsevišķas bungas un modeļos netiek izmantots
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (no 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (no 19.04.2018)

Saderības noteikums

Modeļi un analītika izmanto tikai izlozes, kas salīdzināmas ar šodienas noteikumiem. Divas ēras tiek salīdzinātas pa grupām:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Ēra e ir salīdzināma galvenajiem skaitļiem, ja sakrīt skaits un diapazons (pa kreisi), un bonusa skaitļiem, ja sakrīt katra bonusa grupa 𝓑 (pa labi). Izlozei ar salīdzināmiem galvenajiem skaitļiem, bet atšķirīgiem bonusa noteikumiem saglabā galvenos skaitļus, bet bonusa skaitļus atmet.

Eurojackpot vēsture ar pašreizējo noteikumu ēras karti un izlozēm, kas atzīmētas ar to noteikumu versiju — Arhīvs katru izlozi atzīmē ar tās noteikumu ēru

8. Varbūtība un ierobežojumi

Katra oficiālā izloze ir neatkarīgs gadījuma eksperiments. Neviena vēsture, modelis, tiesa vai simulācija nemaina nevienas kombinācijas varbūtību.

Džekpota varbūtība

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Vienas rindas džekpota varbūtība pēc pašreizējiem noteikumiem (pa labi — Eurojackpot); loterijās bez spēlētāja bonusa skaitļa izmanto tikai pirmo reizinātāju.

Loterija	Noteikumi	Džekpota izredzes
Lotto (Norvēģija)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Visas laimestu kategorijas

Tieši $i$ no $k$ galvenajiem skaitļiem un $j$ no $b$ bonusa skaitļiem sakritības varbūtība ir divu hipergeometrisku varbūtību reizinājums:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Papildbumbiņai, kas izlozēta no tām pašām bungām (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max), otrais reizinātājs kategorijai „+1” ir (k−i)/(N−k).

Eurojackpot kategorija	Izredzes
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Kāpēc neviena metode nevar pārspēt nejaušību

Ja izlozes ir neatkarīgas un visas kombinācijas vienlīdz varbūtīgas, nākamās izlozes nosacītā varbūtība pie jebkuras vēstures ir tāda pati kā bez tās, un sagaidāmais sakritušo galveno skaitļu skaits ir vienāds katrai rindai neatkarīgi no tā, kā tā iegūta:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H ir rindas sakritušo galveno skaitļu skaits. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 uz rindu katrai metodei.

Atvērt Lotto Simulator