Matematikk og teknologi

Den virkelige matematikken, statistikken, algoritmene og fysikken bak Lotto Simulator – hentet fra koden som kjører i appen.

Åpne Lotto Simulator

Slik leser du denne siden

Hver formel nedenfor er hentet fra implementasjonen, ikke fra en brosjyre. Der en komponent er en deterministisk regel eller en heuristikk og ikke en formel, beskriver vi algoritmen nøyaktig slik den kjører, uten å dikte opp matematikk for den.

Lotto Simulator er et miljø for analyse, læring og simulering. Appen genererer kombinasjoner med seksten metoder, vurderer dem i en matematisk domstol med tolv jurymedlemmer, seks forsvarere og en Høyesterettssjef, tester ekte trekningshistorikk for rettferdighet, analyserer kalendersammenfall og spiller av en fysisk 3D-lottotrommel. Ingenting av dette endrer sannsynligheten for noe tall i en offisiell trekning – avsnitt 8 forklarer hvorfor, med tall.

Notasjon som brukes gjennomgående

der

$N$: antall hovedtall å velge mellom (for eksempel 50 i Eurojackpot)
$k$: hvor mange hovedtall som trekkes og spilles (5 i Eurojackpot)
$B,\; b$: antall tall i det separate bonustallutvalget og hvor mange bonustall som spilles (12 og 2 i Eurojackpot)
$D$: antall tidligere trekninger i det valgte analysevinduet
$c_n$: hvor mange ganger tallet $n$ forekom blant hovedtallene i disse $D$ trekningene
$t = 0, 1, \dots$: trekningsindeks, nyeste først: $t = 0$ er den siste trekningen
$\binom{n}{r}$: binomialkoeffisienten, antall måter å velge $r$ elementer blant $n$ på

1. Systemarkitektur

Én applikasjon, én kodebase: den samme webappen kjører i nettlesere på datamaskin og mobil og, uendret, inne i iOS- og Android-appene (Capacitor WebView). Tunge og betalte beregninger kjører på serveren; alt brukeren ser, tegnes på enheten.

Enhet (web, iOS, Android)Grensesnitt, kupong og arbeidssett, de fire FREE-metodene i generatoren, frekvensdiagrammer, χ²-test, kalendermatematikk, 3D-trommel. Ren tilfeldig og 3D-trommelen henter tilfeldigheten sin fra Web Crypto API.
Edge-funksjoner (TypeScript, Deno)De tolv PRO-metodene i generatoren, alle de nitten modellene i domstolen, de tolv jurymedlemmene, de seks forsvarerne, Høyesterettssjefen, hjulsystemer og prognoseregisteret. Domstolen kjører på reproduserbare pseudotilfeldige strømmer med faste frø.
Database (PostgreSQL)Offisielle trekningsresultater med regelversjon, premietabeller, kontoer og tilganger, prognoseregisteret, der oppføringer bare kan legges til, og evalueringen av det.
DatapipelinePlanlagte jobber henter offisielle resultater, validerer hver trekning mot reglene som gjaldt da den fant sted, og publiserer datasettet etter gjeldende regler.

Hvem beregner hva

I nettleseren: FREE-metodene (Hot tall, Kombinert, Segmentdekning, Ren tilfeldig) og all beskrivende statistikk. Det offentlige bygget fjerner PRO-implementasjonene fysisk fra klienten: funksjonene deres erstattes av stubber, så et PRO-resultat kan bare komme fra serveren.
På serveren: alle PRO-metoder, hele den matematiske domstolen og Høyesterettssjefen. En forespørsel inneholder lotteriet, metoden, antall rekker (1–50) og analysevinduet; serveren henter trekningene selv, så klienten kan ikke mate den med oppdiktet historikk.
Regel om sikker avvisning: en servermodell trenger minst 5 trekninger i det valgte analysevinduet. Med færre avviser den forespørselen med et eksplisitt svar om «utilstrekkelig historikk» i stedet for å lage rekker av ingenting.

Reproduserbar beregning i domstolen

Hvert jurymedlem, hver forsvarer og hver modell i domstolen kjører på sin egen pseudotilfeldige strøm, der frøet er en hash av algoritmeversjonen, personaen, lotteriet, hele trekningshistorikken og datoen for måltrekningen. De samme dataene gir derfor alltid den samme kjennelsen, og enhver endring i historikken endrer alle strømmene.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Frøet til en beregning i domstolen og strømmen av uniforme tall som trekkes fra det.

der

$v$: algoritmeversjonen til domstolsmotoren
$\kappa$: nøkkelen til personaen eller modellen, for eksempel identifikatoren til et jurymedlem
$H$: alle trekningene i vinduet, hovedtall og bonustall i rekkefølge
$g,\; d$: lotteriets identifikator og datoen for måltrekningen
$h_0$: startverdien (offset basis) i FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ hasher teksten $x$ med starttilstanden $h$
$u_i$: det $i$ -te uniforme tilfeldige tallet i strømmen

Lagring og opphav

Hver kombinasjon har en opphavspost: kilden (generatormetode, jurymedlem, jurykonsensus, hjul, 3D-trekning, Høyesterettssjefen, manuell inntasting), tallene den startet med og en hendelseslogg der oppføringer bare kan legges til, med vurderinger, forslag, forsvarernes standpunkter, kjennelser, beslutninger og transformasjoner (høyst 200 hendelser). En post godtas bare hvis transformasjonene, brukt på nytt på de opprinnelige tallene, gjenskaper rekken nøyaktig; ellers vises rekken som om kilden er utilgjengelig.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Opphavskontroll: den gjeldende rekken R_m må være lik den opprinnelige rekken R_0 etter at hvert registrert bytte τ₁ … τₘ er brukt i rekkefølge.

Avstamning: når en rekke redigeres for hånd, opprettes en ny post med den forrige som forelder (opptil fire tidligere poster beholdes), slik at historikken før den manuelle endringen forblir synlig.
Prognoseregister: hver anbefaling (en generert rekke, et jurymedlems bytte, en forsvarers standpunkt, en kjennelse) skrives til et register før måltrekningen og evalueres automatisk etter det offisielle resultatet.

2. Hovedgeneratoren: seksten metoder

Generatoren har seksten valg. Fire FREE-metoder kjører i nettleseren, tolv PRO-metoder kjører på serveren. Alle velger $k$ forskjellige tall fra $1..N$ pluss lotteriets bonustall; de skiller seg bare i hvordan tallene vektes eller konstrueres.

Seriegeneratoren med antall, analysemetode og de tre standardfiltrene — Generatorpanelet: metodevelgeren og standardfiltrene

Felles byggesteiner

Vektede metoder gir hvert tall en vekt $w_n \ge 0$ og trekker deretter sekvensielt uten tilbakelegging: hvert valg fjerner tallet og normaliserer de gjenværende vektene på nytt.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Sekvensiell vektet trekning uten tilbakelegging, brukt av alle vektbaserte metoder.

der

$x_j$: det $j$ -te tallet som velges til rekken, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: metodens vekt for tallet $n$

Tilfeldighet: i nettleseren bruker Ren tilfeldig og unikhetstrinnet Web Crypto API, mens Hot tall, Kombinert og Segmentdekning bruker nettleserens standardgenerator (Math.random). På serveren trekker metodene fra kryptografisk tilfeldighet, unntatt Fysisk modell (standardgenerator) og Kaos-frøet, som blander kryptografisk tilfeldighet med en høyoppløselig tidtaker. I nettleseren lages et heltall uten skjevhet i $0..M-1$ med forkastingsmetoden (rejection sampling), slik at ingen rest blir favorisert:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Forkastingsmetoden: en kryptografisk 32-bitsverdi x trekkes på nytt til den havner under det største multiplumet av M, og reduseres deretter modulo M.

Bonustall

Bonustallene (Eurojackpot 2 av 12, EuroMillions 2 av 12, Powerball 1 av 26, Mega Ball 1 av 24, Vikingtall 1 av 5, Powerball AU 1 av 20) trekkes fra sitt eget utvalg, uavhengig av hovedtallene. Lotto, SuperEnalotto og Lotto Max har ikke noe bonustall for spilleren: tilleggstallet deres trekkes av operatøren fra hovedtrommelen.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Vekten w′ⱼ for bonustallet j med c′ⱼ forekomster for metoden μ: freq = Hot tall; rnd, phys, chaos, world = Ren tilfeldig, Fysisk modell, Kaos og World-metodene; alle andre metoder bruker c′ⱼ + 2. Med færre enn 5 trekninger bruker alle metoder like vekter.

FREE-filtre og unikhet

Rekker som lages i nettleseren, går gjennom tre filtre som er slått på som standard: ikke bare partall eller bare oddetall; summen innenfor et intervall; ingen serie på mer enn tre påfølgende tall. En forkastet rekke erstattes av en uniformt tilfeldig rekke som består filtrene (bonustallene trekkes med Bayes-vektene $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Standard sumintervall. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, intervall 73–183.

For at den samme kombinasjonen ikke skal deles ut to ganger på samme enhet, identifiseres hver FREE-rekke ved den leksikografiske rangen til hovedtallene blant alle $\binom{N}{k}$ kombinasjoner og sammenlignes med de siste 20 000 rekkene som er utstedt for det lotteriet; en gjentatt rang endres med tilfeldige ombyttinger, og som siste utvei tas den neste ubrukte rangen fra en tilfeldig affin permutasjon av alle rangene. En rekke som er endret på denne måten, sjekkes ikke mot filtrene på nytt.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Den leksikografiske rangen til en kombinasjon og den affine vandringen med full periode over alle ranger.

Kjøringsveier for FREE og PRO

Vei	Metoder	Hvor den kjører	Rekker per kjøring	Historikk
FREE	Hot tall, Kombinert, Segmentdekning, Ren tilfeldig	nettleser	opptil 5 (opptil 50 for PRO-brukere)	FREE-vinduet med nylige trekninger
PRO	de tolv andre metodene	server	opptil 50	det valgte analysevinduet, minst 5 trekninger

Hot tall

FREEI nettleseren

Formål: favorisere tallene som forekom oftest i analysevinduet.

w_n = c_n + 0.05

Vekten til tallet n; med færre enn 5 trekninger er alle vektene lik 1.

Flere detaljer

Kombinert

FREEI nettleseren

Formål: blande varme, middels og kalde tall i et fast forhold.

Tallene sorteres etter $c_n$ (ved likhet kommer det minste tallet først) og deles i tredjedeler med størrelse $\lceil N/3 \rceil$ : varme, midtre, kalde. Rekke $i$ tar uniforme valg fra hver tredjedel:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Rekke i tar h varme, mᵢ midtre og cᵢ kalde tall; odde og like rekker bytter om andelene av midtre og kalde tall.

Flere detaljer

Segmentdekning

FREEI nettleseren

Formål: spre en rekke jevnt over tallområdet.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Ett uniformt tall fra hvert av k påfølgende segmenter; det siste segmentet tar resten.

Flere detaljer

Ren tilfeldig

FREEI nettleseren

Formål: den ærlige referansen – alle tall er like sannsynlige.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

En kryptografisk Fisher–Yates-stokking gir hver kombinasjon samme sannsynlighet før filtreringen.

Flere detaljer

Hjulmatrise

PROServer

Formål: bygge flere rekker som til sammen dekker flest mulig par fra en liten tallgruppe – et grådig dekningsdesign.

Gruppen har $\min(N, k+5)$ tall, hentet vekselvis fra den varme, den kalde og den midtre tredjedelen. Alle $\binom{|P|}{k}$ kombinasjoner av gruppen er kandidater (over 40 000 brukes en tilfeldig stikkprøve); hvert trinn legger til kandidaten med høyest poengsum og markerer parene dens som dekket:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Grådig poengsum for pardekning; ved likhet avgjøres valget uniformt tilfeldig.

Flere detaljer

der

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: parene i kandidatrekken $R$ og parene som allerede er dekket av de valgte rekkene
$u_n$: hvor mange av de allerede valgte rekkene som inneholder tallet $n$
$[\,\cdot\,]$: er 1 hvis betingelsen er oppfylt, ellers 0

World Hot og Verden kombinert

PROServer

Formål: overføre frekvensprofilen til alle de ni støttede lotteriene til det gjeldende lotteriet.

Hvert trukket tall $x$ i hvert lotteri $g$ avbildes på sin relative posisjon $q = (x-1)/(N_g - 1)$ og spres med en smal gaussisk kjerne ut på tallene i det gjeldende lotteriet; hvert lotteri får samme vekt per trekning, og det gjeldende lotteriets egen frekvens legges til én gang til på toppen:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

World-poengsummen for tallet n; X_g er alle hovedtall trukket i lotteriet g (opptil 400 nylige trekninger etter gjeldende regler, D_g trekninger).

Flere detaljer

World Hot: $k$ uniforme valg blant de $\max(3k, 12)$ tallene med høyest poengsum.
Verden kombinert: $\lceil 0.45k \rceil$ fra den øverste tredjedelen, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ fra den nederste tredjedelen, resten fra midten. Bonustallene er uniforme.

Markov-kjeder

PROServer

Formål: vekte tallene etter hvor ofte de fulgte tallene i forrige trekning.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplace-glattet overgangssannsynlighet av første orden, midlet over den siste trekningen L.

Flere detaljer

der

$T(a \to b)$: hvor ofte tallet $b$ forekom i trekningen rett etter en trekning som inneholdt $a$
$L$: hovedtallene i den siste trekningen

Gauss · sentralgrenseteoremet

PROServer

Formål: bygge rekker med en typisk sum. Summen av $k$ tall trukket uten tilbakelegging har

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Forventning og varians for rekkesummen ved trekning uten tilbakelegging (erstattes av de empiriske verdiene når det finnes minst 5 summer).

Flere detaljer

Hvert tall vektes med en gaussisk kurve rundt gjennomsnittsverdien per posisjon, og opptil 40 kandidatrekker trekkes; den med sum nærmest $\mu$ vinner (søket stopper tidlig innenfor $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Vekten per tall i Gauss-metoden.

Intervallmodell Δ

PROServer

Formål: etterligne avstandene mellom nabotall i ekte trekninger.

Fra de siste 120 trekningene samler modellen det minste tallet i hver trekning og alle differensene mellom nabotall i sortert rekkefølge. En rekke bygges som en tilfeldig start pluss tilfeldige differenser; en rekke som går forbi $N$ , forkastes (opptil 300 forsøk, deretter en uniform rekke):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empirisk bootstrap av første tall og avstander; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) er trekningen t i sortert rekkefølge.

Flere detaljer

Bayes · Dirichlet

PROServer

Formål: frekvens med krymping mot uniform fordeling.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Posteriorforventningen for en symmetrisk Dirichlet(α)-prior oppdatert med de observerte tellingene; metoden trekker med vektene c_n + 3.

Flere detaljer

Gapanalyse

PROServer

Formål: favorisere tall som ikke har kommet på lenge.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n er indeksen til den nyeste trekningen som inneholder n (0 = den siste trekningen); et tall som aldri er sett, får D + ḡ.

Flere detaljer

Fysisk modell av trommelen

PROServer

Formål: la en forenklet 2D-simulering avgjøre rekkefølgen kulene kommer ut i.

$N$ skiver med radius $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ beveger seg i et enhetskvadrat med tilfeldige vindkast, en konstant drift mot utløpet, demping og elastiske kollisjoner mellom like masser; en skive som forlater kvadratet gjennom utløpet midt på bunnveggen, er trukket.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Ett trinn i 2D-modellen (y peker nedover, mot utløpet; høyst 2400 trinn). En skive går ut når 0.43 < x < 0.57 ved bunnveggen; hvis færre enn k skiver kommer ut, fullføres rekken uniformt.

Flere detaljer

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Elastisk kollisjon mellom like masser: normalkomponentene av hastighetene byttes.

Kaos · logistisk avbildning

PROServer

Formål: vise at et fullstendig deterministisk system kan være uforutsigbart.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Etter 100 innsvingningsiterasjoner fra et tilfeldig frø samles verdier til k forskjellige tall er funnet.

Flere detaljer

Kvantekollaps

PROServerEksperimentell

Formål: en motstrømsvekt som favoriserer tall som sjelden er trukket.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Vekt med «frekvensbarriere»; de tilfeldige tallene kommer fra en buffer med kryptografiske 16-bitsverdier.

Flere detaljer

System av paradokser

PROServerEksperimentell

Formål: forskningsrekker bygd på kontraintuitive egenskaper ved tilfeldige kombinasjoner. Fem arketyper brukes etter tur:

Mengden: foretrekker tall over 31 når utvalget har minst 42 tall (fødselsdager slutter på 31), med vekt 2.6 over grensen og 0.28 under, ×1.1 for multipler av 10, og tvinger deretter fram minst $\lceil 0.6k \rceil$ tall over grensen. Færre spiller slike tall, så en gevinst ville blitt delt med færre – vinnersjansen er uendret.
Sammenstøt: halvparten av rekken fra de hyppigste tallene, resten fra dem som har vært borte lengst.
Klynge: inneholder et par påfølgende tall – en egenskap som er langt vanligere i tilfeldige trekninger enn intuisjonen tilsier:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot omtrent 35%, Lotto 7/34 omtrent 78%.

Flere detaljer

Speil: parer $n$ med $N + 1 - n$ .
Regresjon: tallene der den nylige raten (siste 10 trekninger) avviker mest fra den langsiktige raten.

3. Den matematiske domstolen

Domstolen vurderer en kombinasjon du allerede har. Jurymedlemmer og modeller kan foreslå å bytte ut ett tall, forsvarerne argumenterer for eller mot hvert forslag, og Høyesterettssjefen avgjør saken ut fra et strukturfelt av tidligere trekninger. Tallene endres bare når du bestemmer det – og hvert steg blir registrert.

Utvalget av de tolv jurymedlemmene rundt domstolens emblem — Juryen: tolv personaer, hver med sin egen matematiske strategi

Gangen i en sak

Forslag. Et jurymedlem eller en modell går gjennom alle mulige enkeltbytter i rekken og foreslår høyst ett bytte – eller foreslår å beholde rekken.
Forsvar. Forsvarerne tar standpunkt til hvert forslag: støtte, innsigelse eller protest. En forsvarer foreslår eller setter aldri inn et tall selv.
Kjennelse. Høyesterettssjefen godtar forslaget, tilbyr et alternativ eller beholder tallet, ut fra strukturfeltet av tidligere trekninger.
Beslutning. Bare du endrer tall: godta et forslag, følg forsvaret, godta dommeren, behold originalen eller tilbakestill. Hver beslutning lagres sammen med hvem som tok den.

Fra en modell til en preferanse per tall

Hver modell reduseres til en relativ preferanse $\operatorname{rel}(n)$ for hvert tall, der 1 betyr «modellens gjennomsnitt», sammen med en standardfeil. Modeller som er definert av en eksplisitt vektvektor, er eksakte; de andre måles ved å kjøre dem:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Eksakt relativ preferanse for Hot tall, Markov, Gauss, Bayes, Gapanalyse, Kvantekollaps, Kvante-astral og Strukturfelt.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Monte Carlo-preferanse for prosedyrebaserte modeller: X₁ … X_R er R = 600 rekker fra modellen med faste frø (120 for den fysiske modellen). Konsensus midler i stedet over tre kjøringer (se kortet).

De nitten modellene

Domstolen bruker de seksten generatormetodene fra avsnitt 2 pluss tre egne modeller. Fire av dem bruker ingen historikk og er registrert uten tallpreferanse (Segmentdekning, Ren tilfeldig, Fysisk modell, Kaos); i praksis favoriserer Segmentdekning tallene i korte segmenter når $k$ ikke går opp i $N$ , og Kaos favoriserer kantene av tallområdet, slik kortene deres viser. To modeller er sammensatte (Konsensus og Strukturfelt).

Modell	Type	Grunnlag
Hot tall	vekter	$c_n + 0.05$
Kombinert	simulert	varme / midtre / kalde tredjedeler
Segmentdekning	simulert, uten historikk	ett tall per segment
Ren tilfeldig	simulert, uniform	Fisher–Yates-stokking
Markov-kjeder	vekter	glattede overganger fra siste trekning
Gauss · sentralgrenseteoremet	vekter	gaussisk kurve rundt $\mu/k$
Intervallmodell Δ	simulert	bootstrap av avstander
Bayes · Dirichlet	vekter	$c_n + 3$
Gapanalyse	vekter	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Fysisk modell	simulert, uten historikk	2D-simulering av skiver
Kaos	simulert, uten historikk	logistisk avbildning, skjev mot kantene
Kvantekollaps	vekter, eksperimentell	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
System av paradokser	simulert, eksperimentell	fem arketyper
Kvante-astral	vekter, eksperimentell	Månens stjernetegn og belysningsgrad
Hjulmatrise	simulert	design for pardekning
World Hot	simulert	kjerneprofil på tvers av lotterier
Verden kombinert	simulert	kjerneprofil på tvers av lotterier
Modellkonsensus	ensemble	14 medlemsmodeller
Strukturfelt	sammensatt	seks beskrivende komponenter

Strukturfelt

Server

Feltet er Høyesterettssjefens målestokk: en håndvektet sammensetning av seks beskrivende komponenter. Frekvenser, sammenkobling og pardekning deles på sitt maksimum over alle tall; fraværstid og typiskhet ligger allerede i $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Strukturfeltets poengsum for tallet n, fra 0 til 100.

Flere detaljer

der

$A_n,\ S_n$: frekvensen i hele vinduet og i de siste $\max(3, \min(10, D))$ trekningene
$G_n$: fraværstid, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: summen av lift-verdiene for par $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ over alle partnere $m$ , der $O_{nm}$ er antall trekninger som inneholder begge
$T_n$: gjennomsnittlig strukturell typiskhet for trekningene som inneholder $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , der $e$ er andelen partall og $z_S$ den standardiserte summen
$P_n$: pardekning, det totale antallet parobservasjoner som omfatter $n$

Modellkonsensus

Server

Fjorten medlemsmodeller i tolv familier produserer 10 rekker hver; et tall får poeng etter hvor mange modeller og familier som valgte det, hvor ofte og hvor jevnt:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensuspoengsum; domstolen midler over tre uavhengige kjøringer og bruker spredningen mellom dem som standardfeil.

Flere detaljer

der

$M_n,\ F_n$: antall medlemsmodeller og modellfamilier der rekkene inneholder $n$
$f_n$: totalt antall rekker som inneholder $n$
$\operatorname{stab}_n$: gjennomsnittlig antall forekomster per medlemsmodell som valgte $n$ , delt på 10

Kvante-astral modell

ServerEksperimentell

En underholdningsmodell som vekter tallene etter Månen på datoen for måltrekningen, pluss en liten andel av strukturfeltet:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kvante-astral vekt; σ ∈ {0,…,11} er stjernetegnet for Månens ekliptiske lengde på datoen for måltrekningen, I er belysningsgraden i prosent.

Flere detaljer

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Månens belysningsgrad i prosent ut fra alderen A i den synodiske måneden med lengde P (dager).

Slik vurderer en modell en rekke

For hvert mulig bytte $a \to b$ – tallet $a$ går ut av rekken, tallet $b$ kommer inn – beregner modellen gevinsten og støyen i den. En gevinst teller bare hvis den er statistisk tydelig; et tap teller alltid.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modellvurdering. Eksakte vektmodeller har SE = 0, så gevinstene deres teller alltid; byttet kvalifiserer når effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Standardfeilen for et bytte i en simulert modell: den sammenslåtte andelen under hypotesen om at a og b er like sannsynlige. For Konsensus er SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) over de tre kjøringene; eksakte vektmodeller har SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Bonferroni-korrigert terskel over alle k(N−k) mulige bytter; Eurojackpot: 3.43.

Grunnverdi $z$	Eurojackpot, 225 bytter	Lotto 7/34, 189 bytter
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

De tolv jurymedlemmene

Hvert jurymedlem har én strategi, egne kilder (modeller eller signaler fra historikken), en minste effekt og et signifikansnivå. Et jurymedlems konklusjon om en rekke er enten «behold» eller nøyaktig ett bytte; jurymedlemmene kommer ikke med innsigelser eller protester – det er forsvarets rolle.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Numerisk gevinst ved et bytte ut fra jurymedlemmets vektede kilder; λ = D/(D+40) for Eva Lind, ellers 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Effektiv verdi av et bytte. Det beste kvalifiserende byttet vinner (ved likhet: det minste nye tallet, deretter den tidligste posisjonen); finnes det ingen, beholder jurymedlemmet rekken.

der

$\omega_m$: vekten til kilden $m$ i jurymedlemmets definisjon
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , med $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: jurymedlemmets signifikansnivå, korrigert for $k(N-k)$ bytter som i tabellen over
$\Delta \ell_c$: endringen i log-likelihood for strukturkomponenten $c$ (nats)
$\Delta \Gamma$: endringen i kupongens dekningspoengsum

Signaler beregnet fra historikken

Tre jurymedlemmer bruker signaler som leses direkte fra trekningene og ikke fra en generator. Med $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Frekvenstest. Under rettferdige trekninger er Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), fordi tallene i én trekning er negativt korrelerte; deling på det forventede antallet Dp gir SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Replikasjon. Frekvens i K disjunkte vinduer med s = ⌊D/K⌋ trekninger; fordelen må tåle et fradrag på én standardfeil.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomali. Absolutt avvik fra det forventede antallet; √(1−2/π) er standardavviket til |Z| for en standardnormalfordelt Z.

Struktur og dekning

Strukturkomponentene sammenligner en rekke med profilen til tidligere trekninger: paritet, lav/høy, klynger og avstander er kategoriske med Laplace-glatting; sum og spredning er gaussiske.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-likelihood: ℓ₁ kategorisk (paritet, lav/høy, klynger; J kategorier, n_j tidligere trekninger i kategori j), ℓ₂ gaussisk (sum, spredning), ℓ₃ avstander mellom nabotall.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Kupongdekning: 𝒫′ er mengden av par i kupongens andre rekker; det andre leddet teller hvor mange tiergrupper i tallfeltet rekken berører.

Eva Lind · Skarpskytter

Strategi: langsiktig frekvens med bayesiansk krymping. Kilder: Bayes 0.8 + Hot tall 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; ingen signifikanstest (eksakte vekter).

Regel: det beste byttet er alltid rekkens minst hyppige tall → det hyppigste tallet utenfor rekken; det kvalifiserer når $\Delta \ge 0.12$ .

Flere detaljer

Maya Chen · Formarkitekt

Strategi: rekkens form. Kilder: Gauss 0.5 + Kombinert 0.5; strukturvekt 2 på paritet, lav/høy, sum, spredning og klynger; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regel: strukturleddet teller alltid, så et bytte som bringer rekken nærmere den typiske formen til tidligere trekninger, kan kvalifisere på strukturen alene.

Flere detaljer

Clara Moretti · Anomalijeger

Strategi: anomalier i begge retninger. Kilde: anomalisignalet; avstandsstruktur 0.4, som bare telles for et signifikant bytte; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

For anomalisignalet faller gjennomsnittet bort: bare differansen mellom de absolutte avvikene teller.

Flere detaljer

Leila Haddad · Global observatør

Strategi: verdensprofilen. Kilder: World Hot 0.5 + Verden kombinert 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; trenger data fra de andre lotteriene.

Flere detaljer

Freya Olsen · Dekningsingeniør

Strategi: kupongdekning uten tallpreferanse. Ingen kilder; dekningsvekt 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Flere detaljer

Nora Blake · Seerske

Eksperimentell

Strategi: underholdningssystemet med astrologi for trekningsdatoen. Kilde: Kvante-astral; $E_{\min} = 0.05$ ; trenger en dato for måltrekningen.

Flere detaljer

Derek Cole · Kjedemester

Strategi: overganger fra den siste trekningen. Kilde: Markov-kjeder; avstandsstruktur 0.4, som alltid telles; $E_{\min} = 0.12$ . Fordi Markov-vektene summerer seg til én, er $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Flere detaljer

Marcus Reed · Alarmsignal

Strategi: det lengste fraværet. Kilder: Gapanalyse 0.8 + Hot tall 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; ingen signifikanstest.

Flere detaljer

Victor Moreau · Trekningsmaskinens fysiker

Strategi: en fysisk skjevhet i trommelen ville gjentatt seg i hver periode. Kilde: replikasjon; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Støygulvet hindrer at fire heldige vinduer ser signifikante ut.

Flere detaljer

Noah Bennett · Årvåken skeptiker

Strategi: forkaste ren tilfeldighet på det strengeste nivået. Kilde: frekvenstest; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Lukket form av Noahs testobservator.

Flere detaljer

Elias Berg · Tryllekunstner mot strømmen

Eksperimentell

Strategi: mot mengden – sjeldnere tall. Kilder: Kvantekollaps 0.85 + System av paradokser 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Flere detaljer

Leo Fischer · Konsensusdirigent

Strategi: stabiliteten i modellkonsensus. Kilde: Konsensus (tre uavhengige kjøringer); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Flere detaljer

Generering i juryen

Når juryen genererer en rekke i stedet for å vurdere en, trekker hvert jurymedlem 40 kandidatrekker fra sine egne vekter $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ og beholder den beste etter

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Et jurymedlems stemmeseddel. Juryens rekke tar de k tallene med flest stemmer; ved likhet avgjør høyest normalisert støtte, deretter det minste tallet.

De seks forsvarerne

Forsvarerne vurderer et foreslått bytte $n_c \to n_p$ – det gjeldende tallet og det foreslåtte, trukket $x_c$ og $x_p$ ganger i $D$ trekninger – med sine egne signaler. Positive verdier taler for forslaget:

Signal	Definisjon
frekvens	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
posterior	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, felt, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktur	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilitet	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ over seks påfølgende perioder

Posteriorsannsynligheten beregnes eksakt, uten normaltilnærming:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Lukket form for betaposteriorer med heltallige parametere; betafunksjonen bruker Lanczos-tilnærmingen av log-gamma.

Beslutningsregel for byttet, der $\bar z$ er det vektede gjennomsnittet av forsvarerens signaler:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Standpunktet ψ til en forsvarer: S støtte, P protest, O innsigelse. χ = 1 når forsvarerens kontroller består: for støtte – enstemmige signaler, samsvar fra et andre signal og strukturvetoet; for protest – bare enstemmighet og samsvar.

Thomas Keller · Oppnevnt forsvarer

FREE

Signaler: frekvens + Bayes + strukturfelt, alle må være enige; støtte ved 1, protest ved −1; trenger 20 trekninger, og med 5 til 19 trekninger arbeider han i begrenset modus med Bayes + posterior.

Flere detaljer

Elena Rossi · Statistisk advokat

Signal: frekvens, korrigert for multiple sammenligninger; strukturveto ved −1; støtte og protest ved 1.96; minst 30 trekninger.

Flere detaljer

Amelia Grant · Mot falsk trygghet

Signal: posteriorsannsynligheten for overlegenhet; støtte ved $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protest ved $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); minst 10 trekninger.

Flere detaljer

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Standpunkt
30	1	7	0.987	støtte
30	4	3	0.354	innsigelse
30	5	2	0.128	protest
100	6	16	0.987	støtte

Julien Morel · Strukturadvokat

Signal: samlet endring i de seks strukturelle log-likelihood-verdiene; støtte ved 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protest ved 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); minst 20 trekninger.

Flere detaljer

Ingrid Falk · Stabilitet over tid

Signal: seire minus tap for det foreslåtte tallet over seks påfølgende perioder; må stemme med den totale frekvensen; terskel 1.5, altså minst $W - L \ge 4$ ; minst 30 trekninger.

Flere detaljer

Adrian Vega · Underholdningsastrologi

Eksperimentell

Signal: Kvante-astral-vektene for datoen for måltrekningen; støtte og protest ved 0.5.

Flere detaljer

Høyesterettssjefen

Dommeren avgjør et omstridt tall ved hjelp av strukturfeltet $F$ , normalisert til sitt maksimum: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Et tall er svakt hvis det ligger blant de laveste 35% av feltet.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ er en ordningsobservator av feltverdiene sortert stigende; det gjeldende tallet er svakt når φ(n_c) < θ. Marginen m gjelder når mer enn halvparten av forsvarerne som har tatt standpunkt, protesterer.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Kjennelsen V er tallet som dommeren beholder i posisjonen; den første linjen som passer, gjelder. a* er tallet med høyest feltverdi utenfor rekken som ikke er forslaget.

Høyesterettssjefens analyse og anbefaling

For hele rekker oppgir dommeren en poengsum for rekken og foreslår å bytte ut opptil $\lfloor k/2 \rfloor$ av de svakeste tallene under $\theta$ med de sterkeste tallene utenfor rekken. Du velger selv hvilke bytter som skal gjennomføres. Uten rekker gir dommeren en anbefaling: uniformt tilfeldige utkast forbedres på samme måte og returneres med opphavet sitt.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Rekkepoengsum i Høyesterettssjefens analyse.

Beslutninger, puljer og historikk

Beslutninger: godta forslaget, godta forsvaret, godta dommeren, behold originalen, tilbakestill. Tallene endres bare når du godtar et forslag, godtar en kjennelse fra dommeren som bytter ut tallet, eller tilbakestiller; hver endring er en transformasjon i opphavsposten.
Massebeslutninger: høyst ett bytte per tall. «Godta alle flertallsbytter» gjennomfører bare alternativer som mer enn halvparten av de utvalgte jurymedlemmene har valgt; «Bruk alle forslag» tar for hvert tall flertallsalternativet, ellers det med flest stemmer, og hopper over uavgjorte tilfeller.
Puljer: en vurdering av opptil 50 rekker med den samme oppstillingen av personaer teller som ett forsøk; rekker som allerede er analysert, hoppes over, og en avbrutt pulje fortsetter etter den samme planen.
Historikk: hendelsestypene er juryvurdering, modellvurdering, forslag, forsvarsvurdering, dommervurdering, beslutning og transformasjon; loggen holder opptil 200 hendelser og forkaster aldri en transformasjon eller de siste vurderingene.

Domstolen stilles til ansvar

Hver påstand skrives til prognoseregisteret før trekningen og vurderes etterpå mot tilfeldigheten. For påstander om $n_i$ tall med grunnsjanse $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H er antall treff. En kilde rangeres bare med minst 30 tall over minst 3 trekninger.

4. 3D-trommelen: fysikkmotoren

3D-trekningen er en sanntidssimulering av stive legemer: kulene er legemer med masse, treghet, friksjon og restitusjon, drevet av tyngdekraften, en omrøringsrotor og et luftfelt, og den trukne kulen er den som fysisk faller gjennom utløpet. Det er en troverdig fysisk modell av en trommel, ikke et opptak av en ekte maskin.

SuperEnalotto-trommel med 90 kuler som blandes mens en kule velges — 90 SuperEnalotto-kuler i det simulerte kammeret

Motor og koordinater

Fysikken kjører i Rapier 3D (versjon 0.14, WebAssembly); visningen bruker Three.js (r169). Koordinatsystemet er høyrehendt med $+y$ opp og origo i midten av kammeret; rotoraksen er den horisontale $x$ -aksen, og $+z$ peker mot betrakteren.

Kammer: en sfære med radius $R = 3.0$ enheter, bygd som et trekantnett med innoverrettede normaler og et sirkulært utløp i bunnen (halvvinkel $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Kuler: sfærer med radius $r = 0.2$ og tetthet 1; én kule per tall, fra 5 til 90 kuler.
Rotor: en kinematisk aksel med seks armer der de kapselformede padlene er dimensjonert slik at de stopper 0.14 enheter fra glasset i rotasjonsplanet, pluss en mindre trearmet rotor som skifter retning mellom blandefasene.
Sperre: en sylindrisk plugg i utløpet som fjernes når en kule får lov til å gå ut.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Masse, treghetsmoment og vekt for en kule i modellenheter.

Skala og Froude-likhet

Én modellenhet er 10 cm: en kule på 40 mm er 0.4 enheter, og kammeret er en sfære på 600 mm. Tyngdekraften er redusert til $30$ enheter/s² i stedet for de virkelige $98.1$ . Bevegelse som domineres av tyngdekraft og treghet, ser lik ut når Froude-tallet er det samme, så simuleringen tilsvarer en maskin i full størrelse med en langsommere klokke:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Størrelser med merke (′) hører til modellen. Likt Froude-tall ved lik lengde: hastigheter skaleres med √γ og tider med 1/√γ.

Krefter

Hver kule følger Newtons andre lov med de kreftene som koden faktisk bruker:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D luftmotstand, F_W analytisk vegg, F_S sug ved utløpet, F_C kontakter med kuler, rotor og sperre (beregnet av Rapier); τ de tilhørende dreiemomentene. Rapier bruker også en liten lineær demping og vinkeldemping, og hastighetene er begrenset til 22 enheter/s og 105 rad/s som sikkerhetsnett.

Luftfelt og kvadratisk luftmotstand

Blåseren er modellert som et foreskrevet lufthastighetsfelt $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; hver kule påvirkes av kvadratisk luftmotstand mot den lokale lufthastigheten. Motstandskonstanten er bestemt av en terminalhastighet på 48 enheter/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

I stille luft når en fallende kule v_t = √(g/k_d) = 48 enheter/s, omtrent 8.7 m/s i virkelig skala.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Sentral oppstrøm: sterkest på aksen nær bunnen (102 ved y = −3, 68 i midten, 34 på toppen); ρ_h er den horisontale avstanden fra aksen.

Virvel: en horisontal rotasjon på 11 enheter/s om den vertikale aksen.
Innoverstrøm: utenfor 60% av radien, opptil $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ mot sentrum, slik at kulene holder sirkulasjonen i gang i stedet for å klamre seg til glasset.
Turbulens: jevn tredimensjonal verdistøy (value noise) med amplitude 58 som driver i tid; det er en fast deterministisk funksjon, ikke en tilfeldighetsgenerator.
Vindkast mot stillstand: en kule som blir liggende for lenge i bunnen, på toppen, ved veggen eller nesten ubevegelig, får et lokalt vindkast lagt til lufthastigheten, som fortsatt virker gjennom luftmotstanden.

Analytisk sfærisk vegg

I tillegg til nettet håndheves glasset som en eksakt sfære på hastighetsnivå, noe som hindrer tunnelering og gir korrekt rulling. Med utovervendt normal $\hat{\mathbf n}$ , utovergående hastighet $v_n$ og inntrengning $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulativ kontaktmargin v* og restitusjon e (e_b er kulens restitusjon; null under slakkhastigheten, slik at en kule i ro ikke kan dirre).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normalrespons, brukes bare hvis v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Coulomb-friksjon i kontaktpunktet; s er den tangentielle glidehastigheten v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35) med μ_b kulens friksjon.

Kontakter mellom legemer

Kontaktene kule–kule, kule–rotor og kule–sperre løses av Rapiers føringsløser med kontinuerlig kollisjonsdeteksjon på kulene. Koeffisientene kombineres ved gjennomsnitt:

Par	Friksjon	Restitusjon
kule – kule	0.16	0.55
kule – glass	0.255	0.415
kule – padle	0.19	0.525
kule – arm eller aksel	0.17	0.35
kule – sperre	0.23	0.375

Dempingen er liten under trekningen (lineær 0.05, vinkel 0.035) og sterk mens kulene legger seg til ro (2.4). Det finnes ingen parameter for rullemotstand: rullingen bremses bare av demping og kontaktfriksjon.

Tidssteg og integrasjon

Simuleringen går fram i faste steg uavhengig av skjermens oppdateringsfrekvens; hvert skjermbilde kjører så mange faste steg som sanntiden krever, høyst fem:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Akkumulator med fast steg: et skjermbilde med varighet Δt_f kjører n faste steg (høyst 5); hvert steg deles i 2 Rapier-delsteg på h = 1/120 s med 6 løseriterasjoner.

Innenfor et delsteg oppdaterer motoren hastighetene ut fra kreftene og deretter posisjonene ut fra de nye hastighetene – den semi-implisitte (symplektiske) Euler-metoden som impulsbaserte motorer bruker, vist her som det generelle prinsippet:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Generell form: F er de påførte kreftene, F_c føringskreftene (kontaktkreftene) som Rapiers iterative løser finner.

Appens egne krefter (luft, vegg, sug) beregnes én gang per steg ut fra tilstanden ved starten av steget og holdes konstante over begge delstegene. Rotoren er kinematisk og får nytt mål i hvert delsteg:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Eksponentiell tilnærming av rotorhastigheten mot målet; blandingen går syklisk gjennom 2.4, 2.9, 2.1 og 2.7 rad/s.

Slik velges en kule

Etter 1 s oppstart og 2.6 s blanding åpnes sperren. Mens utløpet er åpent, avtar oppstrømmen over det jevnt, den sentrale strålen reduseres til 62%, og et sug på omtrent 2.2 kulevekter (omtrent 4 etter 5 s) trekker kuler nær utløpet:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Sug nær utløpet (y < −1.6 og horisontal avstand < 0.6); t_c er tiden siden sperren ble åpnet.

Den trukne kulen er den første som har sentrum under $y = -3.18$ ; hvis flere gjør det i samme steg, den laveste. Ingen tilfeldige tall brukes i det øyeblikket. De tilfeldige tallene i en trekning er kulenes startplassering og en liten starthastighet og startrotasjon, hentet fra Web Crypto API (på nytt når et separat bonustallutvalg lastes inn). Kulen beveger seg deretter langs utgangsbanen til kulestativet; den bevegelsen er skriptet, ikke simulert.

Visning, simulering og tilfeldighet

Simulering: faste steg på 1/60 s; kvalitetsnivåene (ultra, høy, middels, lav) endrer bare skygger, bloom, oppløsning og detaljnivået i nettene, aldri fysikken.
Visning: hvert skjermbilde viser det sist fullførte steget; det er ingen interpolering mellom stegene.
Tilfeldighet: kreftene er deterministiske; utfallet avhenger av startplasseringen og, fra og med den andre kulen, også av hvor lang tid visningen av den forrige kulen tar på enheten, så en trekning kan ikke spilles av nøyaktig på nytt.

5. Statistikk over ekte trekninger

Analyseskjermene beskriver historiske trekninger. De svarer på «hva skjedde» og «er dette forenlig med et rettferdig lotteri», aldri på «hva kommer til å skje».

Frekvenser, varme og kalde tall

For hvert tall teller appen forekomstene i vinduet og viser dem ved siden av det forventede antallet i et rettferdig lotteri; standardavviket er oppgitt her som referanse:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Forventet antall (vises i appen) og standardavviket (referanse) for ett tall over D uavhengige trekninger.

Varme og kalde: de fem hyppigste og de fem minst hyppige tallene, hver med sitt forventede antall (krever minst 5 trekninger).
Frekvensstolper: røde når et talls andel overstiger 1.3 ganger den forventede andelen, blå under 0.7 ganger.
Varmekart: farge etter min–maks-normalisering $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Varmekart for de 50 hovedtallene i Eurojackpot, farget fra blått til rødt — Varmekart: fargen viser bare tidligere frekvens

Rettferdighetstest: χ² med korreksjon

χ²-testen sjekker om tellingene er forenlige med like sannsynligheter. I én trekning tas de $k$ tallene uten tilbakelegging, noe som gjør tellingene negativt korrelerte; den vanlige multinomiske testobservatoren blir da for liten, og appen korrigerer den:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pearsons testobservator med korreksjon for trekning uten tilbakelegging; krever minst 10 trekninger.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regularisert øvre ufullstendig gammafunksjon, beregnet med rekkeutvikling og kjedebrøk.

p-verdi	Vurdering
$p > 0.05$	ikke noe signifikant avvik
$0.01 < p \le 0.05$	avvik i grenseland
$p \le 0.01$	statistisk signifikant avvik

Posisjonell Q-test

Med minst 30 fullstendige trekninger tester appen også gjennomsnittet for hver sorterte posisjon (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). Det $i$ -te minste av $k$ tall trukket fra $1..N$ har forventning og kovarians

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ er vektoren av differanser mellom de observerte posisjonsgjennomsnittene og μ over m trekninger.

Par, sammenligninger og kontroller

Par: en 12 × 12-matrise over hvor ofte de 12 hyppigste tallene forekom sammen (minst 10 trekninger). Dette er rå tellinger; som referanse er det forventede antallet for et gitt par i rettferdige trekninger $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Sammenligning av lotterier: jackpotsjanse, pris og kostnaden ved å kjøpe alle kombinasjonene.
Kontroll av matematikken: appen beregner $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ på nytt og sammenligner med den lagrede konstanten, og sjekker trekningene i analysevinduet for verdier utenfor tallområdet, feil antall kuler og dupliserte datoer.
Premienivåer: offisielle premietabeller per trekning. Trekningsbildet viser gjennomsnittet av de siste 60 ekte premietabellene; bare for et lotteri helt uten premiedata anslås antall vinnere ut fra sannsynlighetene for premienivåene i avsnitt 8 og et antatt salgsvolum, så de tallene er bare illustrasjoner.

Simulering av et helt liv med spill

50-årssimuleringen bruker sannsynligheten for minst én jackpot på $T$ uavhengige rekker:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Sannsynligheten for minst én jackpot på T rekker; C er antall jackpotkombinasjoner, d trekninger per uke, r rekker per trekning.

6. Kalenderanalyse

Kalenderanalysen leter etter sammenfall mellom trekningsdatoer og trukne tall – for eksempel at dagen i måneden er blant kulene – og sammenligner hver observert andel med andelen ren tilfeldighet ville gitt.

Utvalg av trekninger

Trekningene kan filtreres etter år, måned, samme måned på tvers av alle år eller et datointervall, og etter regelperiode. Frekvenslistene (varme, kalde, lengst borte) bruker rå tellinger i utvalget; et tall som er umulig i alle de valgte periodene, utelates, og et utvalg som blander perioder, merkes med en advarsel, fordi et tall som bare er gyldig i den nyere perioden, ser falskt «kaldt» ut. Datoreglene nedenfor tar hensyn til regelperiodene: en trekning teller for en regel bare hvis minst én kandidat er et gyldig tall etter reglene for akkurat den trekningen.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Observert andel for en datoregel: C_t er kandidattallene for trekningen t, X_t de trukne tallene, Ω_t de gyldige tallene etter reglene som gjaldt; ℰ er de kvalifiserte trekningene.

Ti datoregler

Regel	Kandidattall for en trekning den DD.MM.ÅÅÅÅ
dag	DD
måned	MM
år	ÅÅÅÅ mod 100
time	timen for trekningen, der operatøren publiserer den
årets sifre	de forskjellige sifrene i ÅÅÅÅ
tverrsum av året	summen av sifrene i ÅÅÅÅ
tverrsum av tosifret år	summen av sifrene i ÅÅÅÅ mod 100
tverrsum av dagen	summen av sifrene i DD
tverrsum av datoen	summen av alle sifrene i DD, MM og ÅÅÅÅ
iterert tverrsum	tverrsummen av datoen redusert til ett siffer

En kandidat lik 0 ignoreres, og en trekning teller bare én gang for en regel selv om flere av tallene treffer.

Tilfeldig forventning

For en trekning av $k$ tall blant $S$ mulige verdier og en mengde på $m$ kandidattall er sannsynligheten for at ingen kandidat trekkes, hypergeometrisk:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: ingen kandidat trekkes; P≥1: minst én trekkes. Kandidater utenfor tallområdet i trekningens regelperiode forkastes.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Forventet treffandel r̂ over de kvalifiserte trekningene ℰ, hver med sin egen regelperiode; P^M og P^B for hovedtall og bonustall kombineres som uavhengige.

Kalendertreff med observerte andeler ved siden av den tilfeldige forventningen — Kalendertreff sammenlignet med tilfeldigheten

Tolkning av andelene

Par listes fra 30 trekninger og tripler fra 120 (bare kombinasjoner som er sett minst to ganger, de ti hyppigste); under 100 trekninger vises en advarsel om lite utvalg. Med 100 trekninger har en andel nær 20% fortsatt et 95%-intervall på omtrent $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ prosentpoeng.

7. Historisk arkiv og regelperioder

Lotterier endrer reglene sine. En trekning gir bare mening sammen med reglene som gjaldt på datoen, så hver lagret trekning har med seg sin regelversjon.

Regelperioder

Lotteri	Perioder (hovedtall · bonustall)
Lotto (Norge)	7/34 + 3 tilleggstall → 7/34 + 1 tilleggstall (fra 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + tilleggstall og lykketall → Vikingtall 1–8 (2017) → 1–5 (fra 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (fra 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (fra 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (fra 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (fra 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly siden 1997; SuperStar er en egen trommel og er utelatt fra modellene
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (fra 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (fra 19.04.2018)

Kompatibilitetsregel

Modeller og analyser bruker bare trekninger som er sammenlignbare med dagens regler. To perioder sammenlignes gruppe for gruppe:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Perioden e er sammenlignbar for hovedtallene når antall og tallområde stemmer (venstre), og for bonustallene når hver bonusgruppe 𝓑 stemmer (høyre). En trekning med sammenlignbare hovedtall, men andre bonusregler, beholder hovedtallene og mister bonustallene.

Eurojackpot-historikk med kortet for perioden med gjeldende regler og trekninger merket med regelversjon — Arkivet merker hver trekning med regelperioden sin

8. Sannsynlighet og begrensninger

Hver offisiell trekning er et uavhengig tilfeldig eksperiment. Ingen historikk, modell, domstol eller simulering endrer sannsynligheten for noen kombinasjon.

Jackpotsannsynlighet

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Jackpotsannsynligheten for én rekke etter gjeldende regler (til høyre: Eurojackpot); lotterier uten bonustall for spilleren bruker bare den første faktoren.

Lotteri	Regler	Jackpotsjanse
Lotto (Norge)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Alle premienivåer

Å treffe nøyaktig $i$ av de $k$ hovedtallene og $j$ av de $b$ bonustallene er et produkt av to hypergeometriske sannsynligheter:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

For et tilleggstall trukket fra samme trommel (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) er den andre faktoren (k−i)/(N−k) for «+1».

Premienivå i Eurojackpot	Sjanse
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Hvorfor ingen metode kan slå tilfeldigheten

Hvis trekningene er uavhengige og alle kombinasjoner er like sannsynlige, er den betingede sannsynligheten for neste trekning gitt en hvilken som helst historikk den samme som uten den, og det forventede antallet treffede hovedtall er det samme for hver rekke, uansett hvordan den ble laget:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H er antall treffede hovedtall i en rekke. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 per rekke for alle metoder.

Åpne Lotto Simulator