Matemaatika ja tehnoloogia

Tegelik matemaatika, statistika, algoritmid ja füüsika, millele Lotto Simulator tugineb, — võetud otse rakenduses töötavast koodist.

Ava Lotto Simulator

Kuidas seda lehte lugeda

Iga allpool toodud valem on võetud teostusest, mitte reklaambrošüürist. Kui mõni komponent on valemi asemel deterministlik reegel või heuristika, kirjeldame algoritmi täpselt nii, nagu see töötab, ega mõtle sellele matemaatikat juurde.

Lotto Simulator on analüütiline, hariv ja simulatsioonikeskkond. See genereerib kombinatsioone kuueteistkümne meetodiga, vaatab need läbi Matemaatilises kohtus, kus tegutsevad kaksteist vandekohtunikku, kuus kaitsjat ja Peakohtunik, kontrollib tegelike loosimiste ajaloo ausust, analüüsib kalendrikokkulangevusi ja taasesitab füüsilist 3D-loositrumlit. Miski sellest ei muuda ühegi numbri tõenäosust ametlikus loosimises — 8. jaotis selgitab arvudega, miks.

Lehel kasutatavad tähistused

kus

$N$: põhinumbrite hulga suurus (näiteks Eurojackpotis 50)
$k$: mitu põhinumbrit loositakse ja mängitakse (Eurojackpotis 5)
$B,\; b$: eraldi boonusnumbrite hulga suurus ja mängitavate boonusnumbrite arv (Eurojackpotis 12 ja 2)
$D$: varasemate loosimiste arv valitud analüüsiaknas
$c_n$: mitu korda number $n$ esines nende $D$ loosimise põhinumbrite seas
$t = 0, 1, \dots$: loosimise indeks, uusimast alates: $t = 0$ on viimane loosimine
$\binom{n}{r}$: binoomkordaja — mitmel viisil saab valida $r$ elementi $n$ elemendi hulgast

1. Süsteemi arhitektuur

Üks rakendus, üks koodibaas: sama veebirakendus töötab arvuti- ja mobiilibrauserites ning muutmata kujul ka iOS- ja Android-rakendustes (Capacitor WebView). Raske ja tasuline arvutus toimub serveris; kõik, mida kasutaja näeb, joonistatakse seadmes.

Seade (veeb, iOS, Android)Kasutajaliides, pilet ja töökomplektid, neli FREE generaatorimeetodit, sagedusdiagrammid, χ² test, kalendrimatemaatika, 3D-trummel. „Puhas juhuslik“ ja 3D-trummel saavad juhuslikkuse Web Crypto API-st.
Edge-funktsioonid (TypeScript, Deno)Kaksteist PRO generaatorimeetodit, kõik üheksateist kohtu mudelit, kaksteist vandekohtunikku, kuus kaitsjat, Peakohtunik, rattamaatriksite skeemid, ennustusregister. Kohus töötab seemendatud, korratavate pseudojuhuslike voogudega.
Andmebaas (PostgreSQL)Ametlikud loosimistulemused koos reeglite versiooniga, võidutabelid, kontod ja õigused, ainult lisatav ennustusregister ja selle hindamine.
AndmetoruAjastatud tööd koguvad ametlikud tulemused, kontrollivad iga loosimist selle ajastu reeglite järgi ja avaldavad kehtivate reeglite andmestiku.

Kes mida arvutab

Brauseris: FREE-meetodid („Kuumad numbrid“, „Kombineeritud“, „Segmendi katvus“, „Puhas juhuslik“) ja kogu kirjeldav statistika. Avalik järk eemaldab PRO-teostused kliendist füüsiliselt: nende funktsioonid on asendatud tühikutega (stub), nii et PRO-tulemus saab tulla ainult serverist.
Serveris: kõik PRO-meetodid, kogu Matemaatiline kohus ja Peakohtunik. Päring sisaldab loteriid, meetodit, ridade arvu (1–50) ja analüüsiakent; server laadib loosimised ise, nii et klient ei saa talle väljamõeldud ajalugu sööta.
Turvalise keeldumise reegel: serverimudel vajab valitud analüüsiaknas vähemalt 5 loosimist. Kui neid on vähem, keeldub see selge vastusega „ebapiisav ajalugu“, selle asemel et luua ridu eimillestki.

Korratav kohtuarvutus

Iga vandekohtunik, kaitsja ja mudel töötab kohtus oma pseudojuhusliku vooga, mille seeme on räsi algoritmi versioonist, tegelaskujust, loteriist, kogu loosimiste ajaloost ja sihtloosimise kuupäevast. Seetõttu annavad samad andmed alati sama otsuse ning iga muudatus ajaloos muudab kõiki vooge.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Kohtuarvutuse seeme ja sellest saadud ühtlaselt jaotunud arvude voog.

kus

$v$: kohtumootori algoritmi versioon
$\kappa$: tegelaskuju või mudeli võti, näiteks vandekohtuniku identifikaator
$H$: kõik akna loosimised, põhi- ja boonusnumbrid järjekorras
$g,\; d$: loterii identifikaator ja sihtloosimise kuupäev
$h_0$: FNV-1a algväärtus (offset basis); $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ räsib teksti $x$ , alustades olekust $h$
$u_i$: voo $i$ -s ühtlaselt jaotunud juhuslik arv

Salvestamine ja päritolu

Igal kombinatsioonil on päritolukirje: selle allikas (generaatorimeetod, vandekohtunik, vandekogu konsensus, rattamaatriks, 3D-loosimine, Peakohtunik, käsitsi sisestus), algsed numbrid ja ainult lisatav sündmuste logi ülevaatuste, ettepanekute, kaitsjate seisukohtade, otsuste, valikute ja teisenduste kohta (kõige rohkem 200 sündmust). Kirje võetakse vastu ainult siis, kui selle teisenduste uuesti rakendamine algsetele numbritele annab täpselt sama rea; vastasel juhul näidatakse rida kui sellist, mille allikas pole saadaval.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Päritolu kontroll: praegune rida R_m peab võrduma algse reaga R_0, millele on järjekorras rakendatud kõik registreeritud asendused τ₁ … τₘ.

Põlvnemine: kui rida muudetakse käsitsi, luuakse uus kirje, mille vanem on eelmine (säilitatakse kuni neli varasemat kirjet), nii et ajalugu enne käsitsi muutmist jääb nähtavaks.
Ennustusregister: iga soovitus (genereeritud rida, vandekohtuniku asendus, kaitsja seisukoht, otsus) kirjutatakse registrisse enne sihtloosimist ja hinnatakse pärast ametlikku tulemust automaatselt.

2. Põhigeneraator: kuusteist meetodit

Generaator pakub kuutteist meetodit. Neli FREE-meetodit töötavad brauseris, kaksteist PRO-meetodit serveris. Kõik need valivad $k$ erinevat numbrit vahemikust $1..N$ ning loterii boonusnumbrid; need erinevad ainult selle poolest, kuidas numbreid kaalutakse või konstrueeritakse.

Seeria generaator koguse, analüüsimeetodi ja kolme vaikefiltriga — Generaatori paneel: meetodi valik ja vaikefiltrid

Ühised ehitusplokid

Kaalutud meetodid omistavad igale numbrile kaalu $w_n \ge 0$ ja valivad seejärel järjestikku tagasipanekuta: iga valik eemaldab numbri ning ülejäänud kaalud normeeritakse uuesti.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Järjestikune kaalutud valik tagasipanekuta, mida kasutavad kõik kaaludel põhinevad meetodid.

kus

$x_j$: reale valitud $j$ -s number, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: meetodi kaal numbrile $n$

Juhuslikkus: brauseris kasutavad „Puhas juhuslik“ ja unikaalsuse samm Web Crypto API-t, „Kuumad numbrid“, „Kombineeritud“ ja „Segmendi katvus“ aga brauseri standardgeneraatorit (Math.random). Serveris kasutavad meetodid krüptograafilist juhuslikkust, välja arvatud füüsiline mudel (standardgeneraator) ja kaose seeme, mis segab krüptograafilist juhuslikkust kõrge eraldusvõimega taimeriga. Brauseris saadakse nihketa täisarv vahemikust $0..M-1$ tagasilükkamisvalikuga, nii et ühtki jääki ei eelistata:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Tagasilükkamisvalik: 32-bitine krüptograafiline väärtus x loositakse uuesti, kuni see on väiksem kui suurim M-i kordne, ja seejärel võetakse jääk mooduli M järgi.

Boonusnumbrid

Boonusnumbrid (Eurojackpot 2 12-st, EuroMillions 2 12-st, Powerball 1 26-st, Mega Ball 1 24-st, Viking-number 1 5-st, Powerball AU 1 20-st) loositakse oma hulgast põhinumbritest sõltumatult. Lotto, SuperEnalotto ja Lotto Max puhul pole mängijal boonusnumbrit: nende lisapalli loosib korraldaja põhitrumlist.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Boonusnumbri j kaal w′ⱼ boonusesinemiste arvuga c′ⱼ meetodi μ korral: freq = „Kuumad numbrid“; rnd, phys, chaos, world = „Puhas juhuslik“, füüsiline mudel, kaos ja maailmameetodid; kõik ülejäänud meetodid kasutavad c′ⱼ + 2. Kui loosimisi on vähem kui 5, kasutavad kõik meetodid võrdseid kaale.

FREE-filtrid ja unikaalsus

Brauseris loodud read läbivad kolm vaikimisi sisselülitatud filtrit: kõik numbrid ei ole paaris ega kõik paaritud; summa on teatud vahemikus; pole järjestikuste numbrite jada, mis oleks pikem kui kolm. Tagasilükatud rida asendatakse ühtlaselt juhusliku reaga, mis filtrid läbib (selle boonusnumbrid loositakse Bayesi kaaludega $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Summa vaikevahemik. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, vahemik 73–183.

Et samas seadmes sama kombinatsiooni kaks korda välja ei antaks, tuvastatakse iga FREE-rida selle põhinumbrite leksikograafilise järgu järgi kõigi $\binom{N}{k}$ kombinatsiooni seas ja võrreldakse selle loterii viimase 20 000 väljastatud reaga; korduvat järku muudetakse juhuslike vahetustega ning viimase abinõuna võetakse järgmine kasutamata järk kõigi järkude juhuslikust afiinsest permutatsioonist. Sel viisil muudetud rida filtritega uuesti ei kontrollita.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Kombinatsiooni leksikograafiline järk ja täisperioodiga afiinne läbimine üle kõigi järkude.

FREE- ja PRO-täitmisteed

Tee	Meetodid	Kus töötab	Ridu käivituse kohta	Ajalugu
FREE	„Kuumad numbrid“, „Kombineeritud“, „Segmendi katvus“, „Puhas juhuslik“	brauser	kuni 5 (PRO-kasutajatele kuni 50)	viimaste loosimiste FREE-aken
PRO	ülejäänud kaksteist meetodit	server	kuni 50	valitud analüüsiaken, vähemalt 5 loosimist

Kuumad numbrid

FREEBrauseris

Eesmärk: eelistada numbreid, mis on analüüsiaknas kõige sagedamini esinenud.

w_n = c_n + 0.05

Numbri n kaal; kui loosimisi on vähem kui 5, on kõik kaalud võrdsed 1-ga.

Täpsemalt

Kombineeritud

FREEBrauseris

Eesmärk: segada kuumi, keskmisi ja külmi numbreid kindlas vahekorras.

Numbrid järjestatakse $c_n$ järgi (võrdsete väärtuste korral on eespool väiksem number) ja jagatakse kolmandikeks suurusega $\lceil N/3 \rceil$ : kuumad, keskmised, külmad. Rida $i$ võtab igast kolmandikust ühtlaselt valitud numbreid:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Rida i võtab h kuuma, mᵢ keskmist ja cᵢ külma numbrit; paaritutes ja paarisridades vahetavad keskmiste ja külmade osad kohad.

Täpsemalt

Segmendi katvus

FREEBrauseris

Eesmärk: jaotada rida ühtlaselt üle kogu numbrivahemiku.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Üks ühtlaselt valitud number igast k järjestikusest segmendist; viimane segment hõlmab jäägi.

Täpsemalt

Puhas juhuslik

FREEBrauseris

Eesmärk: aus võrdlusalus — kõik numbrid on võrdselt tõenäolised.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Krüptograafiline Fisher–Yates segamine annab enne filtreerimist igale kombinatsioonile sama tõenäosuse.

Täpsemalt

Rattamaatriks

PROServeris

Eesmärk: luua mitu rida, mis koos katavad väikese numbrihulga paaridest võimalikult palju, — ahne katteskeem.

Hulgas on $\min(N, k+5)$ numbrit, mis on võetud vaheldumisi kuumast, külmast ja keskmisest kolmandikust. Kõik hulga $\binom{|P|}{k}$ kombinatsiooni on kandidaadid (üle 40 000 korral kasutatakse juhuslikku valimit); igal sammul lisatakse parima skooriga kandidaat ja selle paarid märgitakse kaetuks:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Ahne paarikatte skoor; võrdsete skooride korral valitakse ühtlaselt juhuslikult.

Täpsemalt

kus

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: kandidaatrea $R$ paarid ja juba valitud ridadega kaetud paarid
$u_n$: mitu juba valitud rida sisaldab numbrit $n$
$[\,\cdot\,]$: võrdub 1-ga, kui tingimus kehtib, muidu 0

Maailma kuum ja Maailma kombineeritud

PROServeris

Eesmärk: kanda kõigi üheksa toetatud loterii sagedusprofiil üle praegusele loteriile.

Iga loositud number $x$ igast loteriist $g$ kujutatakse selle suhtelisele positsioonile $q = (x-1)/(N_g - 1)$ ja jaotatakse kitsa Gaussi tuumaga praeguse loterii numbritele; igal loteriil on loosimise kohta sama kaal ning lõpuks lisatakse veel kord praeguse loterii enda sagedus:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Numbri n maailmaskoor; X_g on kõik loteriis g loositud põhinumbrid (kuni 400 viimast kehtivate reeglite loosimist, D_g loosimist).

Täpsemalt

Maailma kuum: $k$ ühtlast valikut $\max(3k, 12)$ kõrgeima skooriga numbri seast.
Maailma kombineeritud: $\lceil 0.45k \rceil$ ülemisest kolmandikust, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ alumisest kolmandikust, ülejäänud keskmisest. Boonusnumbrid on ühtlased.

Markovi ketid

PROServeris

Eesmärk: kaaluda numbreid selle järgi, kui sageli need on järgnenud eelmise loosimise numbritele.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplace’i järgi silutud esimest järku üleminekutõenäosus, keskmistatud üle viimase loosimise L.

Täpsemalt

kus

$T(a \to b)$: kui sageli esines number $b$ loosimises vahetult pärast loosimist, milles oli $a$
$L$: viimase loosimise põhinumbrid

Gauss · tsentraalne piirteoreem

PROServeris

Eesmärk: luua ridu, mille summa on tüüpiline. Tagasipanekuta loositud $k$ numbri summal on

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Rea summa keskväärtus ja dispersioon tagasipanekuta valiku korral (vähemalt 5 summa olemasolul asendatakse empiiriliste väärtustega).

Täpsemalt

Iga numbrit kaalutakse Gaussi funktsiooniga ümber positsiooni keskmise väärtuse ja loositakse kuni 40 kandidaatrida; võidab see, mille summa on $\mu$ -le kõige lähemal (otsing lõpeb varem, kui hälve jääb $0.5\sigma$ piiresse):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Gaussi meetodi kaal iga numbri kohta.

Intervallmudel Δ

PROServeris

Eesmärk: jäljendada naabernumbrite vahekaugusi tegelikes loosimistes.

Viimasest 120 loosimisest kogutakse iga loosimise väikseim number ja kõik vahed järjestatud naabernumbrite vahel. Rida moodustatakse juhuslikust algusest ja juhuslikest vahedest; rida, mis ületab $N$ , lükatakse tagasi (kuni 300 katset, seejärel ühtlane rida):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Esimeste numbrite ja vahede empiiriline bootstrap; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) on järjestatud loosimine t.

Täpsemalt

Bayes · Dirichlet

PROServeris

Eesmärk: sagedus koos kahandamisega (shrinkage) ühtlase jaotuse suunas.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Sümmeetrilise Dirichlet(α) eeljaotuse aposterioorne keskväärtus pärast vaadeldud loendustega uuendamist; meetod valib kaaludega c_n + 3.

Täpsemalt

Lünkade analüüs

PROServeris

Eesmärk: eelistada numbreid, mis pole pikka aega esinenud.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n on uusima n-i sisaldava loosimise indeks (0 = viimane loosimine); kunagi nähtamatu number saab väärtuse D + ḡ.

Täpsemalt

Loosimismasina füüsiline mudel

PROServeris

Eesmärk: lasta lihtsustatud 2D-simulatsioonil otsustada väljumise järjekord.

$N$ ketast raadiusega $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ liiguvad ühikruudus juhuslike õhupuhangute, väljapääsu suunas mõjuva püsiva triivi, sumbumise ja võrdsete masside elastsete põrgetega; loositakse ketas, mis väljub alumise seina keskel asuva väljapääsu kaudu.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

2D-mudeli üks samm (y on suunatud alla, väljapääsu poole; kõige rohkem 2400 sammu). Ketas väljub, kui alumise seina juures 0.43 < x < 0.57; kui väljub vähem kui k ketast, täiendatakse rida ühtlaselt.

Täpsemalt

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Võrdsete masside elastne põrge: kiiruse normaalkomponendid vahetatakse.

Kaos · logistiline kujutus

PROServeris

Eesmärk: näidata, et täiesti deterministlik süsteem võib olla ettearvamatu.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Pärast 100 soojendusiteratsiooni juhuslikust seemnest kogutakse väärtusi, kuni on leitud k erinevat numbrit.

Täpsemalt

Kvantkollaps

PROServerisEksperimentaalne

Eesmärk: vastuvoolu kaal, mis eelistab harva loositud numbreid.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

„Sagedusbarjääri“ kaal; juhuslikud arvud tulevad 16-bitiste krüptograafiliste väärtuste puhvrist.

Täpsemalt

Paradokside süsteem

PROServerisEksperimentaalne

Eesmärk: uurimuslikud read, mis põhinevad juhuslike kombinatsioonide vastuintuitiivsetel omadustel. Kordamööda kasutatakse viit arhetüüpi:

Rahvahulk: vähemalt 42 numbriga hulkades eelistab numbreid üle 31 (sünnipäevad lõpevad 31-ga), kaal 2.6 üle piiri ja 0.28 alla selle, ×1.1 10-ga jaguvatele numbritele, ning sunnib seejärel reale vähemalt $\lceil 0.6k \rceil$ numbrit üle piiri. Selliseid numbreid mängib vähem inimesi, nii et võit jagataks vähemate vahel — võiduvõimalus ei muutu.
Kokkupõrge: pool reast kõige sagedasematest numbritest, ülejäänud kõige kauem puudunutest.
Klaster: sisaldab kahe järjestikuse numbri paari — omadust, mis on juhuslikes loosimistes palju tavalisem, kui intuitsioon arvab:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot umbes 35%, Lotto 7/34 umbes 78%.

Täpsemalt

Peegel: paarid $n$ ja $N + 1 - n$ .
Regressioon: numbrid, mille hiljutine sagedus (viimased 10 loosimist) erineb kõige rohkem nende pikaajalisest sagedusest.

3. Matemaatiline kohus

Kohus vaatab läbi kombinatsiooni, mis teil juba on. Vandekohtunikud ja mudelid võivad teha ettepaneku asendada üks number; kaitsjad räägivad iga ettepaneku poolt või vastu; Peakohtunik otsustab varasemate loosimiste struktuurse välja põhjal. Numbrid muutuvad ainult siis, kui teie nii otsustate, — ja iga samm registreeritakse.

Kaheteistkümne vandekohtuniku valik kohtu embleemi ümber — Vandekogu: kaksteist tegelaskuju, igaühel oma matemaatiline strateegia

Asja menetlemise järjekord

Ettepanek. Vandekohtunik või mudel vaatab läbi kõik rea võimalikud ühe numbri vahetused ja teeb kõige rohkem ühe asendusettepaneku — või teeb ettepaneku rida alles jätta.
Kaitse. Kaitsjad võtavad iga ettepaneku kohta seisukoha: toetus, vastuväide või protest. Kaitsja ei paku ega rakenda kunagi numbrit.
Otsus. Peakohtunik võtab ettepaneku vastu, pakub alternatiivi või jätab numbri alles, kasutades varasemate loosimiste struktuurset välja.
Valik. Numbreid muudate ainult teie: võtke ettepanek vastu, järgige kaitset, võtke vastu kohtuniku otsus, jätke originaal alles või taastage eelmine. Iga valik salvestatakse koos selle tegijaga.

Mudelist numbrikohase eelistuseni

Iga mudel taandatakse iga numbri suhteliseks eelistuseks $\operatorname{rel}(n)$ , kus 1 tähendab „mudeli keskmist“, koos standardveaga. Selge kaaluvektoriga määratud mudelid on täpsed; ülejäänuid mõõdetakse neid käivitades:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Täpne suhteline eelistus mudelitele „Kuumad numbrid“, Markov, Gauss, Bayes, „Lünkade analüüs“, „Kvantkollaps“, „Kvant-astraal“ ja „Struktuurne väli“.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Protseduuriliste mudelite Monte Carlo eelistus: X₁ … X_R on mudeli R = 600 seemendatud rida (füüsilise mudeli puhul 120). Konsensus keskmistab selle asemel kolm käivitust (vt selle kaarti).

Üheksateist mudelit

Kohus kasutab 2. jaotise kuutteist generaatorimeetodit ja kolme kohtu mudelit. Neli neist ei kasuta ajalugu ja on registreeritud kui numbrieelistuseta mudelid („Segmendi katvus“, „Puhas juhuslik“, füüsiline mudel, „Kaos“); tegelikult eelistab „Segmendi katvus“ lühikeste segmentide numbreid, kui $k$ ei jaga $N$ -i, ja „Kaos“ vahemiku servi, nagu nende kaardid näitavad. Kaks mudelit on liitmudelid („Konsensus“ ja „Struktuurne väli“).

Mudel	Tüüp	Alus
Kuumad numbrid	kaalud	$c_n + 0.05$
Kombineeritud	valimipõhine	kuum / keskmine / külm kolmandik
Segmendi katvus	valimipõhine, ajaloota	üks number segmendi kohta
Puhas juhuslik	valimipõhine, ühtlane	Fisher–Yates segamine
Markovi ketid	kaalud	silutud üleminekud viimasest loosimisest
Gauss · tsentraalne piirteoreem	kaalud	Gaussi funktsioon ümber $\mu/k$
Intervallmudel Δ	valimipõhine	vahede bootstrap
Bayes · Dirichlet	kaalud	$c_n + 3$
Lünkade analüüs	kaalud	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Füüsiline mudel	valimipõhine, ajaloota	2D-ketaste simulatsioon
Kaos	valimipõhine, ajaloota	logistiline kujutus, nihe servade poole
Kvantkollaps	kaalud, eksperimentaalne	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Paradokside süsteem	valimipõhine, eksperimentaalne	viis arhetüüpi
Kvant-astraal	kaalud, eksperimentaalne	Kuu märk ja valgustatus
Rattamaatriks	valimipõhine	paarikatte skeem
Maailma kuum	valimipõhine	loteriideülene tuumaprofiil
Maailma kombineeritud	valimipõhine	loteriideülene tuumaprofiil
Mudelite konsensus	ansambel	14 liikmesmudelit
Struktuurne väli	liitmudel	kuus kirjeldavat komponenti

Struktuurne väli

Serveris

Väli on Peakohtuniku mõõdupuu: kuue kirjeldava komponendi käsitsi kaalutud liitnäitaja. Sagedused, seotus ja paarikate jagatakse nende maksimumiga üle kõigi numbrite; värskus ja tüüpilisus on juba vahemikus $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Numbri n struktuurse välja skoor vahemikus 0 kuni 100.

Täpsemalt

kus

$A_n,\ S_n$: sagedus kogu aknas ja viimases $\max(3, \min(10, D))$ loosimises
$G_n$: värskus, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: paaritõstete $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ summa üle kõigi partnerite $m$ , kus $O_{nm}$ on mõlemat sisaldavate loosimiste arv
$T_n$: $n$ -i sisaldavate loosimiste keskmine struktuurne tüüpilisus: $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , kus $e$ on paarisnumbrite osakaal ja $z_S$ standarditud summa
$P_n$: paarikate — $n$ -iga seotud paarivaatluste koguarv

Mudelite konsensus

Serveris

Neliteist liikmesmudelit kaheteistkümnest perekonnast loovad igaüks 10 rida; number saab skoori selle järgi, mitu mudelit ja perekonda selle valisid, kui sageli ja kui ühtlaselt:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensuse skoor; kohus keskmistab kolm sõltumatut käivitust ja kasutab nende hajuvust standardveana.

Täpsemalt

kus

$M_n,\ F_n$: liikmesmudelite ja mudeliperekondade arv, mille ridades on $n$
$f_n$: $n$ -i sisaldavate ridade koguarv
$\operatorname{stab}_n$: keskmine esinemiste arv iga $n$ -i valinud liikmesmudeli kohta, jagatud 10-ga

Kvant-astraalmudel

ServerisEksperimentaalne

Meelelahutuslik mudel, mis kaalub numbreid sihtloosimise kuupäeva Kuu järgi, lisades väikese osa struktuursest väljast:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kvant-astraalne kaal; σ ∈ {0,…,11} on Kuu ekliptilise pikkuse sodiaagimärk sihtloosimise kuupäeval, I valgustatus protsentides.

Täpsemalt

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Kuu valgustatus protsentides sünoodilise kuu vanuse A järgi, kuu pikkus P (päevades).

Kuidas mudel rida läbi vaatab

Iga võimaliku vahetuse $a \to b$ korral — number $a$ lahkub reast, number $b$ tuleb asemele — arvutab mudel kasu ja selle müra. Kasu arvestatakse ainult siis, kui see on statistiliselt selge; kahju arvestatakse alati.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Mudeli ülevaatus. Täpsete kaalumudelite puhul SE = 0, nii et nende kasu arvestatakse alati; vahetus kvalifitseerub, kui effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Vahetuse standardviga valimipõhise mudeli korral: koondatud osakaal hüpoteesil, et a ja b on võrdselt tõenäolised. Konsensuse puhul SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) üle selle kolme käivituse; täpsete kaalumudelite puhul SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Bonferroni parandusega lävi kõigi k(N−k) võimaliku vahetuse jaoks; Eurojackpot: 3.43.

Baas- $z$	Eurojackpot, 225 vahetust	Lotto 7/34, 189 vahetust
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Kaksteist vandekohtunikku

Igal vandekohtunikul on üks strateegia, oma allikad (mudelid või ajaloosignaalid), minimaalne efekt ja olulisuse nivoo. Vandekohtuniku otsus rea kohta on kas „jätta alles“ või täpselt üks asendus; vandekohtunikud ei esita vastuväiteid ega proteste — see on kaitse roll.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Vahetuse arvuline kasu vandekohtuniku kaalutud allikatest; Eva Lindi puhul λ = D/(D+40), teistel 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Vahetuse efektiivne väärtus. Võidab parim kvalifitseeruv vahetus (viigi korral väiksem uus number, seejärel varasem positsioon); kui sellist pole, jätab vandekohtunik rea alles.

kus

$\omega_m$: allika $m$ kaal vandekohtuniku definitsioonis
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , kus $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: vandekohtuniku olulisuse nivoo, korrigeeritud $k(N-k)$ vahetuse jaoks nagu ülaltoodud tabelis
$\Delta \ell_c$: struktuurse komponendi $c$ log-tõepära muutus (nattides)
$\Delta \Gamma$: pileti katvusskoori muutus

Ajaloost arvutatud signaalid

Kolm vandekohtunikku kasutavad signaale, mis loetakse otse loosimistest, mitte generaatorist. Kui $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Sagedustest. Ausate loosimiste korral Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), sest ühe loosimise numbrid on negatiivselt korreleeritud; jagades oodatava esinemiste arvuga Dp, saadakse SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Korduvus. Sagedus K mittekattuvas aknas, igas s = ⌊D/K⌋ loosimist; eelis peab üle elama ühe standardvea suuruse karistuse.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomaalia. Absoluutne hälve oodatavast esinemiste arvust; √(1−2/π) on |Z| standardhälve standardse normaaljaotusega Z korral.

Struktuur ja katvus

Struktuursed komponendid võrdlevad rida varasemate loosimiste profiiliga: paaris/paaritu, väikesed/suured, klastrid ja vahed on kategoorilised Laplace’i silumisega; summa ja hajuvus on Gaussi jaotusega.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-tõepärad: ℓ₁ kategooriline (paaris/paaritu, väikesed/suured, klastrid; J kategooriat, n_j varasemat loosimist kategoorias j), ℓ₂ Gaussi (summa, hajuvus), ℓ₃ vahed naabernumbrite vahel.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Pileti katvus: 𝒫′ on pileti teiste ridade paaride hulk; teine liige loendab numbrivälja kümnendeid, mida rida puudutab.

Eva Lind · Täpsuslaskur

Strateegia: pikaajaline sagedus Bayesi kahandamisega. Allikad: Bayes 0.8 + „Kuumad numbrid“ 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; olulisuse testita (täpsed kaalud).

Reegel: parim vahetus on alati rea kõige harvem number → kõige sagedasem number väljaspool rida; see kvalifitseerub, kui $\Delta \ge 0.12$ .

Täpsemalt

Maya Chen · Vormiarhitekt

Strateegia: rea kuju. Allikad: Gauss 0.5 + „Kombineeritud“ 0.5; struktuuri kaal 2 paaris/paaritu, väikeste/suurte, summa, hajuvuse ja klastrite jaoks; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Reegel: struktuuriliiget arvestatakse alati, nii et vahetus, mis toob rea varasemate loosimiste tüüpilisele kujule lähemale, võib kvalifitseeruda ainuüksi struktuuri tõttu.

Täpsemalt

Clara Moretti · Anomaaliate jahtija

Strateegia: anomaaliad mõlemas suunas. Allikas: anomaaliasignaal; vahede struktuur 0.4, mida arvestatakse ainult olulise vahetuse korral; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Anomaaliasignaali puhul keskväärtus taandub: loeb ainult absoluutsete hälvete vahe.

Täpsemalt

Leila Haddad · Globaalne vaatleja

Strateegia: maailma profiil. Allikad: „Maailma kuum“ 0.5 + „Maailma kombineeritud“ 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; vajab teiste loteriide andmeid.

Täpsemalt

Freya Olsen · Katvuse insener

Strateegia: pileti katvus ilma numbrieelistuseta. Allikaid pole; katvuse kaal 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Täpsemalt

Nora Blake · Selgeltnägija

Eksperimentaalne

Strateegia: meelelahutuslik astrosüsteem loosimise kuupäeva jaoks. Allikas: „Kvant-astraal“; $E_{\min} = 0.05$ ; vajab sihtloosimise kuupäeva.

Täpsemalt

Derek Cole · Ahelate meister

Strateegia: üleminekud viimasest loosimisest. Allikas: „Markovi ketid“; vahede struktuur 0.4, mida arvestatakse alati; $E_{\min} = 0.12$ . Kuna Markovi kaalude summa on üks, kehtib $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Täpsemalt

Marcus Reed · Häiresignaal

Strateegia: pikim puudumine. Allikad: „Lünkade analüüs“ 0.8 + „Kuumad numbrid“ 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; olulisuse testita.

Täpsemalt

Victor Moreau · Loosimismasina füüsik

Strateegia: trumli füüsiline nihe korduks igas perioodis. Allikas: korduvus; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Müra alampiir ei lase neljal õnnelikul aknal oluliselt paista.

Täpsemalt

Noah Bennett · Valvas skeptik

Strateegia: lükata puhas juhus tagasi kõige rangemal tasemel. Allikas: sagedustest; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Noah’ testistatistiku suletud kuju.

Täpsemalt

Elias Berg · Vastuvoolu mustkunstnik

Eksperimentaalne

Strateegia: rahvahulga vastu — harvemad numbrid. Allikad: „Kvantkollaps“ 0.85 + „Paradokside süsteem“ 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Täpsemalt

Leo Fischer · Konsensuse dirigent

Strateegia: mudelite konsensuse stabiilsus. Allikas: „Konsensus“ (kolm sõltumatut käivitust); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Täpsemalt

Vandekogu genereerimine

Kui vandekogu rida läbi vaatamise asemel genereerib, loosib iga vandekohtunik oma kaaludest $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ 40 kandidaatrida ja jätab alles parima järgmise näitaja järgi:

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Vandekohtuniku hääletussedel. Vandekogu ritta lähevad k kõige rohkem hääli saanud numbrit; viigi korral otsustab kõrgem normeeritud toetus, seejärel väiksem number.

Kuus kaitsjat

Kaitsjad hindavad pakutud vahetust $n_c \to n_p$ — praegust ja pakutud numbrit, mis on loositud vastavalt $x_c$ ja $x_p$ korda $D$ loosimises — oma signaalidega. Positiivsed väärtused on ettepaneku poolt:

Signaal	Definitsioon
sagedus	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
aposterioorne	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, väli, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktuur	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabiilsus	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ kuue järjestikuse perioodi jooksul

Aposterioorne tõenäosus arvutatakse täpselt, ilma normaallähenduseta:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Suletud kuju täisarvulise parameetriga Beta-aposterioorsete jaotuste jaoks; Beta-funktsioon kasutab Lanczos log-Gammat.

Asenduse otsustusreegel, kus $\bar z$ on kaitsja signaalide kaalutud keskmine:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Kaitsja seisukoht ψ: S toetus, P protest, O vastuväide. χ = 1, kui kaitsja kontrollid on läbitud: toetuse puhul signaalide üksmeel, teise signaali kooskõla ja struktuurne veto; protesti puhul ainult üksmeel ja kooskõla.

Thomas Keller · Määratud kaitsja

FREE

Signaalid: sagedus + Bayes + struktuurne väli, kõik peavad ühtima; toetus 1 juures, protest −1 juures; vajab 20 loosimist, 5–19 loosimise korral töötab piiratud režiimis Bayesi + aposterioorse tõenäosusega.

Täpsemalt

Elena Rossi · Statistikaadvokaat

Signaal: sagedus, mitmeste võrdluste jaoks korrigeeritud; struktuurne veto −1 juures; toetus ja protest 1.96 juures; vähemalt 30 loosimist.

Täpsemalt

Amelia Grant · Vale kindluse vastu

Signaal: paremuse aposterioorne tõenäosus; toetus, kui $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protest, kui $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); vähemalt 10 loosimist.

Täpsemalt

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Seisukoht
30	1	7	0.987	toetus
30	4	3	0.354	vastuväide
30	5	2	0.128	protest
100	6	16	0.987	toetus

Julien Morel · Struktuuriadvokaat

Signaal: kuue struktuurse log-tõepära kogumuutus; toetus 0.6325 juures ( $\Delta\ell \ge 0.2$ natti), protest 0.8944 juures ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); vähemalt 20 loosimist.

Täpsemalt

Ingrid Falk · Ajaline stabiilsus

Signaal: pakutud numbri võidud miinus kaotused kuue järjestikuse perioodi jooksul; peab ühtima üldsagedusega; lävi 1.5, seega vähemalt $W - L \ge 4$ ; vähemalt 30 loosimist.

Täpsemalt

Adrian Vega · Meelelahutuslik astroloogia

Eksperimentaalne

Signaal: kvant-astraalsed kaalud sihtloosimise kuupäeva jaoks; toetus ja protest 0.5 juures.

Täpsemalt

Peakohtunik

Kohtunik otsustab vaidlusaluse numbri üle struktuurse välja $F$ põhjal, mis on normeeritud selle maksimumiga: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Number on nõrk, kui see jääb välja madalaima 35% hulka.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ on kasvavas järjekorras sorteeritud väljaväärtuste järkstatistik; praegune number on nõrk, kui φ(n_c) < θ. Varu m rakendub, kui üle poole seisukoha võtnud kaitsjatest protesteerib.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Otsus V on number, mille kohtunik positsioonile jätab; kehtib esimene sobiv rida. a* on kõrgeima väljaväärtusega number väljaspool rida, mis ei ole ettepanek.

Peakohtuniku analüüs ja soovitus

Tervete ridade puhul esitab kohtunik rea skoori ja soovitab asendada kuni $\lfloor k/2 \rfloor$ nõrgimat numbrit, mis jäävad alla $\theta$ , tugevaimate numbritega väljaspool rida. Milliseid vahetusi rakendada, valite teie. Kui ridu pole, annab kohtunik soovituse: ühtlaselt juhuslikke mustandeid parandatakse samal viisil ja need tagastatakse koos päritoluga.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Peakohtuniku analüüsi rea skoor.

Valikud, partiid ja ajalugu

Valikud: võtta vastu ettepanek, võtta vastu kaitse seisukoht, võtta vastu kohtuniku otsus, jätta originaal alles, taastada. Numbrid muutuvad ainult siis, kui võtate vastu ettepaneku, võtate vastu numbrit asendava kohtuniku otsuse või taastate; iga muudatus on päritolukirjes teisendus.
Hulgivalikud: iga numbri kohta kõige rohkem üks asendus. „Võta vastu kõik enamuse asendused“ rakendab ainult valikuid, mille on valinud üle poole valitud vandekohtunikest; „Rakenda kõik ettepanekud“ võtab iga numbri puhul enamuse valiku või muidu kõige rohkem hääli saanud valiku ning jätab viigid vahele.
Partiid: kuni 50 rea läbivaatus sama tegelaskujude koosseisuga loeb ühe katsena; juba analüüsitud read jäetakse vahele ja katkestatud partii jätkub sama plaaniga.
Ajalugu: sündmuste tüübid on vandekogu ülevaatus, mudeli ülevaatus, ettepanek, kaitse ülevaatus, kohtuniku ülevaatus, valik ja teisendus; logi hoiab kuni 200 sündmust ega eemalda kunagi teisendust ega viimaseid ülevaatusi.

Kohtu vastutus

Iga väide kirjutatakse ennustusregistrisse enne vastavat loosimist ja hinnatakse hiljem juhuse suhtes. $n_i$ numbrit puudutavate väidete korral baastõenäosusega $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H on tabamuste arv. Allikas pääseb edetabelisse ainult siis, kui tal on vähemalt 30 numbrit vähemalt 3 loosimise jooksul.

4. 3D-trummel: füüsikamootor

3D-loosimine on reaalajas jäikade kehade simulatsioon: pallid on massi, inertsi, hõõrde ja põrketeguriga kehad, mida liigutavad raskusjõud, segav rootor ja õhuväli, ning loositud pall on see, mis füüsiliselt kukub läbi väljapääsu. See on usutav trumli füüsikaline mudel, mitte päris masina salvestus.

SuperEnalotto trummel 90 palliga, mida segatakse palli valimise ajal — 90 SuperEnalotto palli simuleeritud kambris

Mootor ja koordinaadid

Füüsika töötab Rapier 3D-s (versioon 0.14, WebAssembly); joonistamiseks kasutatakse Three.js-i (r169). Maailm on parema käe koordinaatsüsteemis, $+y$ on suunatud üles ja koordinaatide alguspunkt on kambri keskel; rootori telg on horisontaalne $x$ -telg ja $+z$ on suunatud vaataja poole.

Kamber: sfäär raadiusega $R = 3.0$ ühikut, ehitatud kolmnurkvõrgustikuna sissepoole suunatud normaalidega ja ümara väljapääsuga põhjas (poolnurk $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Pallid: sfäärid raadiusega $r = 0.2$ ja tihedusega 1; üks pall iga numbri kohta, 5 kuni 90 palli.
Rootor: kinemaatiline võll kuue õlaga, mille kapslikujulised labad on mõõdetud nii, et need jäävad oma pöörlemistasandis klaasist 0.14 ühiku kaugusele, ning väiksem kolmeõlaline rootor, mille suund vahetub segamisfaaside vahel.
Sulgur: silindriline kork väljapääsus, mis eemaldatakse, kui pall tohib väljuda.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Palli mass, inertsimoment ja kaal mudeliühikutes.

Mõõtkava ja Froude’i sarnasus

Üks mudeliühik on 10 cm: 40 mm pall on 0.4 ühikut ja kamber on 600 mm sfäär. Raskuskiirendus on vähendatud $30$ ühikuni/s² tegeliku $98.1$ asemel. Liikumine, kus domineerivad raskusjõud ja inerts, näeb välja ühesugune, kui Froude’i arv on sama, seega vastab simulatsioon täissuuruses masinale aeglasema kellaga:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Primiga suurused kuuluvad mudelile. Sama Froude’i arv sama pikkuse korral: kiirused skaleeruvad √γ-ga ja ajad 1/√γ-ga.

Jõud

Iga pall järgib Newtoni teist seadust nende jõududega, mida kood tegelikult rakendab:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D õhutakistus, F_W analüütiline sein, F_S imemine väljapääsu juures, F_C kontaktid pallide, rootori ja sulguriga (arvutab Rapier); τ vastavad jõumomendid. Rapier rakendab ka väikest lineaarset ja nurksumbumist ning turvavõrguna on kiirused piiratud 22 ühiku/s ja 105 rad/s-ga.

Õhuväli ja ruutvõrdeline takistus

Puhur on modelleeritud ettemääratud õhukiiruse väljana $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; iga pall tunneb ruutvõrdelist takistust kohaliku õhukiiruse suunas. Takistuskonstant on määratud lõppkiirusega 48 ühikut/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

Seisvas õhus saavutab langev pall kiiruse v_t = √(g/k_d) = 48 ühikut/s, tegelikus mõõtkavas umbes 8.7 m/s.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Keskne tõusev õhuvool: kõige tugevam teljel põhja lähedal (102 kohas y = −3, 68 keskel, 34 üleval); ρ_h on horisontaalne kaugus teljest.

Keeris: horisontaalne pöörlemine 11 ühikut/s ümber vertikaaltelje.
Sissevool: väljaspool 60% raadiust kuni $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ keskpunkti suunas, et pallid jätkaksid ringlemist, selle asemel et klaasi vastu kleepuda.
Turbulents: sile kolmemõõtmeline väärtusmüra amplituudiga 58, mis ajas triivib; see on fikseeritud deterministlik funktsioon, mitte juhuarvude generaator.
Seiskumisvastased puhangud: pall, mis viibib liiga kaua põhjas, üleval, seina ääres või on peaaegu liikumatu, saab kohaliku puhangu, mis lisatakse õhukiirusele ja mõjub endiselt takistuse kaudu.

Analüütiline sfääriline sein

Lisaks võrgustikule jõustatakse klaasi täpse sfäärina kiiruse tasemel, mis hoiab ära läbitungimise (tunneling) ja annab õige veeremise. Väljapoole suunatud normaali $\hat{\mathbf n}$ , väljapoole suunatud kiiruse $v_n$ ja sissetungimise $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ korral:

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulatiivse kontakti lubatud kiirus v* ja põrketegur e (e_b on palli põrketegur; lõtvuskiirusest allpool on see null, et paigal olev pall ei väriseks).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normaalreaktsioon, mida rakendatakse ainult siis, kui v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Coulombi hõõre kontaktpunktis; s on tangentsiaalne libisemiskiirus v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), kus μ_b on palli hõõrdetegur.

Kehadevahelised kontaktid

Pall–pall, pall–rootor ja pall–sulgur kontakte lahendab Rapieri kitsenduste lahendaja koos pallide pideva kokkupõrketuvastusega. Tegureid kombineeritakse keskmistamise teel:

Paar	Hõõre	Põrge
pall – pall	0.16	0.55
pall – klaas	0.255	0.415
pall – laba	0.19	0.525
pall – õlg või võll	0.17	0.35
pall – sulgur	0.23	0.375

Loosimise ajal on sumbumine väike (lineaarne 0.05, nurk- 0.035) ja pallide rahunemise ajal tugev (2.4). Veeretakistuse parameetrit ei ole: veeremine aeglustub ainult sumbumise ja kontakthõõrde tõttu.

Ajasammud ja integreerimine

Simulatsioon liigub edasi fikseeritud sammudega, mis ei sõltu ekraani värskendussagedusest; iga kaader täidab nii mitu fikseeritud sammu, kui reaalaeg nõuab, kuid kõige rohkem viis:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Fikseeritud sammu akumulaator: kaader kestusega Δt_f täidab n fikseeritud sammu (kõige rohkem 5); iga samm jagatakse 2 Rapieri alamsammuks pikkusega h = 1/120 s ja 6 lahendaja iteratsiooniga.

Alamsammu sees uuendab mootor esmalt kiirusi jõudude põhjal ja seejärel asukohti uute kiiruste põhjal — see on impulsipõhistes mootorites kasutatav poolimplitsiitne (sümplektiline) Euleri skeem, mida siin näidatakse üldpõhimõttena:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Üldkuju: F on rakendatud jõud, F_c kitsenduste (kontakti) jõud, mille leiab Rapieri iteratiivne lahendaja.

Rakenduse enda jõud (õhk, sein, imemine) arvutatakse üks kord sammu kohta sammu alguse oleku põhjal ja hoitakse mõlema alamsammu jooksul muutumatuna. Rootor on kinemaatiline ja selle sihtväärtus seatakse igal alamsammul uuesti:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Rootori kiiruse eksponentsiaalne lähenemine sihtväärtusele; segamine läbib tsükliliselt väärtused 2.4, 2.9, 2.1 ja 2.7 rad/s.

Kuidas pall valitakse

Pärast 1 s käivitust ja 2.6 s segamist avaneb sulgur. Kui väljapääs on avatud, kaob selle kohal olev tõusev õhuvool sujuvalt, keskne joa väheneb 62%-ni ja umbes 2.2 palli kaalu suurune imemine (5 s pärast umbes 4) tõmbab väljapääsu lähedal olevaid palle:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Imemine väljapääsu lähedal (y < −1.6 ja horisontaalne kaugus < 0.6); t_c on aeg sulguri avanemisest.

Loositud pall on esimene, mille keskpunkt langeb allapoole $y = -3.18$ ; kui sama sammu jooksul teeb seda mitu palli, siis kõige madalam. Sel hetkel ei kasutata ühtki juhuslikku arvu. Loosimise juhuslikud arvud on pallide algpaigutus ning väike algkiirus ja pöörlemine, mis võetakse Web Crypto API-st (uuesti, kui laaditakse eraldi boonushulk). Seejärel liigub pall mööda väljumisteed hoidikusse; see liikumine on skriptitud, mitte simuleeritud.

Joonistamine, simulatsioon ja juhuslikkus

Simulatsioon: fikseeritud 1/60 s sammud; kvaliteedieelseaded (ultra, kõrge, keskmine, madal) muudavad ainult varje, helendust, eraldusvõimet ja võrgustiku detailsust, mitte kunagi füüsikat.
Joonistamine: iga kaader näitab viimast lõpetatud sammu; sammude vahel interpolatsiooni ei ole.
Juhuslikkus: jõud on deterministlikud; tulemus sõltub algpaigutusest ja alates teisest pallist ka sellest, kui kaua eelmise palli näitamine seadmes aega võtab, seega ei saa loosimist täpselt korrata.

5. Tegelike loosimiste statistika

Analüütikaekraanid kirjeldavad ajaloolisi loosimisi. Need vastavad küsimustele „mis juhtus“ ja „kas see on kooskõlas ausa loteriiga“, kuid mitte kunagi küsimusele „mis juhtub“.

Sagedused, kuumad ja külmad numbrid

Iga numbri kohta loendab rakendus esinemised aknas ja näitab neid ausa loterii oodatava esinemiste arvu kõrval; standardhälve on siin toodud teadmiseks:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Ühe numbri oodatav esinemiste arv (näidatakse rakenduses) ja selle standardhälve (teadmiseks) D sõltumatu loosimise korral.

Kuumad ja külmad: viis kõige sagedasemat ja viis kõige harvemat numbrit, igaüks koos oma oodatava esinemiste arvuga (vaja on vähemalt 5 loosimist).
Sagedustulbad: punased, kui numbri osakaal ületab oodatavat osakaalu rohkem kui 1.3 korda, sinised, kui see jääb alla 0.7 korra.
Soojuskaart: värv min–max normeerimise järgi $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Eurojackpoti 50 põhinumbri soojuskaart, värvitud sinisest punaseni — Soojuskaart: värv näitab ainult varasemat sagedust

Aususe test: χ² koos parandusega

χ² test kontrollib, kas esinemiste arvud on kooskõlas võrdsete tõenäosustega. Ühes loosimises võetakse $k$ numbrit tagasipanekuta, mistõttu esinemiste arvud on negatiivselt korreleeritud; tavaline polünoomjaotuse statistik on siis liiga väike ja rakendus korrigeerib seda:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pearsoni statistik tagasipanekuta valiku parandusega; vaja on vähemalt 10 loosimist.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regulariseeritud ülemine mittetäielik gammafunktsioon, mis arvutatakse rea ja ahelmurru abil.

p-väärtus	Järeldus
$p > 0.05$	olulist kõrvalekallet pole
$0.01 < p \le 0.05$	piiripealne kõrvalekalle
$p \le 0.01$	statistiliselt oluline kõrvalekalle

Aususe kontroll parandatud χ², vabadusastmete, p-väärtuse ja positsioonilise Q-testiga — χ² aususe test ja positsiooniline audit

Positsiooniline Q-test

Vähemalt 30 täieliku loosimise korral testib rakendus ka iga sorteeritud positsiooni keskmist (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). $i$ -ndal väikseimal $k$ numbrist, mis on loositud vahemikust $1..N$ , on keskväärtus ja kovariatsioon

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ on vaadeldud positsioonikeskmiste ja μ vahede vektor m loosimise põhjal.

Paarid, võrdlused ja kontrollid

Paarid: 12 × 12 maatriks sellest, kui sageli 12 kõige sagedasemat numbrit koos esinesid (vähemalt 10 loosimist). Need on töötlemata loendused; teadmiseks — konkreetse paari oodatav esinemiste arv ausates loosimistes on $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Loteriide võrdlus: jackpoti tõenäosus, hind, kõigi kombinatsioonide ostmise maksumus.
Matemaatika kontroll: rakendus arvutab uuesti $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ ja võrdleb seda salvestatud konstandiga ning kontrollib analüüsiakna loosimisi vahemikuvigade, vale pallide arvu ja korduvate kuupäevade suhtes.
Võiduklassid: ametlikud väljamaksetabelid loosimiste kaupa. Loosimise ülevaade keskmistab viimased 60 tegelikku väljamaksetabelit; ainult loterii puhul, mille kohta väljamakseandmeid üldse pole, hindab see võitjate arvu 8. jaotise võiduklasside tõenäosuste ja eeldatava müügimahu põhjal, seega on need arvud illustratiivsed.

Terve elu mängimise simulatsioon

50 aasta simulatsioon kasutab tõenäosust võita vähemalt üks jackpot $T$ sõltumatu piletiga:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Tõenäosus võita vähemalt üks jackpot T piletiga; C on jackpoti kombinatsioonide arv, d loosimisi nädalas, r ridu loosimise kohta.

6. Kalendrianalüüs

Kalendrianalüüs otsib kokkulangevusi loosimiste kuupäevade ja loositud numbrite vahel — näiteks kuupäeva esinemist pallide seas — ning võrdleb iga vaadeldud määra määraga, mille annaks puhas juhus.

Loosimiste valimine

Loosimisi saab filtreerida aasta, kuu, sama kuu kõigi aastate lõikes või kuupäevavahemiku järgi ning reeglite ajastu järgi. Sagedusloendid (kuumad, külmad, kõige kauem puudunud) kasutavad valiku töötlemata esinemiste arve; number, mis on võimatu igas valitud ajastus, jäetakse välja, ning ajastuid segav valik märgitakse hoiatusega, sest ainult uuemas ajastus kehtiv number paistab ekslikult „külm“. Allpool toodud kuupäevareeglid arvestavad ajastuid: loosimine loetakse reegli jaoks arvesse ainult siis, kui vähemalt üks kandidaat on selle loosimise enda reeglite järgi kehtiv number.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Kuupäevareegli vaadeldud määr: C_t on loosimise t kandidaatnumbrid, X_t selle loositud numbrid, Ω_t selle reeglite järgi kehtivad numbrid; ℰ on sobivad loosimised.

Kümme kuupäevareeglit

Reegel	Kandidaatnumbrid loosimisele kuupäeval DD.MM.YYYY
päev	DD
kuu	MM
aasta	YYYY mod 100
tund	loosimise tund, kui korraldaja selle avaldab
aasta numbrid	YYYY erinevad numbrid
aasta numbrite summa	YYYY numbrite summa
kahekohalise aasta summa	YYYY mod 100 numbrite summa
päeva numbrite summa	DD numbrite summa
kuupäeva numbrite summa	kõigi DD, MM ja YYYY numbrite summa
korduv ristsumma	kuupäeva numbrite summa, taandatud üheks numbriks

Kandidaati, mis võrdub 0-ga, ei arvestata, ja loosimine loetakse reegli jaoks üks kord ka siis, kui mitu selle numbrit kattub.

Juhuslik ootus

Loosimise korral, kus $k$ numbrit valitakse $S$ võimaliku väärtuse seast, ja $m$ kandidaatnumbri hulga korral on tõenäosus, et ühtki kandidaati ei loosita, hüpergeomeetriline:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: ühtki kandidaati ei loosita; P≥1: loositakse vähemalt üks. Kandidaadid, mis jäävad väljapoole loosimise ajastu vahemikku, jäetakse kõrvale.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Oodatav kokkulangevuste määr r̂ sobivates loosimistes ℰ, igaühel oma ajastu; põhi- ja boonushulga P^M ja P^B kombineeritakse sõltumatutena.

Kalendrikokkulangevused vaadeldud määradega juhusliku ootuse kõrval — Kalendrikokkulangevused võrreldes juhusega

Määrade tõlgendamine

Paare näidatakse alates 30 loosimisest ja kolmikuid alates 120-st (ainult vähemalt kaks korda nähtud kombinatsioonid, kümme kõige sagedasemat); alla 100 loosimise korral kuvatakse väikese valimi hoiatus. 100 loosimise korral on umbes 20% määral endiselt 95% vahemik umbes $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ protsendipunkti.

7. Ajalooline arhiiv ja reeglite ajastud

Loteriid muudavad oma reegleid. Loosimisel on tähendus ainult koos selle kuupäeval kehtinud reeglitega, seetõttu kannab iga salvestatud loosimine oma reeglite versiooni.

Reeglite ajastud

Loterii	Ajastud (põhi · boonus)
Lotto (Norra)	7/34 + 3 lisanumbrit → 7/34 + 1 lisanumber (alates 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + lisanumber ja õnnenumber → Viking-number 1–8 (2017) → 1–5 (alates 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (alates 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (alates 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (alates 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (alates 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly alates 1997; SuperStar on eraldi trummel ja on mudelitest välja jäetud
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (alates 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (alates 19.04.2018)

Ühilduvusreegel

Mudelid ja analüütika kasutavad ainult loosimisi, mis on tänaste reeglitega võrreldavad. Kahte ajastut võrreldakse rühmade kaupa:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Ajastu e on põhinumbrite jaoks võrreldav, kui arv ja vahemik ühtivad (vasakul), ja boonusnumbrite jaoks, kui iga boonusrühm 𝓑 ühtib (paremal). Võrreldavate põhinumbrite, kuid erinevate boonusreeglitega loosimine säilitab põhinumbrid ja loobub boonusnumbritest.

Eurojackpoti ajalugu kehtivate reeglite ajastu kaardi ja reeglite versiooniga märgitud loosimistega — Arhiiv märgib iga loosimise selle reeglite ajastuga

8. Tõenäosus ja piirangud

Iga ametlik loosimine on sõltumatu juhuslik katse. Ükski ajalugu, mudel, kohus ega simulatsioon ei muuda ühegi kombinatsiooni tõenäosust.

Jackpoti tõenäosus

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Ühe rea jackpoti tõenäosus kehtivate reeglite järgi (paremal: Eurojackpot); mängija boonusnumbrita loteriides kasutatakse ainult esimest tegurit.

Loterii	Reeglid	Jackpoti tõenäosus
Lotto (Norra)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Kõik võiduklassid

Täpselt $i$ kokkulangevuse tõenäosus $k$ põhinumbrist ja $j$ kokkulangevuse tõenäosus $b$ boonusnumbrist on kahe hüpergeomeetrilise tõenäosuse korrutis:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Samast trumlist loositud lisapalli korral (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) on teine tegur „+1“ jaoks (k−i)/(N−k).

Eurojackpoti võiduklass	Tõenäosus
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Miks ükski meetod ei saa juhust võita

Kui loosimised on sõltumatud ja kõik kombinatsioonid võrdselt tõenäolised, on järgmise loosimise tinglik tõenäosus mis tahes ajaloo korral sama mis ilma selleta ning kokkulangevate põhinumbrite oodatav arv on iga rea jaoks sama, olenemata sellest, kuidas see loodi:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H on rea kokkulangevate põhinumbrite arv. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 rea kohta iga meetodi puhul.

Ava Lotto Simulator