Matematyka i technologia

Prawdziwa matematyka, statystyka, algorytmy i fizyka, na których opiera się Lotto Simulator — wprost z kodu działającego w aplikacji.

Otwórz Lotto Simulator

Jak czytać tę stronę

Każdy wzór poniżej pochodzi z implementacji, a nie z broszury reklamowej. Tam, gdzie dany komponent jest deterministyczną regułą lub heurystyką, a nie wzorem, opisujemy algorytm dokładnie tak, jak działa, i nie dorabiamy do niego matematyki.

Lotto Simulator to środowisko analityczne, edukacyjne i symulacyjne. Generuje kombinacje szesnastoma metodami, poddaje je ocenie Sądu Matematycznego złożonego z dwunastu przysięgłych, sześciu obrońców i Sędziego Najwyższego, sprawdza rzetelność rzeczywistych historii losowań, analizuje zbieżności kalendarzowe i odtwarza fizyczny bęben loteryjny w 3D. Nic z tego nie zmienia prawdopodobieństwa żadnej liczby w oficjalnym losowaniu — rozdział 8 wyjaśnia dlaczego, na konkretnych liczbach.

Oznaczenia używane w całym tekście

gdzie

$N$: liczebność puli liczb głównych (na przykład 50 w Eurojackpot)
$k$: ile liczb głównych jest losowanych i typowanych (5 w Eurojackpot)
$B,\; b$: liczebność osobnej puli liczb dodatkowych i liczba typowanych liczb dodatkowych (12 i 2 w Eurojackpot)
$D$: liczba poprzednich losowań w wybranym oknie analizy
$c_n$: ile razy liczba $n$ wystąpiła wśród liczb głównych tych $D$ losowań
$t = 0, 1, \dots$: indeks losowania, od najnowszego: $t = 0$ to ostatnie losowanie
$\binom{n}{r}$: współczynnik dwumianowy (symbol Newtona), liczba sposobów wyboru $r$ elementów spośród $n$

1. Architektura systemu

Jedna aplikacja, jeden kod źródłowy: ta sama aplikacja webowa działa w przeglądarkach na komputerach i urządzeniach mobilnych, a także — bez zmian — wewnątrz aplikacji na iOS i Androida (Capacitor WebView). Ciężkie i płatne obliczenia wykonuje serwer; wszystko, co widzi użytkownik, jest renderowane na urządzeniu.

Urządzenie (web, iOS, Android)Interfejs, kupon i zestawy robocze, cztery metody generatora FREE, wykresy częstości, test χ², matematyka kalendarza, bęben 3D. Czysto losowy i bęben 3D czerpią losowość z Web Crypto API.
Funkcje brzegowe (TypeScript, Deno)Dwanaście metod generatora PRO, wszystkie dziewiętnaście modeli Sądu, dwunastu przysięgłych, sześciu obrońców, Sędzia Najwyższy, układy matrycy koła, rejestr prognoz. Sąd działa na zasiewanych, odtwarzalnych strumieniach losowych.
Baza danych (PostgreSQL)Oficjalne wyniki losowań wraz z wersją zasad, tabele wypłat, konta i uprawnienia, rejestr prognoz tylko do dopisywania oraz jego ocena.
Potok danychZaplanowane zadania pobierają oficjalne wyniki, sprawdzają każde losowanie względem zasad jego epoki i publikują zbiór danych według aktualnych zasad.

Kto co oblicza

W przeglądarce: metody FREE (Gorące liczby, Łączona, Pokrycie segmentów, Czysto losowy) i cała statystyka opisowa. Publiczna kompilacja fizycznie usuwa z klienta implementacje PRO: ich funkcje są zastępowane zaślepkami, więc wynik PRO może pochodzić wyłącznie z serwera.
Na serwerze: każda metoda PRO, cały Sąd Matematyczny i Sędzia Najwyższy. Żądanie zawiera loterię, metodę, liczbę zakładów (1–50) i okno analizy; serwer sam wczytuje losowania, więc klient nie może mu podsunąć zmyślonej historii.
Zasada bezpiecznej odmowy: model serwerowy potrzebuje co najmniej 5 losowań w wybranym oknie analizy. Przy mniejszej liczbie odmawia z wyraźną odpowiedzią „niewystarczająca historia”, zamiast tworzyć zakłady z niczego.

Odtwarzalne obliczenia Sądu

Każdy przysięgły, obrońca i model w Sądzie działa na własnym strumieniu pseudolosowym, którego ziarno jest skrótem wersji algorytmu, persony, loterii, pełnej historii losowań i daty docelowego losowania. Te same dane dają więc zawsze ten sam werdykt, a każda zmiana historii zmienia wszystkie strumienie.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Ziarno obliczenia Sądu i wyprowadzony z niego strumień liczb o rozkładzie jednostajnym.

gdzie

$v$: wersja algorytmu silnika Sądu
$\kappa$: klucz persony lub modelu, na przykład identyfikator przysięgłego
$H$: wszystkie losowania okna, liczby główne i dodatkowe w kolejności
$g,\; d$: identyfikator loterii i data docelowego losowania
$h_0$: podstawa przesunięcia (offset basis) FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ haszuje tekst $x$ , zaczynając od stanu $h$
$u_i$: $i$ -ta liczba losowa o rozkładzie jednostajnym w strumieniu

Trwałość i pochodzenie

Każda kombinacja ma zapis pochodzenia: źródło (metoda generatora, przysięgły, konsensus ławy, matryca koła, losowanie 3D, Sędzia Najwyższy, wpis ręczny), liczby początkowe oraz dziennik zdarzeń tylko do dopisywania z ocenami, propozycjami, stanowiskami obrońców, werdyktami, decyzjami i przekształceniami (najwyżej 200 zdarzeń). Zapis jest akceptowany tylko wtedy, gdy ponowne zastosowanie jego przekształceń do liczb początkowych odtwarza zakład dokładnie; w przeciwnym razie zakład jest oznaczany jako mający niedostępne źródło.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Weryfikacja pochodzenia: bieżący zakład R_m musi być równy zakładowi początkowemu R_0 po zastosowaniu po kolei wszystkich zapisanych zamian τ₁ … τₘ.

Rodowód: gdy zakład jest edytowany ręcznie, powstaje nowy zapis, którego rodzicem jest poprzedni (przechowywane są do czterech wcześniejszych zapisów), więc historia sprzed ręcznej zmiany pozostaje widoczna.
Rejestr prognoz: każda rekomendacja (wygenerowany zakład, zamiana zaproponowana przez przysięgłego, stanowisko obrońcy, werdykt) jest zapisywana w rejestrze przed docelowym losowaniem i automatycznie oceniana po ogłoszeniu oficjalnego wyniku.

2. Główny generator: szesnaście metod

Generator oferuje szesnaście opcji. Cztery metody FREE działają w przeglądarce, dwanaście metod PRO — na serwerze. Wszystkie wybierają $k$ różnych liczb z $1..N$ oraz liczby dodatkowe danej loterii; różnią się tylko sposobem ważenia lub konstruowania liczb.

Generator zakładów z liczbą zakładów, metodą analizy i trzema domyślnymi filtrami — Panel generatora: wybór metody i filtry domyślne

Wspólne elementy

Metody ważone przypisują każdej liczbie wagę $w_n \ge 0$ , a następnie losują sekwencyjnie bez zwracania: każdy wybór usuwa liczbę z puli i ponownie normalizuje pozostałe wagi.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Sekwencyjne losowanie ważone bez zwracania, stosowane przez każdą metodę opartą na wagach.

gdzie

$x_j$: $j$ -ta liczba wybrana do zakładu, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: waga liczby $n$ w danej metodzie

Losowość: w przeglądarce Czysto losowy i krok unikalności korzystają z Web Crypto API, a Gorące liczby, Łączona i Pokrycie segmentów — ze standardowego generatora przeglądarki (Math.random). Na serwerze metody czerpią z losowości kryptograficznej, z wyjątkiem Modelu fizycznego (standardowy generator) i ziarna Chaosu, które łączy losowość kryptograficzną z zegarem wysokiej rozdzielczości. W przeglądarce nieobciążoną liczbę całkowitą z $0..M-1$ uzyskuje się przez próbkowanie z odrzucaniem, dzięki czemu żadna reszta nie jest faworyzowana:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Próbkowanie z odrzucaniem: 32-bitowa wartość kryptograficzna x jest losowana ponownie, dopóki nie spadnie poniżej największej wielokrotności M, a następnie redukowana modulo M.

Liczby dodatkowe

Liczby dodatkowe (Eurojackpot 2 z 12, EuroMillions 2 z 12, Powerball 1 z 26, Mega Ball 1 z 24, liczba Viking 1 z 5, Powerball AU 1 z 20) są losowane z własnej puli, niezależnie od liczb głównych. Lotto, SuperEnalotto i Lotto Max nie mają liczby dodatkowej typowanej przez gracza: ich dodatkową kulę operator losuje z bębna głównego.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Waga w′ⱼ liczby dodatkowej j o liczności c′ⱼ dla metody μ: freq = Gorące liczby; rnd, phys, chaos, world = Czysto losowy, Model fizyczny, Chaos, metody światowe; wszystkie pozostałe metody używają c′ⱼ + 2. Przy mniej niż 5 losowaniach każda metoda używa wag jednostajnych.

Filtry FREE i unikalność

Zakłady tworzone w przeglądarce przechodzą przez trzy filtry włączone domyślnie: nie wszystkie liczby parzyste ani nie wszystkie nieparzyste; suma w określonym przedziale; brak ciągu dłuższego niż trzy kolejne liczby. Odrzucony zakład zastępuje się zakładem losowanym jednostajnie spośród tych, które przechodzą filtry (jego liczby dodatkowe losowane są z wagami Bayesa $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Domyślny przedział sumy. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, przedział 73–183.

Aby nie wydać dwa razy tej samej kombinacji na tym samym urządzeniu, każdy zakład FREE jest identyfikowany przez rangę leksykograficzną jego liczb głównych wśród wszystkich $\binom{N}{k}$ kombinacji i porównywany z ostatnimi 20 000 zakładów wydanych dla tej loterii; powtórzona ranga jest zmieniana losowymi zamianami, a w ostateczności bierze się kolejną niewykorzystaną rangę z losowej permutacji afinicznej wszystkich rang. Zakład zmieniony w ten sposób nie jest ponownie sprawdzany filtrami.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Ranga leksykograficzna kombinacji i przejście afiniczne o pełnym okresie po wszystkich rangach.

Ścieżki wykonania FREE i PRO

Ścieżka	Metody	Gdzie działa	Zakładów na uruchomienie	Historia
FREE	Gorące liczby, Łączona, Pokrycie segmentów, Czysto losowy	przeglądarka	do 5 (do 50 dla użytkowników PRO)	okno FREE ostatnich losowań
PRO	dwanaście pozostałych metod	serwer	do 50	wybrane okno analizy, co najmniej 5 losowań

Gorące liczby

FREEW przeglądarce

Cel: faworyzować liczby, które w oknie analizy pojawiały się najczęściej.

w_n = c_n + 0.05

Waga liczby n; przy mniej niż 5 losowaniach wszystkie wagi są równe 1.

Szczegóły dla zaawansowanych

Łączona

FREEW przeglądarce

Cel: mieszać liczby gorące, średnie i zimne w stałej proporcji.

Liczby sortuje się według $c_n$ (przy remisie pierwsza jest mniejsza liczba) i dzieli na tercyle o rozmiarze $\lceil N/3 \rceil$ : gorący, środkowy, zimny. Zakład $i$ dobiera liczby jednostajnie z każdego tercyla:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Zakład i bierze h liczb gorących, mᵢ średnich i cᵢ zimnych; zakłady nieparzyste i parzyste zamieniają się udziałami średnich i zimnych.

Szczegóły dla zaawansowanych

Pokrycie segmentów

FREEW przeglądarce

Cel: rozłożyć zakład równomiernie na cały zakres liczb.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Jedna liczba wybrana jednostajnie z każdego z k kolejnych segmentów; ostatni segment obejmuje resztę.

Szczegóły dla zaawansowanych

Czysto losowy

FREEW przeglądarce

Cel: uczciwy punkt odniesienia — każda liczba jednakowo prawdopodobna.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Kryptograficzne tasowanie Fisher–Yates daje przed filtrowaniem każdej kombinacji to samo prawdopodobieństwo.

Szczegóły dla zaawansowanych

Matryca koła

PROSerwer

Cel: zbudować kilka zakładów, które razem pokrywają jak najwięcej par z niewielkiej puli liczb — zachłanny schemat pokryciowy.

Pula liczy $\min(N, k+5)$ liczb branych na przemian z tercyla gorącego, zimnego i środkowego. Kandydatami są wszystkie $\binom{|P|}{k}$ kombinacje puli (powyżej 40 000 używa się losowej próbki); każdy krok dodaje kandydata z najlepszym wynikiem i oznacza jego pary jako pokryte:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Zachłanna ocena pokrycia par; remisy rozstrzyga się losowo z jednakowym prawdopodobieństwem.

Szczegóły dla zaawansowanych

gdzie

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: pary kandydującego zakładu $R$ oraz pary już pokryte przez wybrane zakłady
$u_n$: w ilu już wybranych zakładach występuje liczba $n$
$[\,\cdot\,]$: równa się 1, gdy warunek jest spełniony, w przeciwnym razie 0

Światowe gorące i Światowe łączone

PROSerwer

Cel: przenieść profil częstości wszystkich dziewięciu obsługiwanych loterii na bieżącą.

Każda wylosowana liczba $x$ każdej loterii $g$ jest odwzorowywana na swoją pozycję względną $q = (x-1)/(N_g - 1)$ i rozmywana wąskim jądrem gaussowskim na liczby bieżącej loterii; każda loteria otrzymuje tę samą wagę na losowanie, a własna częstość bieżącej loterii jest dodawana jeszcze raz:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Światowy wynik liczby n; X_g to wszystkie liczby główne wylosowane w loterii g (do 400 ostatnich losowań według aktualnych zasad, D_g losowań).

Szczegóły dla zaawansowanych

Światowe gorące: $k$ wyborów jednostajnych spośród $\max(3k, 12)$ liczb z najwyższym wynikiem.
Światowe łączone: $\lceil 0.45k \rceil$ z górnego tercyla, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ z dolnego, reszta ze środkowego. Liczby dodatkowe są jednostajne.

Łańcuchy Markowa

PROSerwer

Cel: ważyć liczby według tego, jak często następowały po liczbach poprzedniego losowania.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Prawdopodobieństwo przejścia pierwszego rzędu z wygładzaniem Laplace'a, uśrednione po ostatnim losowaniu L.

Szczegóły dla zaawansowanych

gdzie

$T(a \to b)$: jak często liczba $b$ pojawiła się w losowaniu bezpośrednio po losowaniu zawierającym $a$
$L$: liczby główne ostatniego losowania

Gauss · centralne twierdzenie graniczne

PROSerwer

Cel: budować zakłady o typowej sumie. Suma $k$ liczb losowanych bez zwracania ma

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Średnia i wariancja sumy zakładu przy losowaniu bez zwracania (zastępowane wartościami empirycznymi, gdy dostępnych jest co najmniej 5 sum).

Szczegóły dla zaawansowanych

Każda liczba jest ważona funkcją Gaussa wokół średniej wartości przypadającej na pozycję i losuje się do 40 kandydujących zakładów; wygrywa ten, którego suma jest najbliższa $\mu$ (wyszukiwanie kończy się wcześniej, gdy odchylenie nie przekracza $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Waga liczby w metodzie Gaussa.

Model przedziałowy Δ

PROSerwer

Cel: naśladować odstępy między sąsiednimi liczbami w rzeczywistych losowaniach.

Z ostatnich 120 losowań zbiera najmniejszą liczbę każdego losowania i wszystkie różnice między sąsiednimi posortowanymi liczbami. Zakład buduje się jako losowy początek plus losowe różnice; zakład wychodzący poza $N$ jest odrzucany (do 300 prób, potem zakład jednostajny):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empiryczny bootstrap pierwszych liczb i odstępów; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) to posortowane losowanie t.

Szczegóły dla zaawansowanych

Bayes · Dirichlet

PROSerwer

Cel: częstość ze ściąganiem (shrinkage) w kierunku rozkładu jednostajnego.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Średnia a posteriori symetrycznego rozkładu a priori Dirichlet(α) zaktualizowanego obserwowanymi licznościami; metoda losuje z wagami c_n + 3.

Szczegóły dla zaawansowanych

Analiza luk

PROSerwer

Cel: faworyzować liczby, które od dawna się nie pojawiły.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n to indeks najnowszego losowania zawierającego n (0 = ostatnie losowanie); liczba, która nie wystąpiła wcale, otrzymuje D + ḡ.

Szczegóły dla zaawansowanych

Fizyczny model automatu loteryjnego

PROSerwer

Cel: pozwolić uproszczonej symulacji 2D rozstrzygnąć kolejność wypadania kul.

$N$ krążków o promieniu $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ porusza się w kwadracie jednostkowym pod wpływem losowych podmuchów powietrza, stałego dryfu w stronę wylotu, tłumienia i sprężystych zderzeń równych mas; krążek, który opuści kwadrat przez wylot pośrodku dolnej ściany, zostaje wylosowany.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Jeden krok modelu 2D (oś y skierowana w dół, ku wylotowi; najwyżej 2400 kroków). Krążek wypada, gdy przy dolnej ścianie 0.43 < x < 0.57; jeśli wypadnie mniej niż k krążków, zakład uzupełnia się jednostajnie.

Szczegóły dla zaawansowanych

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Sprężyste zderzenie równych mas: składowe normalne prędkości zamieniają się miejscami.

Chaos · odwzorowanie logistyczne

PROSerwer

Cel: pokazać, że w pełni deterministyczny układ może być nieprzewidywalny.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Po 100 iteracjach rozgrzewających od losowego ziarna zbiera się wartości, aż znajdzie się k różnych liczb.

Szczegóły dla zaawansowanych

Kolaps kwantowy

PROSerwerEksperymentalne

Cel: przekorna waga faworyzująca rzadko losowane liczby.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Waga „bariery częstości”; liczby losowe pochodzą z bufora 16-bitowych wartości kryptograficznych.

Szczegóły dla zaawansowanych

System paradoksów

PROSerwerEksperymentalne

Cel: zakłady badawcze zbudowane na sprzecznych z intuicją własnościach losowych kombinacji. Pięć archetypów stosuje się po kolei:

Tłum: w pulach liczących co najmniej 42 liczby preferuje liczby powyżej 31 (urodziny kończą się na 31), z wagą 2.6 powyżej progu i 0.28 poniżej, ×1.1 dla wielokrotności 10, a następnie wymusza co najmniej $\lceil 0.6k \rceil$ liczb powyżej progu. Takie liczby typuje mniej osób, więc ewentualną wygraną dzieliłoby się z mniejszą liczbą zwycięzców — szansa na wygraną pozostaje bez zmian.
Zderzenie: połowa zakładu z najczęstszych liczb, reszta z liczb najdłużej nieobecnych.
Skupisko: zawiera parę kolejnych liczb — własność w losowych losowaniach znacznie częstszą, niż podpowiada intuicja:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot około 35%, Lotto 7/34 około 78%.

Szczegóły dla zaawansowanych

Lustro: łączy w pary $n$ i $N + 1 - n$ .
Regresja: liczby, których niedawna częstość (ostatnie 10 losowań) najbardziej odbiega od częstości długoterminowej.

3. Sąd Matematyczny

Sąd ocenia kombinację, którą już masz. Przysięgli i modele mogą zaproponować zamianę jednej liczby; obrońcy opowiadają się za każdą propozycją lub przeciw niej; Sędzia Najwyższy orzeka na podstawie pola strukturalnego poprzednich losowań. Liczby zmieniają się tylko wtedy, gdy ty tak zdecydujesz — a każdy krok jest zapisywany.

Wybór dwunastu przysięgłych wokół godła Sądu — Ława przysięgłych: dwanaście person, każda z własną strategią matematyczną

Przebieg sprawy

Propozycja. Przysięgły lub model przegląda wszystkie możliwe pojedyncze zamiany w zakładzie i proponuje najwyżej jedną zamianę — albo pozostawienie zakładu bez zmian.
Obrona. Obrońcy zajmują stanowisko wobec każdej propozycji: poparcie, sprzeciw lub protest. Obrońca nigdy nie proponuje ani nie wprowadza liczby.
Werdykt. Sędzia Najwyższy przyjmuje propozycję, wskazuje alternatywę albo pozostawia liczbę, opierając się na polu strukturalnym poprzednich losowań.
Decyzja. Liczby zmieniasz tylko ty: przyjmujesz propozycję, idziesz za obroną, przyjmujesz werdykt Sędziego, zachowujesz oryginał albo cofasz zmianę. Każda decyzja jest zapisywana wraz z jej autorem.

Od modelu do preferencji dla każdej liczby

Każdy model sprowadza się do względnej preferencji $\operatorname{rel}(n)$ dla każdej liczby, gdzie 1 oznacza „średnią modelu”, wraz z błędem standardowym. Modele zdefiniowane jawnym wektorem wag są dokładne; pozostałe mierzy się, uruchamiając je:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Dokładna preferencja względna dla Gorących liczb, Markowa, Gaussa, Bayesa, Analizy luk, Kolapsu kwantowego, Modelu kwantowo-astralnego i Pola strukturalnego.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Preferencja Monte Carlo dla modeli proceduralnych: X₁ … X_R to R = 600 zasiewanych zakładów modelu (120 dla modelu fizycznego). Konsensus zamiast tego uśrednia trzy przebiegi (zob. jego kartę).

Dziewiętnaście modeli

Sąd korzysta z szesnastu metod generatora z rozdziału 2 oraz trzech modeli własnych. Cztery z nich nie używają historii i są zarejestrowane jako niepreferujące żadnych liczb (Pokrycie segmentów, Czysto losowy, Model fizyczny, Chaos); w praktyce Pokrycie segmentów faworyzuje liczby z krótkich segmentów, gdy $k$ nie dzieli $N$ , a Chaos faworyzuje krańce zakresu, co widać na ich kartach. Dwa modele są złożone (Konsensus i Pole strukturalne).

Model	Typ	Podstawa
Gorące liczby	wagi	$c_n + 0.05$
Łączona	próbkowany	tercyle gorący / środkowy / zimny
Pokrycie segmentów	próbkowany, bez historii	jedna liczba na segment
Czysto losowy	próbkowany, jednostajny	tasowanie Fisher–Yates
Łańcuchy Markowa	wagi	wygładzone przejścia z ostatniego losowania
Gauss · CTG	wagi	funkcja Gaussa wokół $\mu/k$
Model przedziałowy Δ	próbkowany	bootstrap odstępów
Bayes · Dirichlet	wagi	$c_n + 3$
Analiza luk	wagi	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Model fizyczny	próbkowany, bez historii	symulacja krążków 2D
Chaos	próbkowany, bez historii	odwzorowanie logistyczne, przesunięte ku krańcom
Kolaps kwantowy	wagi, eksperymentalny	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
System paradoksów	próbkowany, eksperymentalny	pięć archetypów
Model kwantowo-astralny	wagi, eksperymentalny	znak zodiaku Księżyca i jego oświetlenie
Matryca koła	próbkowany	schemat pokrycia par
Światowe gorące	próbkowany	profil jądrowy z wielu loterii
Światowe łączone	próbkowany	profil jądrowy z wielu loterii
Konsensus modeli	zespół	14 modeli składowych
Pole strukturalne	złożony	sześć komponentów opisowych

Pole strukturalne

Serwer

Pole jest miarą Sędziego Najwyższego: ważonym ręcznie złożeniem sześciu komponentów opisowych. Częstości, spójność i pokrycie par dzieli się przez ich maksimum po wszystkich liczbach; świeżość i typowość już leżą w przedziale $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Wynik pola strukturalnego dla liczby n, od 0 do 100.

Szczegóły dla zaawansowanych

gdzie

$A_n,\ S_n$: częstość w całym oknie i w ostatnich $\max(3, \min(10, D))$ losowaniach
$G_n$: świeżość, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: suma wskaźników lift par $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ po wszystkich partnerach $m$ , gdzie $O_{nm}$ to liczba losowań zawierających obie liczby
$T_n$: średnia typowość strukturalna losowań zawierających $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , gdzie $e$ to udział liczb parzystych, a $z_S$ to standaryzowana suma
$P_n$: pokrycie par, łączna liczba obserwacji par z udziałem $n$

Konsensus modeli

Serwer

Czternaście modeli składowych z dwunastu rodzin tworzy po 10 zakładów; liczba otrzymuje punkty za to, ile modeli i rodzin ją wybrało, jak często i jak równomiernie:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Wynik konsensusu; Sąd uśrednia trzy niezależne przebiegi i używa ich rozrzutu jako błędu standardowego.

Szczegóły dla zaawansowanych

gdzie

$M_n,\ F_n$: liczba modeli składowych i rodzin modeli, których zakłady zawierają $n$
$f_n$: łączna liczba zakładów zawierających $n$
$\operatorname{stab}_n$: średnia liczba wystąpień na model składowy, który wybrał $n$ , podzielona przez 10

Model kwantowo-astralny

SerwerEksperymentalne

Model rozrywkowy, który waży liczby według Księżyca w dniu docelowego losowania, z niewielkim udziałem pola strukturalnego:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Waga kwantowo-astralna; σ ∈ {0,…,11} to znak zodiaku odpowiadający długości ekliptycznej Księżyca w dniu docelowego losowania, I to oświetlenie w procentach.

Szczegóły dla zaawansowanych

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Oświetlenie Księżyca w procentach na podstawie wieku A w miesiącu synodycznym o długości P (w dniach).

Jak model ocenia zakład

Dla każdej możliwej zamiany $a \to b$ — liczba $a$ opuszcza zakład, liczba $b$ do niego wchodzi — model oblicza zysk i jego szum. Zysk liczy się tylko wtedy, gdy jest statystycznie wyraźny; strata liczy się zawsze.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Ocena przez model. Dokładne modele wagowe mają SE = 0, więc ich zyski liczą się zawsze; zamiana kwalifikuje się, gdy effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Błąd standardowy zamiany dla modelu próbkowanego: wspólna proporcja przy hipotezie, że a i b są jednakowo prawdopodobne. Dla Konsensusu SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) z jego trzech przebiegów; dokładne modele wagowe mają SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Próg z poprawką Bonferroniego na wszystkie k(N−k) możliwych zamian; Eurojackpot: 3.43.

Bazowe $z$	Eurojackpot, 225 zamian	Lotto 7/34, 189 zamian
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Dwunastu przysięgłych

Każdy przysięgły ma jedną strategię, własne źródła (modele lub sygnały z historii), minimalny efekt i poziom istotności. Werdykt przysięgłego w sprawie zakładu to albo „zachowaj”, albo dokładnie jedna zamiana; przysięgli nie zgłaszają sprzeciwów ani protestów — to rola obrony.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Liczbowy zysk z zamiany na podstawie ważonych źródeł przysięgłego; λ = D/(D+40) w przypadku persony Eva Lind, dla pozostałych 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Efektywna wartość zamiany. Wygrywa najlepsza kwalifikująca się zamiana (przy remisie: mniejsza nowa liczba, potem wcześniejsza pozycja); jeśli żadna się nie kwalifikuje, przysięgły zachowuje zakład.

gdzie

$\omega_m$: waga źródła $m$ w definicji przysięgłego
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , gdzie $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: poziom istotności przysięgłego z poprawką na $k(N-k)$ zamian, jak w tabeli powyżej
$\Delta \ell_c$: zmiana log-wiarygodności komponentu strukturalnego $c$ (w natach)
$\Delta \Gamma$: zmiana wyniku pokrycia kuponu

Sygnały obliczane z historii

Trzech przysięgłych korzysta z sygnałów odczytywanych bezpośrednio z losowań, a nie z generatora. Przy $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Test częstości. Przy uczciwych losowaniach Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), ponieważ liczby w jednym losowaniu są ujemnie skorelowane; podzielenie przez oczekiwaną liczność Dp daje SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Powtarzalność. Częstość w K rozłącznych oknach po s = ⌊D/K⌋ losowań; przewaga musi przetrwać karę równą jednemu błędowi standardowemu.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalia. Bezwzględne odchylenie od oczekiwanej liczności; √(1−2/π) to odchylenie standardowe |Z| dla standardowej zmiennej normalnej Z.

Struktura i pokrycie

Komponenty strukturalne porównują zakład z profilem poprzednich losowań: parzystość, liczby niskie/wysokie, skupiska i odstępy są kategoryczne z wygładzaniem Laplace'a; suma i rozpiętość są gaussowskie.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-wiarygodności: ℓ₁ kategoryczna (parzystość, niskie/wysokie, skupiska; J kategorii, n_j poprzednich losowań w kategorii j), ℓ₂ gaussowska (suma, rozpiętość), ℓ₃ odstępy między sąsiednimi liczbami.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Pokrycie kuponu: 𝒫′ to zbiór par pozostałych zakładów kuponu; drugi składnik liczy dziesiątki pola liczbowego, w które trafia zakład.

Eva Lind · Strzelczyni wyborowa

Strategia: częstość długoterminowa z bayesowskim ściąganiem. Źródła: Bayes 0.8 + Gorące liczby 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; bez testu istotności (dokładne wagi).

Reguła: najlepszą zamianą jest zawsze najrzadsza liczba zakładu → najczęstsza liczba spoza niego; kwalifikuje się, gdy $\Delta \ge 0.12$ .

Szczegóły dla zaawansowanych

Maya Chen · Architektka formy

Strategia: kształt zakładu. Źródła: Gauss 0.5 + Łączona 0.5; waga struktury 2 dla parzystości, liczb niskich/wysokich, sumy, rozpiętości i skupisk; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Reguła: składnik strukturalny liczy się zawsze, więc zamiana, która zbliża zakład do typowego kształtu poprzednich losowań, może się zakwalifikować wyłącznie dzięki strukturze.

Szczegóły dla zaawansowanych

Clara Moretti · Łowczyni anomalii

Strategia: anomalie w obu kierunkach. Źródło: sygnał anomalii; struktura odstępów 0.4 liczona tylko przy istotnej zamianie; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

W sygnale anomalii średnia się znosi: liczy się tylko różnica odchyleń bezwzględnych.

Szczegóły dla zaawansowanych

Leila Haddad · Globalna obserwatorka

Strategia: profil światowy. Źródła: Światowe gorące 0.5 + Światowe łączone 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; wymaga danych pozostałych loterii.

Szczegóły dla zaawansowanych

Freya Olsen · Inżynierka pokrycia

Strategia: pokrycie kuponu bez preferowania liczb. Brak źródeł; waga pokrycia 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Szczegóły dla zaawansowanych

Nora Blake · Jasnowidzka

Eksperymentalne

Strategia: rozrywkowy system astrologiczny dla daty losowania. Źródło: Model kwantowo-astralny; $E_{\min} = 0.05$ ; wymaga daty docelowego losowania.

Szczegóły dla zaawansowanych

Derek Cole · Mistrz łańcuchów

Strategia: przejścia z ostatniego losowania. Źródło: Łańcuchy Markowa; struktura odstępów 0.4, liczona zawsze; $E_{\min} = 0.12$ . Ponieważ wagi Markowa sumują się do jedności, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Szczegóły dla zaawansowanych

Marcus Reed · Sygnał alarmowy

Strategia: najdłuższa nieobecność. Źródła: Analiza luk 0.8 + Gorące liczby 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; bez testu istotności.

Szczegóły dla zaawansowanych

Victor Moreau · Fizyk automatu loteryjnego

Strategia: fizyczne odchylenie bębna powtarzałoby się w każdym okresie. Źródło: powtarzalność; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Dolna granica szumu nie pozwala, by cztery szczęśliwe okna wyglądały na istotne.

Szczegóły dla zaawansowanych

Noah Bennett · Czujny sceptyk

Strategia: odrzucić czysty przypadek na najsurowszym poziomie. Źródło: test częstości; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Statystyka testowa Noah Bennett w postaci zamkniętej.

Szczegóły dla zaawansowanych

Elias Berg · Iluzjonista pod prąd

Eksperymentalne

Strategia: przeciw tłumowi — rzadsze liczby. Źródła: Kolaps kwantowy 0.85 + System paradoksów 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Szczegóły dla zaawansowanych

Leo Fischer · Dyrygent konsensusu

Strategia: stabilność konsensusu modeli. Źródło: Konsensus (trzy niezależne przebiegi); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Szczegóły dla zaawansowanych

Generowanie przez ławę przysięgłych

Gdy ława przysięgłych generuje zakład, zamiast go oceniać, każdy przysięgły losuje 40 kandydujących zakładów z własnymi wagami $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ i zachowuje najlepszy według

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Głos przysięgłego. Zakład ławy składa się z k liczb, które zebrały najwięcej głosów; przy remisie decyduje wyższe znormalizowane poparcie, a potem mniejsza liczba.

Sześciu obrońców

Obrońcy oceniają proponowaną zamianę $n_c \to n_p$ — liczbę bieżącą i proponowaną, wylosowane $x_c$ i $x_p$ razy w $D$ losowaniach — za pomocą własnych sygnałów. Wartości dodatnie przemawiają za propozycją:

Sygnał	Definicja
częstość	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
a posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, pole, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktura	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilność	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ w sześciu kolejnych okresach

Prawdopodobieństwo a posteriori oblicza się dokładnie, bez przybliżenia normalnego:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Postać zamknięta dla rozkładów a posteriori Beta o całkowitych parametrach; funkcja Beta korzysta z logarytmu funkcji Gamma w przybliżeniu Lanczos.

Reguła decyzji o zamianie, gdzie $\bar z$ to średnia ważona sygnałów obrońcy:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Stanowisko obrońcy ψ: S poparcie, P protest, O sprzeciw. χ = 1, gdy kontrole obrońcy wypadają pomyślnie: dla poparcia — jednomyślność sygnałów, zgodność drugiego sygnału i weto strukturalne; dla protestu — tylko jednomyślność i zgodność.

Thomas Keller · Obrońca z urzędu

FREE

Sygnały: częstość + Bayes + pole strukturalne, wszystkie muszą być zgodne; poparcie od 1, protest od −1; wymaga 20 losowań, a przy 5–19 losowaniach działa w trybie ograniczonym z Bayesem + a posteriori.

Szczegóły dla zaawansowanych

Elena Rossi · Obrończyni statystyczna

Sygnał: częstość z poprawką na porównania wielokrotne; weto strukturalne od −1; poparcie i protest od 1.96; co najmniej 30 losowań.

Szczegóły dla zaawansowanych

Amelia Grant · Przeciw fałszywej pewności

Sygnał: prawdopodobieństwo przewagi a posteriori; poparcie przy $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protest przy $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); co najmniej 10 losowań.

Szczegóły dla zaawansowanych

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Stanowisko
30	1	7	0.987	poparcie
30	4	3	0.354	sprzeciw
30	5	2	0.128	protest
100	6	16	0.987	poparcie

Julien Morel · Obrońca struktury

Sygnał: łączna zmiana sześciu strukturalnych log-wiarygodności; poparcie od 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nata), protest od 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); co najmniej 20 losowań.

Szczegóły dla zaawansowanych

Ingrid Falk · Stabilność w czasie

Sygnał: wygrane minus przegrane proponowanej liczby w sześciu kolejnych okresach; musi być zgodny z ogólną częstością; próg 1.5, więc co najmniej $W - L \ge 4$ ; co najmniej 30 losowań.

Szczegóły dla zaawansowanych

Adrian Vega · Astrologia rozrywkowa

Eksperymentalne

Sygnał: wagi Modelu kwantowo-astralnego dla daty docelowego losowania; poparcie i protest od 0.5.

Szczegóły dla zaawansowanych

Sędzia Najwyższy

Sędzia orzeka w sprawie spornej liczby na podstawie pola strukturalnego $F$ , znormalizowanego do jego maksimum: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Liczba jest słaba, jeśli leży w najniższych 35% pola.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ to statystyka pozycyjna wartości pola posortowanych rosnąco; bieżąca liczba jest słaba, gdy φ(n_c) < θ. Margines m obowiązuje, gdy protestuje więcej niż połowa obrońców, którzy zajęli stanowisko.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Werdykt V to liczba, którą Sędzia pozostawia na danej pozycji; stosuje się pierwszy pasujący wiersz. a* to liczba o najwyższej wartości pola spoza zakładu, inna niż propozycja.

Analiza i rekomendacja Sędziego Najwyższego

Dla całych zakładów Sędzia podaje wynik zakładu i sugeruje zastąpienie najwyżej $\lfloor k/2 \rfloor$ najsłabszych liczb poniżej $\theta$ najsilniejszymi liczbami spoza zakładu. To ty wybierasz, które zamiany zastosować. Gdy zakładów nie ma, Sędzia rekomenduje: losowane jednostajnie szkice są ulepszane w ten sam sposób i zwracane wraz z ich pochodzeniem.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Wynik zakładu w analizie Sędziego Najwyższego.

Decyzje, pakiety i historia

Decyzje: przyjmij propozycję, przyjmij stanowisko obrony, przyjmij werdykt Sędziego, zachowaj oryginał, cofnij. Liczby zmieniają się tylko wtedy, gdy przyjmujesz propozycję, przyjmujesz werdykt Sędziego zastępujący liczbę albo cofasz zmianę; każda zmiana jest przekształceniem w zapisie pochodzenia.
Decyzje zbiorcze: najwyżej jedna zamiana na liczbę. „Przyjmij wszystkie zamiany większości” stosuje tylko opcje wybrane przez ponad połowę wybranych przysięgłych; „Zastosuj wszystkie propozycje” bierze dla każdej liczby opcję większości, a w jej braku tę z największą liczbą głosów, i pomija remisy.
Pakiety: ocena do 50 zakładów przez ten sam skład person liczy się jako jedna próba; zakłady już przeanalizowane są pomijane, a przerwany pakiet wznawia się według tego samego planu.
Historia: typy zdarzeń to ocena ławy, ocena modelu, propozycja, ocena obrony, ocena Sędziego, decyzja i przekształcenie; dziennik przechowuje do 200 zdarzeń i nigdy nie usuwa przekształcenia ani najnowszych ocen.

Rozliczanie Sądu z wyników

Każde twierdzenie jest zapisywane w rejestrze prognoz przed swoim losowaniem i oceniane po nim względem przypadku. Dla twierdzeń dotyczących $n_i$ liczb z bazową szansą $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H to liczba trafień. Źródło trafia do rankingu dopiero przy co najmniej 30 liczbach z co najmniej 3 losowań.

4. Bęben 3D: silnik fizyczny

Losowanie 3D to symulacja brył sztywnych w czasie rzeczywistym: kule są ciałami o masie, momencie bezwładności, tarciu i współczynniku restytucji, poruszanymi przez grawitację, mieszający wirnik i pole przepływu powietrza, a wylosowana kula to ta, która fizycznie wpada do wylotu. To wiarygodny model fizyczny bębna, a nie nagranie prawdziwej maszyny.

Bęben SuperEnalotto z 90 kulami mieszanymi podczas wybierania kuli — 90 kul SuperEnalotto w symulowanej komorze

Silnik i układ współrzędnych

Fizykę liczy Rapier 3D (wersja 0.14, WebAssembly); renderowanie odbywa się w Three.js (r169). Układ współrzędnych jest prawoskrętny, oś $+y$ skierowana w górę, a początek leży w środku komory; osią wirnika jest pozioma oś $x$ , a $+z$ wskazuje w stronę widza.

Komora: sfera o promieniu $R = 3.0$ jednostki, zbudowana jako siatka trójkątów z normalnymi skierowanymi do wewnątrz i z okrągłym wylotem u dołu (półkąt $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Kule: sfery o promieniu $r = 0.2$ i gęstości 1; jedna kula na liczbę, od 5 do 90 kul.
Wirnik: kinematyczny wał z sześcioma ramionami, których łopatki w kształcie kapsuł mają taki rozmiar, by w płaszczyźnie obrotu kończyć się 0.14 jednostki od szkła, oraz mniejszy, trójramienny wirnik, którego kierunek zmienia się między fazami mieszania.
Zastawka: cylindryczny korek w wylocie, usuwany, gdy kula może opuścić komorę.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Masa, moment bezwładności i ciężar kuli w jednostkach modelu.

Skala i podobieństwo Froude'a

Jedna jednostka modelu to 10 cm: kula o średnicy 40 mm ma 0.4 jednostki, a komora jest sferą o średnicy 600 mm. Grawitację zmniejszono do $30$ jednostek/s² zamiast rzeczywistych $98.1$ . Ruch zdominowany przez grawitację i bezwładność wygląda tak samo przy tej samej liczbie Froude'a, więc symulacja odpowiada maszynie naturalnej wielkości z wolniej płynącym czasem:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Wielkości z primem dotyczą modelu. Równa liczba Froude'a przy równej długości: prędkości skalują się jak √γ, a czasy jak 1/√γ.

Siły

Każda kula podlega drugiej zasadzie dynamiki Newtona z siłami, które kod faktycznie przykłada:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D opór powietrza, F_W analityczna ściana, F_S ssanie przy wylocie, F_C kontakty z kulami, wirnikiem i zastawką (liczone przez Rapier); τ to odpowiadające im momenty sił. Rapier stosuje też niewielkie tłumienie liniowe i kątowe, a prędkości są dla bezpieczeństwa ograniczone do 22 jednostek/s i 105 rad/s.

Pole przepływu powietrza i opór kwadratowy

Dmuchawa jest modelowana jako zadane pole prędkości powietrza $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; na każdą kulę działa opór kwadratowy względem lokalnej prędkości powietrza. Stałą oporu wyznacza prędkość graniczna 48 jednostek/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

W nieruchomym powietrzu spadająca kula osiąga v_t = √(g/k_d) = 48 jednostek/s, czyli około 8.7 m/s w skali rzeczywistej.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Centralny prąd wznoszący: najsilniejszy na osi przy dnie (102 przy y = −3, 68 w środku, 34 u góry); ρ_h to odległość pozioma od osi.

Wir: poziomy obrót z prędkością 11 jednostek/s wokół osi pionowej.
Przepływ do środka: powyżej 60% promienia — do $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ w stronę środka, dzięki czemu kule stale krążą, zamiast przywierać do szkła.
Turbulencja: gładki trójwymiarowy szum wartości (value noise) o amplitudzie 58, dryfujący w czasie; to stała funkcja deterministyczna, a nie generator liczb losowych.
Podmuchy przeciw zastojom: kula, która zbyt długo pozostaje na dnie, u góry, przy ścianie lub prawie nieruchomo, dostaje lokalny podmuch dodany do prędkości powietrza, nadal działający poprzez opór.

Analityczna ściana sferyczna

Oprócz siatki szkło jest wymuszane jako dokładna sfera na poziomie prędkości, co zapobiega przenikaniu (tunelowaniu) i daje poprawne toczenie. Przy normalnej zewnętrznej $\hat{\mathbf n}$ , prędkości na zewnątrz $v_n$ i penetracji $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulatywny naddatek kontaktu v* i współczynnik restytucji e (e_b to współczynnik restytucji kuli; zero poniżej prędkości progowej, aby spoczywająca kula nie drgała).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Odpowiedź normalna, stosowana tylko wtedy, gdy v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Tarcie Coulomba w punkcie styku; s to styczna prędkość poślizgu v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), gdzie μ_b to tarcie kuli.

Kontakty między ciałami

Kontakty kula–kula, kula–wirnik i kula–zastawka rozwiązuje solwer więzów Rapier z ciągłą detekcją kolizji dla kul. Współczynniki łączy się przez uśrednianie:

Para	Tarcie	Restytucja
kula – kula	0.16	0.55
kula – szkło	0.255	0.415
kula – łopatka	0.19	0.525
kula – ramię lub wał	0.17	0.35
kula – zastawka	0.23	0.375

Tłumienie jest niewielkie podczas losowania (liniowe 0.05, kątowe 0.035) i silne, gdy kule się układają (2.4). Nie ma parametru oporu toczenia: toczenie zwalnia wyłącznie przez tłumienie i tarcie kontaktowe.

Krok czasowy i całkowanie

Symulacja postępuje stałymi krokami niezależnymi od częstotliwości odświeżania ekranu; każda klatka wykonuje tyle stałych kroków, ile wymaga czas rzeczywisty, najwyżej pięć:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Akumulator stałego kroku: klatka o czasie trwania Δt_f wykonuje n stałych kroków (najwyżej 5); każdy krok dzieli się na 2 podkroki Rapier po h = 1/120 s z 6 iteracjami solwera.

W obrębie podkroku silnik aktualizuje prędkości na podstawie sił, a następnie położenia na podstawie nowych prędkości — to półniejawny (symplektyczny) schemat Eulera stosowany w silnikach impulsowych, pokazany tu jako ogólna zasada:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Postać ogólna: F to przyłożone siły, F_c siły więzów (kontaktowe) wyznaczane przez iteracyjny solwer Rapier.

Własne siły aplikacji (powietrze, ściana, ssanie) są obliczane raz na krok na podstawie stanu z jego początku i utrzymywane przez oba podkroki. Wirnik jest kinematyczny, a jego cel jest aktualizowany w każdym podkroku:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Wykładnicze dochodzenie prędkości wirnika do wartości docelowej; mieszanie przechodzi cyklicznie przez 2.4, 2.9, 2.1 i 2.7 rad/s.

Jak wybierana jest kula

Po 1 s rozruchu i 2.6 s mieszania zastawka się otwiera. Gdy wylot jest otwarty, prąd wznoszący nad nim płynnie zanika, centralny strumień zostaje zredukowany do 62%, a ssanie o sile około 2.2 ciężaru kuli (około 4 po 5 s) przyciąga kule znajdujące się w pobliżu wylotu:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Ssanie przy wylocie (y < −1.6 i odległość pozioma < 0.6); t_c to czas od otwarcia zastawki.

Wylosowana kula to pierwsza, której środek opadnie poniżej $y = -3.18$ ; jeśli w tym samym kroku zrobi to kilka kul — ta położona najniżej. W tym momencie nie używa się żadnej liczby losowej. Liczbami losowymi losowania są początkowe rozmieszczenie kul oraz niewielka prędkość początkowa i rotacja, pobierane z Web Crypto API (ponownie przy wczytaniu osobnej puli liczb dodatkowych). Następnie kula przemieszcza się po torze wyjścia do stojaka; ten ruch jest oskryptowany, a nie symulowany.

Renderowanie a symulacja a losowość

Symulacja: stałe kroki 1/60 s; ustawienia jakości (ultra, wysoka, średnia, niska) zmieniają tylko cienie, poświatę (bloom), rozdzielczość i szczegółowość siatek, nigdy fizykę.
Renderowanie: każda klatka pokazuje ostatni ukończony krok; między krokami nie ma interpolacji.
Losowość: siły są deterministyczne; wynik zależy od początkowego rozmieszczenia, a od drugiej kuli także od tego, ile na danym urządzeniu trwa prezentacja poprzedniej kuli, więc losowania nie da się odtworzyć dokładnie.

5. Statystyka rzeczywistych losowań

Ekrany analityki opisują historyczne losowania. Odpowiadają na pytania „co się wydarzyło” i „czy jest to zgodne z uczciwą loterią”, nigdy na pytanie „co się wydarzy”.

Częstości, liczby gorące i zimne

Dla każdej liczby aplikacja zlicza wystąpienia w oknie i pokazuje je obok oczekiwanej liczności w uczciwej loterii; odchylenie standardowe podajemy tu dla informacji:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Oczekiwana liczność (pokazywana w aplikacji) i jej odchylenie standardowe (dla informacji) dla jednej liczby w D niezależnych losowaniach.

Gorące i zimne: pięć najczęstszych i pięć najrzadszych liczb, każda z oczekiwaną licznością (wymaganych jest co najmniej 5 losowań).
Słupki częstości: czerwone, gdy udział liczby przekracza 1.3 raza udział oczekiwany, niebieskie poniżej 0.7 raza.
Mapa ciepła: kolor według normalizacji min–max $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Mapa ciepła Eurojackpot dla 50 liczb głównych w kolorach od niebieskiego do czerwonego — Mapa ciepła: kolor pokazuje wyłącznie dawną częstość

Test rzetelności: χ² z poprawką

Test χ² sprawdza, czy liczności są zgodne z równymi prawdopodobieństwami. W jednym losowaniu $k$ liczb wybiera się bez zwracania, przez co liczności są ujemnie skorelowane; zwykła statystyka wielomianowa jest wtedy za mała, więc aplikacja ją koryguje:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Statystyka Pearsona z poprawką na losowanie bez zwracania; wymaganych jest co najmniej 10 losowań.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regularyzowana górna niekompletna funkcja gamma, obliczana za pomocą szeregu i ułamka łańcuchowego.

Wartość p	Werdykt
$p > 0.05$	brak istotnego odchylenia
$0.01 < p \le 0.05$	odchylenie graniczne
$p \le 0.01$	statystycznie istotne odchylenie

Test rzetelności ze skorygowanym χ², stopniami swobody, wartością p i pozycyjnym testem Q — Test rzetelności χ² i audyt pozycyjny

Pozycyjny test Q

Przy co najmniej 30 kompletnych losowaniach aplikacja testuje też średnią każdej posortowanej pozycji (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). $i$ -ta najmniejsza spośród $k$ liczb wylosowanych z $1..N$ ma średnią i kowariancję

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ to wektor różnic między obserwowanymi średnimi pozycji a μ w m losowaniach.

Pary, porównania i kontrole

Pary: macierz 12 × 12 pokazująca, jak często 12 najczęstszych liczb pojawiało się razem (co najmniej 10 losowań). To surowe liczności; dla porównania oczekiwana liczność danej pary w uczciwych losowaniach wynosi $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Porównanie loterii: szanse na jackpot, cena, koszt wykupienia wszystkich kombinacji.
Kontrola matematyki: aplikacja ponownie oblicza $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ i porównuje wynik z zapisaną stałą, a także sprawdza losowania z okna analizy pod kątem błędów zakresu, niewłaściwej liczby kul i powtórzonych dat.
Stopnie wygranych: oficjalne tabele wypłat dla każdego losowania. Obraz losowania uśrednia 60 ostatnich rzeczywistych tabel wypłat; tylko dla loterii bez żadnych danych o wypłatach szacuje liczbę zwycięzców na podstawie prawdopodobieństw stopni z rozdziału 8 i przyjętej wielkości sprzedaży, więc te wartości mają charakter poglądowy.

Symulacja gry przez całe życie

Symulacja 50 lat korzysta z prawdopodobieństwa co najmniej jednego jackpota przy $T$ niezależnych zakładach:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Prawdopodobieństwo co najmniej jednego jackpota w T zakładach; C to liczba kombinacji dających jackpot, d losowań w tygodniu, r zakładów na losowanie.

6. Analiza kalendarzowa

Analiza kalendarzowa szuka zbieżności między datami losowań a wylosowanymi liczbami — na przykład dnia miesiąca wśród wylosowanych kul — i porównuje każdą zaobserwowaną częstość z częstością, jaką dałby czysty przypadek.

Wybór losowań

Losowania można filtrować według roku, miesiąca, tego samego miesiąca we wszystkich latach lub zakresu dat, a także według epoki zasad. Listy częstości (gorące, zimne, najdłużej nieobecne) używają surowych liczności w wybranym zbiorze; liczba niemożliwa we wszystkich wybranych epokach jest pomijana, a wybór łączący epoki jest oznaczany ostrzeżeniem, ponieważ liczba ważna tylko w nowszej epoce wygląda fałszywie na „zimną”. Poniższe reguły dat uwzględniają epoki: losowanie liczy się dla reguły tylko wtedy, gdy co najmniej jeden kandydat jest ważną liczbą według zasad tego losowania.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Zaobserwowana częstość reguły daty: C_t to liczby kandydujące losowania t, X_t jego wylosowane liczby, Ω_t liczby ważne według jego zasad; ℰ to losowania kwalifikujące się.

Dziesięć reguł dat

Reguła	Liczby kandydujące dla losowania z dnia DD.MM.YYYY
dzień	DD
miesiąc	MM
rok	YYYY mod 100
godzina	godzina losowania, jeśli operator ją publikuje
cyfry roku	różne cyfry YYYY
suma cyfr roku	suma cyfr YYYY
suma cyfr roku dwucyfrowego	suma cyfr YYYY mod 100
suma cyfr dnia	suma cyfr DD
suma cyfr daty	suma wszystkich cyfr DD, MM i YYYY
pierwiastek cyfrowy	suma cyfr daty zredukowana do jednej cyfry

Kandydat równy 0 jest pomijany, a losowanie liczy się dla reguły raz, nawet gdy pasuje kilka jego liczb.

Oczekiwanie losowe

Dla losowania $k$ liczb spośród $S$ możliwych wartości i zbioru $m$ liczb kandydujących prawdopodobieństwo, że nie zostanie wylosowany żaden kandydat, dane jest rozkładem hipergeometrycznym:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: nie zostaje wylosowany żaden kandydat; P≥1: zostaje wylosowany co najmniej jeden. Kandydaci spoza zakresu epoki danego losowania są odrzucani.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Oczekiwana częstość trafień r̂ w kwalifikujących się losowaniach ℰ, każde z własną epoką; P^M i P^B dla puli głównej i dodatkowej łączy się jak zdarzenia niezależne.

Zbieżności kalendarzowe z zaobserwowanymi częstościami obok oczekiwania losowego — Zbieżności kalendarzowe w porównaniu z przypadkiem

Interpretacja częstości

Pary są podawane od 30 losowań, a trójki od 120 (tylko kombinacje, które wystąpiły co najmniej dwa razy, dziesięć najczęstszych); poniżej 100 losowań wyświetlane jest ostrzeżenie o małej próbie. Przy 100 losowaniach częstość bliska 20% nadal ma 95-procentowy przedział o szerokości około $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ punktu procentowego.

7. Archiwum historyczne i epoki zasad

Loterie zmieniają swoje zasady. Losowanie ma sens tylko razem z zasadami obowiązującymi w dniu, w którym się odbyło, dlatego każde zapisane losowanie zawiera wersję swoich zasad.

Epoki zasad

Loteria	Epoki (główne · dodatkowe)
Lotto (Norwegia)	7/34 + 3 dodatkowe → 7/34 + 1 dodatkowa (od 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + dodatkowa i liczba szczęśliwa → liczba Viking 1–8 (2017) → 1–5 (od 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (od 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (od 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (od 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (od 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly od 1997; SuperStar to osobny bęben, wyłączony z modeli
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (od 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (od 19.04.2018)

Reguła zgodności

Modele i analityka używają wyłącznie losowań porównywalnych z dzisiejszymi zasadami. Dwie epoki porównuje się grupa po grupie:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Epoka e jest porównywalna dla liczb głównych, gdy zgadzają się ich liczba i zakres (lewa strona), a dla liczb dodatkowych, gdy zgadza się każda grupa dodatkowa 𝓑 (prawa strona). Losowanie z porównywalnymi liczbami głównymi, ale innymi zasadami liczb dodatkowych zachowuje liczby główne i traci liczby dodatkowe.

Historia Eurojackpot z kartą epoki aktualnych zasad i losowaniami oznaczonymi wersją zasad — Archiwum oznacza każde losowanie jego epoką zasad

8. Prawdopodobieństwo i ograniczenia

Każde oficjalne losowanie jest niezależnym doświadczeniem losowym. Żadna historia, model, sąd ani symulacja nie zmienia prawdopodobieństwa żadnej kombinacji.

Prawdopodobieństwo jackpota

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Prawdopodobieństwo jackpota dla jednego zakładu według aktualnych zasad (po prawej: Eurojackpot); loterie bez liczby dodatkowej typowanej przez gracza używają tylko pierwszego czynnika.

Loteria	Zasady	Szansa na jackpot
Lotto (Norwegia)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Każdy stopień wygranej

Trafienie dokładnie $i$ spośród $k$ liczb głównych i $j$ spośród $b$ liczb dodatkowych to iloczyn dwóch prawdopodobieństw hipergeometrycznych:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Dla dodatkowej kuli losowanej z tego samego bębna (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) drugi czynnik dla „+1” wynosi (k−i)/(N−k).

Stopień Eurojackpot	Szansa
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Dlaczego żadna metoda nie pokona przypadku

Jeśli losowania są niezależne, a każda kombinacja jest jednakowo prawdopodobna, prawdopodobieństwo warunkowe następnego losowania przy dowolnej historii jest takie samo jak bez niej, a oczekiwana liczba trafionych liczb głównych jest jednakowa dla każdego zakładu, niezależnie od tego, jak powstał:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H to liczba trafionych liczb głównych zakładu. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 na zakład dla każdej metody.

Otwórz Lotto Simulator