Matematik och teknik

Den verkliga matematiken, statistiken, algoritmerna och fysiken bakom Lotto Simulator — hämtade direkt ur koden som körs i appen.

Öppna Lotto Simulator

Så läser du den här sidan

Varje formel nedan är hämtad ur implementationen, inte ur en broschyr. Där en komponent är en deterministisk regel eller en heuristik snarare än en formel beskriver vi algoritmen exakt som den körs och hittar inte på någon matematik åt den.

Lotto Simulator är en analytisk, pedagogisk och simuleringsinriktad miljö. Den genererar kombinationer med sexton metoder, granskar dem i en matematisk domstol med tolv jurymedlemmar, sex försvarare och en överdomare, testar om verkliga dragningshistoriker är rättvisa, analyserar kalendersammanträffanden och spelar upp en fysisk 3D-lottotrumma. Inget av detta ändrar sannolikheten för något nummer i en officiell dragning — avsnitt 8 förklarar varför, med siffror.

Beteckningar som används genomgående

där

$N$: antalet möjliga huvudnummer (till exempel 50 i Eurojackpot)
$k$: hur många huvudnummer som dras och spelas (5 i Eurojackpot)
$B,\; b$: storleken på den separata bonusmängden och hur många bonusnummer som spelas (12 och 2 i Eurojackpot)
$D$: antalet tidigare dragningar i det valda analysfönstret
$c_n$: hur många gånger numret $n$ förekom bland huvudnumren i dessa $D$ dragningar
$t = 0, 1, \dots$: dragningens index, nyaste först: $t = 0$ är den senaste dragningen
$\binom{n}{r}$: binomialkoefficienten, antalet sätt att välja $r$ element bland $n$

1. Systemarkitektur

En applikation, en kodbas: samma webbapp körs i webbläsare på dator och mobil och, helt oförändrad, i iOS- och Android-apparna (Capacitor WebView). Tunga och betalda beräkningar sker på servern; allt användaren ser renderas på enheten.

Enhet (webb, iOS, Android)Gränssnitt, kupong och arbetsuppsättningar, generatorns fyra FREE-metoder, frekvensdiagram, χ²-test, kalendermatematik, 3D-trumma. Rent slumpmässigt och 3D-trumman hämtar sin slump från Web Crypto API.
Edge-funktioner (TypeScript, Deno)Generatorns tolv PRO-metoder, domstolens samtliga nitton modeller, de tolv jurymedlemmarna, sex försvarare, överdomaren, hjulsystem och prognosregistret. Domstolen körs på seedade, reproducerbara slumpströmmar.
Databas (PostgreSQL)Officiella dragningsresultat med sin regelversion, vinsttabeller, konton och behörigheter, det endast tilläggsbara prognosregistret och dess utvärdering.
DatapipelineSchemalagda jobb hämtar officiella resultat, validerar varje dragning mot reglerna i dess era och publicerar datamängden enligt nuvarande regler.

Vem beräknar vad

I webbläsaren: FREE-metoderna (Heta nummer, Kombinerad, Segmenttäckning, Rent slumpmässigt) och all beskrivande statistik. Den publika versionen tar fysiskt bort PRO-implementationerna från klienten: deras funktioner ersätts med stubbar, så ett PRO-resultat kan bara komma från servern.
På servern: varje PRO-metod, hela den matematiska domstolen och överdomaren. En förfrågan anger lotteriet, metoden, antalet rader (1–50) och analysfönstret; servern laddar dragningarna själv, så klienten kan inte mata den med påhittad historik.
Fail-closed-regel: en servermodell behöver minst 5 dragningar i det valda analysfönstret. Med färre vägrar den med ett uttryckligt svar om ”otillräcklig historik” i stället för att skapa rader ur ingenting.

Reproducerbara domstolsberäkningar

Varje jurymedlem, försvarare och modell i domstolen körs på en egen pseudoslumpmässig ström vars seed är en hash av algoritmversionen, personan, lotteriet, hela dragningshistoriken och måldragningens datum. Samma data ger därför alltid samma domslut, och varje ändring i historiken ändrar varje ström.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Seed för en domstolsberäkning och strömmen av likformigt fördelade tal som dras ur den.

där

$v$: domstolsmotorns algoritmversion
$\kappa$: persona- eller modellnyckel, till exempel en jurymedlems identifierare
$H$: varje dragning i fönstret, huvud- och bonusnummer i ordning
$g,\; d$: lotteriets identifierare och måldragningens datum
$h_0$: FNV-1a:s offsetbas; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ hashar texten $x$ med start i tillståndet $h$
$u_i$: strömmens $i$ :te likformigt fördelade slumptal

Lagring och härkomst

Varje kombination bär en härkomstpost: dess källa (generatormetod, jurymedlem, jurykonsensus, hjul, 3D-dragning, överdomare, manuell inmatning), numren den började med och en endast tilläggsbar händelselogg över granskningar, förslag, försvararnas ståndpunkter, domslut, beslut och transformationer (högst 200 händelser). En post godtas bara om en uppspelning av dess transformationer på de ursprungliga numren återskapar raden exakt; annars visas raden med källan markerad som otillgänglig.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Härkomstkontroll: den aktuella raden R_m måste vara lika med den ursprungliga raden R_0 efter att varje registrerat byte τ₁ … τₘ har tillämpats i ordning.

Släktled: när en rad redigeras för hand skapas en ny post med den föregående som förälder (upp till fyra tidigare poster sparas), så historiken före den manuella ändringen förblir synlig.
Prognosregister: varje rekommendation (en genererad rad, en jurymedlems byte, en försvarares ståndpunkt, ett domslut) skrivs till ett register före måldragningen och utvärderas automatiskt efter det officiella resultatet.

2. Huvudgeneratorn: sexton metoder

Generatorn erbjuder sexton val. Fyra FREE-metoder körs i webbläsaren; tolv PRO-metoder körs på servern. Alla väljer $k$ olika nummer ur $1..N$ plus lotteriets bonusnummer; de skiljer sig bara i hur numren viktas eller konstrueras.

Seriegeneratorn med antal, analysmetod och de tre standardfiltren — Generatorpanelen: metodväljare och standardfilter

Gemensamma byggstenar

Viktade metoder ger varje nummer en vikt $w_n \ge 0$ och drar sedan sekventiellt utan återläggning: varje val tar bort numret och normaliserar om de återstående vikterna.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Sekventiell viktad dragning utan återläggning, som används av alla viktbaserade metoder.

där

$x_j$: det $j$ :te numret som väljs till raden, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: metodens vikt för numret $n$

Slump: i webbläsaren använder Rent slumpmässigt och unikhetssteget Web Crypto API, medan Heta nummer, Kombinerad och Segmenttäckning använder webbläsarens standardgenerator (Math.random). På servern drar metoderna kryptografisk slump, utom Fysisk modell (standardgenerator) och Kaos-metodens seed, som blandar kryptografisk slump med en högupplöst timer. I webbläsaren fås ett heltal utan skevhet i $0..M-1$ genom förkastelsesampling, så att ingen rest gynnas:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Förkastelsesampling: ett 32-bitars kryptografiskt värde x dras om tills det hamnar under den största multipeln av M och reduceras sedan modulo M.

Bonusnummer

Bonusnummer (Eurojackpot 2 av 12, EuroMillions 2 av 12, Powerball 1 av 26, Mega Ball 1 av 24, Viking-numret 1 av 5, Powerball AU 1 av 20) dras ur en egen mängd, oberoende av huvudnumren. Lotto, SuperEnalotto och Lotto Max har inget bonusnummer för spelaren: deras extra boll dras av operatören ur huvudtrumman.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Vikten w′ⱼ för bonusnumret j med bonusantalet c′ⱼ för metoden μ: freq = Heta nummer; rnd, phys, chaos, world = Rent slumpmässigt, Fysisk modell, Kaos och världsmetoderna; alla övriga metoder använder c′ⱼ + 2. Med färre än 5 dragningar använder varje metod likformiga vikter.

FREE-filter och unikhet

Rader som skapas i webbläsaren passerar tre filter som är påslagna som standard: inte alla nummer jämna eller alla udda; summan inom ett intervall; ingen följd av fler än tre på varandra följande nummer. En underkänd rad ersätts av en likformigt slumpmässig rad som klarar filtren (dess bonusnummer dras med Bayes-vikterna $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Standardintervall för summan. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, intervall 73–183.

För att samma kombination inte ska delas ut två gånger på samma enhet identifieras varje FREE-rad med den lexikografiska rangen för dess huvudnummer bland alla $\binom{N}{k}$ kombinationer och jämförs med de senaste 20 000 rader som utfärdats för lotteriet; en upprepad rang ändras genom slumpmässiga byten, och som sista utväg tas nästa oanvända rang från en slumpmässig affin permutation av alla ranger. En rad som ändrats på detta sätt kontrolleras inte mot filtren igen.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Lexikografisk rang för en kombination och den affina vandringen med full period över alla ranger.

FREE- och PRO-körvägar

Väg	Metoder	Var den körs	Rader per körning	Historik
FREE	Heta nummer, Kombinerad, Segmenttäckning, Rent slumpmässigt	webbläsaren	upp till 5 (upp till 50 för PRO-användare)	FREE-fönstret med de senaste dragningarna
PRO	de tolv övriga metoderna	servern	upp till 50	det valda analysfönstret, minst 5 dragningar

Heta nummer

FREEI webbläsaren

Syfte: gynna de nummer som förekommit oftast i analysfönstret.

w_n = c_n + 0.05

Vikten för numret n; med färre än 5 dragningar är alla vikter lika med 1.

Fördjupning

Kombinerad

FREEI webbläsaren

Syfte: blanda heta, medelfrekventa och kalla nummer i en fast proportion.

Numren sorteras efter $c_n$ (vid lika antal kommer det mindre numret först) och delas i tredjedelar av storleken $\lceil N/3 \rceil$ : heta, mellersta, kalla. Rad $i$ gör likformiga val ur varje tredjedel:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Rad i tar h heta, mᵢ mellersta och cᵢ kalla nummer; udda och jämna rader byter andelarna för mellersta och kalla.

Fördjupning

Segmenttäckning

FREEI webbläsaren

Syfte: sprida en rad jämnt över nummerintervallet.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Ett likformigt valt nummer ur vart och ett av k på varandra följande segment; det sista segmentet tar resten.

Fördjupning

Rent slumpmässigt

FREEI webbläsaren

Syfte: den ärliga referensen — varje nummer är lika sannolikt.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

En kryptografisk Fisher–Yates-blandning ger varje kombination samma sannolikhet före filtreringen.

Fördjupning

Hjulmatris

PROServer

Syfte: bygga flera rader som tillsammans täcker så många par som möjligt ur en liten nummermängd — en girig täckningsdesign.

Mängden har $\min(N, k+5)$ nummer som tas växelvis från den heta, den kalla och den mellersta tredjedelen. Alla $\binom{|P|}{k}$ kombinationer av mängden är kandidater (över 40 000 används ett slumpmässigt urval); varje steg lägger till kandidaten med bäst poäng och markerar dess par som täckta:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Poäng för girig partäckning; lika poäng avgörs likformigt slumpmässigt.

Fördjupning

där

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: paren i kandidatraden $R$ och de par som redan täcks av de valda raderna
$u_n$: hur många redan valda rader som innehåller numret $n$
$[\,\cdot\,]$: är 1 om villkoret är uppfyllt, annars 0

Världshet och Världskombinerad

PROServer

Syfte: överföra frekvensprofilen från alla nio lotterier som stöds till det aktuella.

Varje draget nummer $x$ i varje lotteri $g$ avbildas på sin relativa position $q = (x-1)/(N_g - 1)$ och sprids med en smal gaussisk kärna ut över numren i det aktuella lotteriet; varje lotteri får samma vikt per dragning, och det aktuella lotteriets egen frekvens läggs till ytterligare en gång ovanpå:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Världspoängen för numret n; X_g är alla huvudnummer som dragits i lotteriet g (upp till 400 senaste dragningar enligt nuvarande regler, D_g dragningar).

Fördjupning

Världshet: $k$ likformiga val bland de $\max(3k, 12)$ nummer som har högst poäng.
Världskombinerad: $\lceil 0.45k \rceil$ ur den översta tredjedelen, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ ur den nedersta, resten ur mitten. Bonusnumren är likformiga.

Markov-kedjor

PROServer

Syfte: vikta numren efter hur ofta de följt på numren i föregående dragning.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplace-utjämnad övergångssannolikhet av första ordningen, medelvärdesbildad över den senaste dragningen L.

Fördjupning

där

$T(a \to b)$: hur ofta numret $b$ förekom i dragningen direkt efter en dragning som innehöll $a$
$L$: huvudnumren i den senaste dragningen

Gauss · centrala gränsvärdessatsen

PROServer

Syfte: bygga rader vars summa är typisk. Summan av $k$ nummer dragna utan återläggning har

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Väntevärde och varians för radsumman vid dragning utan återläggning (ersätts av de empiriska värdena när minst 5 summor finns).

Fördjupning

Varje nummer viktas med en gaussisk kurva kring medelvärdet per position, och upp till 40 kandidatrader dras; den vars summa ligger närmast $\mu$ vinner (sökningen avbryts i förtid inom $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Vikten per nummer i Gauss-metoden.

Intervallmodell Δ

PROServer

Syfte: efterlikna avstånden mellan intilliggande nummer i verkliga dragningar.

Ur de senaste 120 dragningarna samlar metoden det minsta numret i varje dragning och alla differenser mellan intilliggande sorterade nummer. En rad byggs som en slumpmässig start plus slumpmässiga differenser; en rad som går förbi $N$ förkastas (upp till 300 försök, därefter en likformig rad):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empirisk bootstrap av första nummer och avstånd; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) är dragningen t sorterad.

Fördjupning

Bayes · Dirichlet

PROServer

Syfte: frekvens med krympning mot likformighet.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Posteriorväntevärdet för en symmetrisk Dirichlet(α)-prior uppdaterad med de observerade antalen; metoden drar med vikterna c_n + 3.

Fördjupning

Gapanalys

PROServer

Syfte: gynna nummer som inte har förekommit på länge.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n är indexet för den senaste dragning som innehåller n (0 = den senaste dragningen); ett nummer som aldrig setts får D + ḡ.

Fördjupning

Fysisk modell av trumman

PROServer

Syfte: låta en förenklad 2D-simulering avgöra i vilken ordning numren kommer ut.

$N$ skivor med radien $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ rör sig i en enhetskvadrat med slumpmässiga luftstötar, en konstant drift mot utloppet, dämpning och elastiska kollisioner mellan lika massor; en skiva som lämnar genom utloppet mitt i bottenväggen räknas som dragen.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Ett steg i 2D-modellen (y pekar nedåt, mot utloppet; högst 2400 steg). En skiva går ut när 0.43 < x < 0.57 vid bottenväggen; om färre än k skivor går ut fylls raden på likformigt.

Fördjupning

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Elastisk kollision mellan lika massor: hastighetskomponenterna längs normalen byter plats.

Kaos · logistisk avbildning

PROServer

Syfte: visa att ett helt deterministiskt system kan vara oförutsägbart.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Efter 100 uppvärmningsiterationer från ett slumpmässigt seed samlas värden tills k olika nummer har hittats.

Fördjupning

Kvantkollaps

PROServerExperimentell

Syfte: en motströmsvikt som gynnar sällan dragna nummer.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Vikt med ”frekvensbarriär”; slumptalen kommer från en buffert med 16-bitars kryptografiska värden.

Fördjupning

System av paradoxer

PROServerExperimentell

Syfte: forskningsrader byggda på kontraintuitiva egenskaper hos slumpmässiga kombinationer. Fem arketyper används i tur och ordning:

Folkmassan: föredrar nummer över 31 i mängder med minst 42 nummer (födelsedagar slutar på 31), vikt 2.6 över gränsen och 0.28 under, ×1.1 för multiplar av 10, och tvingar sedan fram minst $\lceil 0.6k \rceil$ nummer över gränsen. Färre spelar sådana nummer, så en vinst skulle delas med färre — vinstchansen är oförändrad.
Krock: halva raden ur de mest frekventa numren, resten ur dem som varit borta längst.
Kluster: innehåller ett par på varandra följande nummer — en egenskap som är långt vanligare i slumpmässiga dragningar än intuitionen säger:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot cirka 35%, Lotto 7/34 cirka 78%.

Fördjupning

Spegel: parar $n$ med $N + 1 - n$ .
Regression: de nummer vars senaste frekvens (de 10 senaste dragningarna) skiljer sig mest från deras långsiktiga frekvens.

3. Den matematiska domstolen

Domstolen granskar en kombination du redan har. Jurymedlemmar och modeller kan föreslå att ett nummer byts ut; försvarare argumenterar för eller emot varje förslag; överdomaren dömer utifrån ett strukturellt fält av tidigare dragningar. Numren ändras bara när du bestämmer det — och varje steg registreras.

Urval av de tolv jurymedlemmarna kring domstolens emblem — Juryn: tolv personor, var och en med sin egen matematiska strategi

Ett ärendes gång

Förslag. En jurymedlem eller en modell går igenom alla möjliga enskilda byten i raden och föreslår högst ett byte — eller föreslår att raden behålls.
Försvar. Försvararna tar ställning till varje förslag: stöd, invändning eller protest. En försvarare föreslår eller tillämpar aldrig något nummer.
Domslut. Överdomaren godtar förslaget, erbjuder ett alternativ eller behåller numret, med hjälp av det strukturella fältet av tidigare dragningar.
Beslut. Bara du ändrar nummer: godta ett förslag, följ försvaret, godta domaren, behåll originalet eller ångra. Varje beslut sparas tillsammans med vem som fattade det.

Från en modell till en preferens per nummer

Varje modell reduceras till en relativ preferens $\operatorname{rel}(n)$ för varje nummer, där 1 betyder ”modellens genomsnitt”, tillsammans med ett standardfel. Modeller som definieras av en explicit viktvektor är exakta; de övriga mäts genom att köras:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Exakt relativ preferens för Heta nummer, Markov, Gauss, Bayes, Gapanalys, Kvantkollaps, Kvant-astral och Strukturellt fält.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Monte Carlo-preferens för procedurella modeller: X₁ … X_R är R = 600 seedade rader från modellen (120 för den fysiska modellen). Konsensus medelvärdesbildar i stället tre körningar (se dess kort).

De nitton modellerna

Domstolen använder de sexton generatormetoderna i avsnitt 2 plus tre domstolsmodeller. Fyra av dem använder ingen historik och är registrerade som modeller utan nummerpreferens (Segmenttäckning, Rent slumpmässigt, Fysisk modell, Kaos); i praktiken gynnar Segmenttäckning numren i korta segment när $k$ inte delar $N$ , och Kaos gynnar intervallets kanter, vilket deras kort visar. Två modeller är sammansatta (Konsensus och Strukturellt fält).

Modell	Typ	Grund
Heta nummer	vikter	$c_n + 0.05$
Kombinerad	samplad	heta / mellersta / kalla tredjedelar
Segmenttäckning	samplad, ingen historik	ett nummer per segment
Rent slumpmässigt	samplad, likformig	Fisher–Yates-blandning
Markov-kedjor	vikter	utjämnade övergångar från senaste dragningen
Gauss · centrala gränsvärdessatsen	vikter	gaussisk kurva kring $\mu/k$
Intervallmodell Δ	samplad	bootstrap av avstånd
Bayes · Dirichlet	vikter	$c_n + 3$
Gapanalys	vikter	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Fysisk modell	samplad, ingen historik	2D-simulering av skivor
Kaos	samplad, ingen historik	logistisk avbildning, gynnar kanterna
Kvantkollaps	vikter, experimentell	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
System av paradoxer	samplad, experimentell	fem arketyper
Kvant-astral	vikter, experimentell	månens tecken och belysningsgrad
Hjulmatris	samplad	design för partäckning
Världshet	samplad	kärnprofil över flera lotterier
Världskombinerad	samplad	kärnprofil över flera lotterier
Modellkonsensus	ensemble	14 medlemsmodeller
Strukturellt fält	sammansatt	sex beskrivande komponenter

Strukturellt fält

Server

Fältet är överdomarens mått: en handviktad sammansättning av sex beskrivande komponenter. Frekvenser, konnektivitet och partäckning divideras med sitt maximum över alla nummer; tiden sedan senaste förekomst och typiskheten ligger redan i $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Det strukturella fältets poäng för numret n, från 0 till 100.

Fördjupning

där

$A_n,\ S_n$: frekvens i hela fönstret och i de senaste $\max(3, \min(10, D))$ dragningarna
$G_n$: tid sedan senaste förekomst, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: summan av parlyften $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ över alla partner $m$ , där $O_{nm}$ är antalet dragningar som innehåller båda
$T_n$: genomsnittlig strukturell typiskhet för dragningarna som innehåller $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , där $e$ är andelen jämna nummer och $z_S$ den standardiserade summan
$P_n$: partäckning, det totala antalet parobservationer som involverar $n$

Modellkonsensus

Server

Fjorton medlemsmodeller i tolv familjer producerar 10 rader var; ett nummer får poäng efter hur många modeller och familjer som valde det, hur ofta och hur jämnt:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensuspoäng; domstolen medelvärdesbildar tre oberoende körningar och använder deras spridning som standardfel.

Fördjupning

där

$M_n,\ F_n$: antalet medlemsmodeller och modellfamiljer vars rader innehåller $n$
$f_n$: totalt antal rader som innehåller $n$
$\operatorname{stab}_n$: genomsnittligt antal förekomster per medlemsmodell som valde $n$ , dividerat med 10

Kvant-astral modell

ServerExperimentell

En underhållningsmodell som viktar numren efter månen på måldragningens datum, plus en liten andel av det strukturella fältet:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kvant-astral vikt; σ ∈ {0,…,11} är månens stjärntecken enligt dess ekliptiska longitud på måldragningens datum, I belysningsgraden i procent.

Fördjupning

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Månens belysningsgrad i procent utifrån åldern A i den synodiska månaden med längden P (dagar).

Hur en modell granskar en rad

För varje möjligt byte $a \to b$ — numret $a$ lämnar raden, numret $b$ kommer in — beräknar modellen vinsten och dess brus. En vinst räknas bara om den är statistiskt tydlig; en förlust räknas alltid.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modellgranskning. Exakta viktmodeller har SE = 0, så deras vinster räknas alltid; bytet kvalificerar sig när effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Standardfelet för ett byte i en samplad modell: den poolade andelen under hypotesen att a och b är lika sannolika. För Konsensus är SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) över dess tre körningar; exakta viktmodeller har SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Bonferroni-korrigerad tröskel över alla k(N−k) möjliga byten; Eurojackpot: 3.43.

Bas- $z$	Eurojackpot, 225 byten	Lotto 7/34, 189 byten
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

De tolv jurymedlemmarna

Varje jurymedlem har en strategi, egna källor (modeller eller historiksignaler), en minsta effekt och en signifikansnivå. En jurymedlems utslag om en rad är antingen ”behåll” eller exakt ett byte; jurymedlemmar invänder inte och protesterar inte — det är försvarets roll.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Numerisk vinst för ett byte utifrån jurymedlemmens viktade källor; λ = D/(D+40) för Eva Lind, annars 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Effektivt värde för ett byte. Det bästa kvalificerande bytet vinner (vid lika: mindre nytt nummer, sedan tidigare position); om inget kvalificerar sig behåller jurymedlemmen raden.

där

$\omega_m$: vikten för källan $m$ i jurymedlemmens definition
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , med $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: jurymedlemmens signifikansnivå korrigerad för $k(N-k)$ byten, som i tabellen ovan
$\Delta \ell_c$: ändringen av log-likelihooden för den strukturella komponenten $c$ (nats)
$\Delta \Gamma$: ändringen av kupongens täckningspoäng

Signaler beräknade ur historiken

Tre jurymedlemmar använder signaler som läses direkt ur dragningarna snarare än ur en generator. Med $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Frekvenstest. Vid rättvisa dragningar gäller Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1) eftersom numren i en dragning är negativt korrelerade; division med det förväntade antalet Dp ger SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Replikering. Frekvens i K disjunkta fönster med s = ⌊D/K⌋ dragningar; fördelen måste överleva ett avdrag på ett standardfel.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomali. Absolut avvikelse från det förväntade antalet; √(1−2/π) är standardavvikelsen för |Z| när Z är standardnormalfördelad.

Struktur och täckning

Strukturella komponenter jämför en rad med profilen för tidigare dragningar: paritet, låga/höga, kluster och avstånd är kategoriska med Laplace-utjämning; summa och spridning är gaussiska.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-likelihooder: ℓ₁ kategorisk (paritet, låga/höga, kluster; J kategorier, n_j tidigare dragningar i kategori j), ℓ₂ gaussisk (summa, spridning), ℓ₃ avstånd mellan intilliggande nummer.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Kupongtäckning: 𝒫′ är mängden par i kupongens övriga rader; den andra termen räknar de tiotal i nummerfältet som raden berör.

Eva Lind · Skarpskytt

Strategi: långsiktig frekvens med bayesiansk krympning. Källor: Bayes 0.8 + Heta nummer 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; inget signifikanstest (exakta vikter).

Regel: det bästa bytet är alltid radens minst frekventa nummer → det mest frekventa numret utanför raden; det kvalificerar sig när $\Delta \ge 0.12$ .

Fördjupning

Maya Chen · Formarkitekt

Strategi: radens form. Källor: Gauss 0.5 + Kombinerad 0.5; strukturvikt 2 för paritet, låga/höga, summa, spridning och kluster; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regel: strukturtermen räknas alltid, så ett byte som för raden närmare den typiska formen hos tidigare dragningar kan kvalificera sig enbart på strukturen.

Fördjupning

Clara Moretti · Anomalijägare

Strategi: anomalier åt båda hållen. Källa: anomalisignalen; avståndsstruktur 0.4 som bara räknas för ett signifikant byte; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

För anomalisignalen tar medelvärdet ut sig självt: bara skillnaden mellan de absoluta avvikelserna spelar roll.

Fördjupning

Leila Haddad · Global observatör

Strategi: världsprofilen. Källor: Världshet 0.5 + Världskombinerad 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; kräver data från de andra lotterierna.

Fördjupning

Freya Olsen · Täckningsingenjör

Strategi: kupongtäckning utan nummerpreferens. Inga källor; täckningsvikt 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Fördjupning

Nora Blake · Sierska

Experimentell

Strategi: det underhållande astrosystemet för dragningsdatumet. Källa: Kvant-astral; $E_{\min} = 0.05$ ; kräver ett måldatum för dragningen.

Fördjupning

Derek Cole · Kedjemästare

Strategi: övergångar från den senaste dragningen. Källa: Markov-kedjor; avståndsstruktur 0.4, räknas alltid; $E_{\min} = 0.12$ . Eftersom Markov-vikterna summerar till ett gäller $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Fördjupning

Marcus Reed · Larmsignal

Strategi: den längsta frånvaron. Källor: Gapanalys 0.8 + Heta nummer 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; inget signifikanstest.

Fördjupning

Victor Moreau · Lottomaskinens fysiker

Strategi: en fysisk skevhet i trumman skulle upprepas i varje period. Källa: replikering; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Brusgolvet hindrar fyra turliga fönster från att se signifikanta ut.

Fördjupning

Noah Bennett · Vaksam skeptiker

Strategi: förkasta ren slump på den strängaste nivån. Källa: frekvenstest; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Sluten form för Noahs teststatistika.

Fördjupning

Elias Berg · Trollkarl mot strömmen

Experimentell

Strategi: mot strömmen — ovanligare nummer. Källor: Kvantkollaps 0.85 + System av paradoxer 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Fördjupning

Leo Fischer · Konsensusdirigent

Strategi: stabiliteten i modellkonsensus. Källa: Konsensus (tre oberoende körningar); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Fördjupning

Jurygenerering

När juryn genererar en rad i stället för att granska en drar varje jurymedlem 40 kandidatrader ur sina egna vikter $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ och behåller den bästa enligt

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

En jurymedlems röstsedel. Juryns rad tar de k nummer som fått flest röster; vid lika avgör det högre normaliserade stödet, därefter det mindre numret.

De sex försvararna

Försvararna bedömer ett föreslaget byte $n_c \to n_p$ — det nuvarande numret och det föreslagna, dragna $x_c$ respektive $x_p$ gånger på $D$ dragningar — med sina egna signaler. Positiva värden talar för förslaget:

Signal	Definition
frekvens	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
posterior	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, fält, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktur	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilitet	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ över sex på varandra följande perioder

Posteriorsannolikheten beräknas exakt, utan normalapproximation:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Sluten form för betaposteriorer med heltalsparametrar; betafunktionen använder en Lanczos-approximation av log-gammafunktionen.

Beslutsregel för bytet, där $\bar z$ är det viktade medelvärdet av försvararens signaler:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Försvararens ståndpunkt ψ: S stöd, P protest, O invändning. χ = 1 när försvararens kontroller går igenom: för stöd — enighet mellan signalerna, överensstämmelse med en andra signal och det strukturella vetot; för protest — endast enighet och överensstämmelse.

Thomas Keller · Förordnad försvarare

FREE

Signaler: frekvens + Bayes + strukturellt fält, alla måste vara eniga; stöd vid 1, protest vid −1; kräver 20 dragningar och arbetar med 5 till 19 dragningar i ett begränsat läge med Bayes + posterior.

Fördjupning

Elena Rossi · Statistisk jurist

Signal: frekvens, korrigerad för multipla jämförelser; strukturellt veto vid −1; stöd och protest vid 1.96; minst 30 dragningar.

Fördjupning

Amelia Grant · Mot falsk säkerhet

Signal: posteriorsannolikheten för överlägsenhet; stöd vid $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protest vid $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); minst 10 dragningar.

Fördjupning

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Ståndpunkt
30	1	7	0.987	stöd
30	4	3	0.354	invändning
30	5	2	0.128	protest
100	6	16	0.987	stöd

Julien Morel · Strukturjurist

Signal: total förändring av de sex strukturella log-likelihooderna; stöd vid 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protest vid 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); minst 20 dragningar.

Fördjupning

Ingrid Falk · Stabilitet över tid

Signal: vinster minus förluster för det föreslagna numret över sex på varandra följande perioder; måste stämma överens med den totala frekvensen; tröskel 1.5, alltså minst $W - L \ge 4$ ; minst 30 dragningar.

Fördjupning

Adrian Vega · Underhållningsastrologi

Experimentell

Signal: de kvant-astrala vikterna för måldragningens datum; stöd och protest vid 0.5.

Fördjupning

Överdomaren

Domaren avgör ett omtvistat nummer med hjälp av det strukturella fältet $F$ , normaliserat till sitt maximum: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Ett nummer är svagt om det ligger bland de lägsta 35% i fältet.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ är en ordningsstatistika för fältvärdena sorterade i stigande ordning; det nuvarande numret är svagt när φ(n_c) < θ. Marginalen m gäller när mer än hälften av de försvarare som tagit ställning protesterar.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Domslutet V är det nummer som domaren behåller på positionen; den första matchande raden gäller. a* är numret med högst fältvärde utanför raden och skilt från förslaget.

Överdomarens analys och rekommendation

För hela rader redovisar domaren en radpoäng och föreslår att upp till $\lfloor k/2 \rfloor$ av de svagaste numren under $\theta$ byts mot de starkaste numren utanför raden. Du väljer vilka byten som ska tillämpas. Utan rader ger domaren en rekommendation: likformigt slumpmässiga utkast förbättras på samma sätt och returneras med sin härkomst.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Radpoäng i överdomarens analys.

Beslut, batcher och historik

Beslut: godta förslaget, godta försvaret, godta domaren, behåll originalet, ångra. Numren ändras bara när du godtar ett förslag, godtar ett domslut som byter ut numret eller ångrar; varje ändring är en transformation i härkomstposten.
Massbeslut: högst ett byte per nummer. ”Godta alla majoritetsbyten” tillämpar bara alternativ som valts av mer än hälften av de valda jurymedlemmarna; ”Tillämpa alla förslag” tar för varje nummer majoritetsalternativet eller annars det med flest röster, och hoppar över lägen med lika många röster.
Batcher: en granskning av upp till 50 rader med samma uppsättning personor räknas som ett försök; redan analyserade rader hoppas över och en avbruten batch återupptas med samma plan.
Historik: händelsetyperna är jurygranskning, modellgranskning, förslag, försvarsgranskning, domargranskning, beslut och transformation; loggen sparar upp till 200 händelser och tar aldrig bort en transformation eller de senaste granskningarna.

Att ställa domstolen till svars

Varje påstående skrivs till prognosregistret före sin dragning och poängsätts efteråt mot slumpen. För påståenden om $n_i$ nummer med grundchansen $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H är antalet träffar. En källa rankas bara med minst 30 nummer över minst 3 dragningar.

4. 3D-trumman: fysikmotorn

3D-dragningen är en stelkroppssimulering i realtid: bollarna är kroppar med massa, tröghet, friktion och studs, som påverkas av gravitationen, en omrörande rotor och ett luftfält, och den dragna bollen är den som fysiskt faller genom utloppet. Det är en trovärdig fysisk modell av en trumma, inte en inspelning av en verklig maskin.

SuperEnalotto-trumman med 90 bollar som blandas medan en boll väljs ut — 90 SuperEnalotto-bollar i den simulerade kammaren

Motor och koordinater

Fysiken körs i Rapier 3D (version 0.14, WebAssembly); renderingen använder Three.js (r169). Världen är högerorienterad med $+y$ uppåt och origo i kammarens mitt; rotoraxeln är den horisontella $x$ -axeln och $+z$ pekar mot betraktaren.

Kammare: en sfär med radien $R = 3.0$ enheter, byggd som ett triangelnät med inåtriktade normaler och ett cirkulärt utlopp i botten (halv öppningsvinkel $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Bollar: sfärer med radien $r = 0.2$ och densiteten 1; en boll per nummer, från 5 till 90 bollar.
Rotor: en kinematisk axel med sex armar vars kapselformade paddlar är dimensionerade att stanna 0.14 enheter från glaset i sitt rotationsplan, plus en mindre trearmad rotor vars riktning växlar mellan blandningsfaserna.
Lucka: en cylindrisk propp i utloppet som tas bort när en boll får lämna kammaren.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Massa, tröghetsmoment och tyngd för en boll i modellenheter.

Skala och Froude-likformighet

En modellenhet är 10 cm: en boll på 40 mm är 0.4 enheter och kammaren är en sfär på 600 mm. Gravitationen är sänkt till $30$ enheter/s² i stället för de verkliga $98.1$ . Rörelse som domineras av gravitation och tröghet ser likadan ut när Froudetalet är detsamma, så simuleringen motsvarar en maskin i verklig storlek med en långsammare klocka:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Primmade storheter hör till modellen. Lika Froudetal vid lika längd: hastigheter skalar med √γ och tider med 1/√γ.

Krafter

Varje boll följer Newtons andra lag med de krafter som koden faktiskt tillämpar:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D luftmotstånd, F_W analytisk vägg, F_S sug vid utloppet, F_C kontakter med bollar, rotor och lucka (beräknas av Rapier); τ motsvarande vridmoment. Rapier tillämpar också en liten linjär dämpning och rotationsdämpning, och hastigheterna begränsas till 22 enheter/s och 105 rad/s som säkerhetsnät.

Luftfält och kvadratiskt luftmotstånd

Fläkten modelleras som ett föreskrivet lufthastighetsfält $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; varje boll känner ett kvadratiskt luftmotstånd mot den lokala lufthastigheten. Motståndskonstanten bestäms av en gränshastighet på 48 enheter/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

I stillastående luft når en fallande boll v_t = √(g/k_d) = 48 enheter/s, cirka 8.7 m/s i verklig skala.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Central uppvind: starkast på axeln nära botten (102 vid y = −3, 68 i mitten, 34 i toppen); ρ_h är det horisontella avståndet från axeln.

Virvel: en horisontell rotation på 11 enheter/s kring den vertikala axeln.
Inåtflöde: bortom 60% av radien upp till $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ mot mitten, så att bollarna fortsätter cirkulera i stället för att klistra sig mot glaset.
Turbulens: jämnt tredimensionellt värdebrus med amplituden 58 som driver i tiden; det är en fast deterministisk funktion, inte en slumptalsgenerator.
Byar mot stillastående: en boll som stannar för länge i botten, i toppen, vid väggen eller nästan orörlig får en lokal vindby tillagd till lufthastigheten, som fortfarande verkar via luftmotståndet.

Analytisk sfärisk vägg

Utöver nätet upprätthålls glaset som en exakt sfär på hastighetsnivå, vilket förhindrar tunnling och ger korrekt rullning. Med den utåtriktade normalen $\hat{\mathbf n}$ , den utåtriktade hastigheten $v_n$ och inträngningen $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulativ kontaktmarginal v* och studskoefficient e (e_b är bollens studskoefficient; noll under glapphastigheten så att en boll i vila inte kan vibrera).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normalrespons, tillämpas bara om v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Coulombfriktion i kontaktpunkten; s är den tangentiella glidhastigheten v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35) med μ_b bollens friktion.

Kontakter mellan kroppar

Kontakterna boll–boll, boll–rotor och boll–lucka löses av Rapiers bivillkorslösare med kontinuerlig kollisionsdetektering för bollarna. Koefficienterna kombineras genom medelvärdesbildning:

Par	Friktion	Studskoefficient
boll – boll	0.16	0.55
boll – glas	0.255	0.415
boll – paddel	0.19	0.525
boll – arm eller axel	0.17	0.35
boll – lucka	0.23	0.375

Dämpningen är liten under dragningen (linjär 0.05, rotation 0.035) och stark medan bollarna lägger sig till rätta (2.4). Det finns ingen parameter för rullmotstånd: rullningen bromsas bara av dämpning och kontaktfriktion.

Tidssteg och integration

Simuleringen går framåt i fasta steg oberoende av skärmens uppdateringsfrekvens; varje bildruta kör så många fasta steg som realtiden kräver, högst fem:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Ackumulator för fasta steg: en bildruta med längden Δt_f kör n fasta steg (högst 5); varje steg delas i 2 Rapier-delsteg på h = 1/120 s med 6 lösariterationer.

Inom ett delsteg uppdaterar motorn hastigheterna utifrån krafterna och därefter positionerna utifrån de nya hastigheterna — det semi-implicita (symplektiska) Euler-schemat som impulsbaserade motorer använder, här visat som allmän princip:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Allmän form: F är de pålagda krafterna, F_c de bivillkors- (kontakt-)krafter som Rapiers iterativa lösare hittar.

Applikationens egna krafter (luft, vägg, sug) beräknas en gång per steg från tillståndet i stegets början och hålls konstanta över båda delstegen. Rotorn är kinematisk och får ett nytt mål i varje delsteg:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Exponentiellt närmande av rotorhastigheten mot målvärdet; blandningen cyklar genom 2.4, 2.9, 2.1 och 2.7 rad/s.

Så väljs en boll

Efter 1 s uppstart och 2.6 s blandning öppnas luckan. Medan utloppet är öppet avtar uppvinden ovanför det mjukt, den centrala strålen minskas till 62% och ett sug på cirka 2.2 bolltyngder (cirka 4 efter 5 s) drar bollar nära utloppet:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Sug nära utloppet (y < −1.6 och horisontellt avstånd < 0.6); t_c är tiden sedan luckan öppnades.

Den dragna bollen är den första vars centrum faller under $y = -3.18$ ; om flera gör det i samma steg, den lägsta. Inget slumptal används i det ögonblicket. En dragnings slump utgörs av bollarnas startplacering och en liten initial hastighet och rotation, hämtade från Web Crypto API (på nytt när en separat bonusmängd laddas). Bollen färdas sedan längs utgångsbanan till bollhyllan; den rörelsen är skriptad, inte simulerad.

Rendering, simulering och slump

Simulering: fasta steg på 1/60 s; kvalitetsnivåerna (ultra, hög, medium, låg) ändrar bara skuggor, bloom, upplösning och nätens detaljnivå, aldrig fysiken.
Rendering: varje bildruta visar det senast slutförda steget; det finns ingen interpolation mellan stegen.
Slump: krafterna är deterministiska; utfallet beror på startplaceringen och, från den andra bollen och framåt, även på hur lång tid visningen av föregående boll tar på enheten, så en dragning kan inte spelas upp exakt igen.

5. Statistik över verkliga dragningar

Analysvyerna beskriver historiska dragningar. De svarar på ”vad hände” och ”stämmer detta med ett rättvist lotteri”, aldrig på ”vad kommer att hända”.

Frekvenser, heta och kalla

För varje nummer räknar appen förekomsterna i fönstret och visar dem bredvid det förväntade antalet i ett rättvist lotteri; standardavvikelsen anges här som referens:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Förväntat antal (visas i appen) och dess standardavvikelse (referens) för ett nummer över D oberoende dragningar.

Heta och kalla: de fem mest och minst frekventa numren, vart och ett med sitt förväntade antal (minst 5 dragningar krävs).
Frekvensstaplar: röda när ett nummers andel överstiger 1.3 gånger den förväntade andelen, blå under 0.7 gånger.
Värmekarta: färg enligt min–max-normalisering $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Eurojackpots värmekarta över de 50 huvudnumren, färgade från blått till rött — Värmekarta: färgen visar bara tidigare frekvens

Rättvisetest: χ² med korrektion

χ²-testet kontrollerar om antalen är förenliga med lika sannolikheter. I en dragning tas de $k$ numren utan återläggning, vilket gör antalen negativt korrelerade; den vanliga multinomiala statistikan blir då för liten, och appen korrigerar den:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pearsons statistika med korrektion för dragning utan återläggning; minst 10 dragningar krävs.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regulariserad övre ofullständig gammafunktion, beräknad med serieutveckling och kedjebråk.

p-värde	Bedömning
$p > 0.05$	ingen signifikant avvikelse
$0.01 < p \le 0.05$	avvikelse i gränszonen
$p \le 0.01$	statistiskt signifikant avvikelse

Positionellt Q-test

Med minst 30 fullständiga dragningar testar appen också medelvärdet för varje sorterad position (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). Det $i$ :te minsta av $k$ nummer dragna ur $1..N$ har väntevärde och kovarians

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ är vektorn av skillnader mellan de observerade positionsmedelvärdena och μ över m dragningar.

Par, jämförelser och kontroller

Par: en 12 × 12-matris över hur ofta de 12 mest frekventa numren förekommit tillsammans (minst 10 dragningar). Det är råa antal; som referens är det förväntade antalet för ett givet par vid rättvisa dragningar $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Jämförelse av lotterier: jackpottodds, pris och kostnaden för att köpa alla kombinationer.
Matematikkontroll: appen räknar om $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ och jämför med den lagrade konstanten, och kontrollerar dragningarna i analysfönstret med avseende på intervallfel, fel antal bollar och dubblerade datum.
Vinstklasser: officiella vinsttabeller per dragning. Dragningsbilden medelvärdesbildar de 60 senaste verkliga vinsttabellerna; endast för ett lotteri helt utan vinstdata uppskattar den antalet vinnare utifrån vinstklassernas sannolikheter i avsnitt 8 och en antagen försäljningsvolym, så de siffrorna är illustrativa.

Att simulera ett helt liv av spel

50-årssimuleringen använder sannolikheten för minst en jackpott på $T$ oberoende rader:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Sannolikheten för minst en jackpott på T rader; C är antalet jackpottkombinationer, d dragningar per vecka, r rader per dragning.

6. Kalenderanalys

Kalenderanalysen letar efter sammanträffanden mellan dragningsdatum och dragna nummer — till exempel att dagen i månaden finns bland bollarna — och jämför varje observerad andel med den andel som ren slump skulle ge.

Urval av dragningar

Dragningar kan filtreras efter år, månad, samma månad över alla år eller ett datumintervall, samt efter regelera. Frekvenslistor (heta, kalla, längst frånvarande) använder råa antal i urvalet; ett nummer som är omöjligt i varje vald era utelämnas, och ett urval som blandar eror flaggas med en varning, eftersom ett nummer som bara är giltigt i den nyare eran ser falskt ”kallt” ut. Datumreglerna nedan tar hänsyn till eran: en dragning räknas för en regel bara om minst en kandidat är ett giltigt nummer enligt den dragningens egna regler.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Observerad andel för en datumregel: C_t är kandidatnumren för dragningen t, X_t dess dragna nummer, Ω_t de giltiga numren enligt dess regler; ℰ är de kvalificerade dragningarna.

Tio datumregler

Regel	Kandidatnummer för en dragning den DD.MM.YYYY
dag	DD
månad	MM
år	YYYY mod 100
timme	dragningens timme, där operatören publicerar den
årtalets siffror	de olika siffrorna i YYYY
årtalets siffersumma	summan av siffrorna i YYYY
tvåsiffrig årssumma	summan av siffrorna i YYYY mod 100
dagens siffersumma	summan av siffrorna i DD
datumets siffersumma	summan av alla siffror i DD, MM och YYYY
digitalrot	datumets siffersumma reducerad till en siffra

En kandidat som är 0 ignoreras, och en dragning räknas en gång för en regel även när flera av dess nummer matchar.

Slumpmässig förväntan

För en dragning av $k$ nummer ur $S$ möjliga värden och en mängd med $m$ kandidatnummer är sannolikheten att ingen kandidat dras hypergeometrisk:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: ingen kandidat dras; P≥1: minst en dras. Kandidater utanför intervallet för dragningens era förkastas.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Förväntad träffandel r̂ över de kvalificerade dragningarna ℰ, var och en med sin egen era; P^M och P^B för huvud- och bonusmängden kombineras som oberoende.

Kalenderträffar med observerade andelar bredvid den slumpmässiga förväntan — Kalenderträffar jämförda med slumpen

Att tolka andelarna

Par listas från 30 dragningar och tripletter från 120 (endast kombinationer som setts minst två gånger, de tio vanligaste); under 100 dragningar visas en varning om litet urval. Med 100 dragningar har en andel nära 20% fortfarande ett 95%-intervall på cirka $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ procentenheter.

7. Historiskt arkiv och regeleror

Lotterier ändrar sina regler. En dragning är meningsfull bara tillsammans med de regler som gällde på dess datum, så varje lagrad dragning bär sin regelversion.

Regeleror

Lotteri	Eror (huvud · bonus)
Lotto (Norge)	7/34 + 3 tilläggsnummer → 7/34 + 1 tilläggsnummer (från 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + tilläggsnummer och lyckonummer → Viking-nummer 1–8 (2017) → 1–5 (från 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (från 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (från 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (från 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (från 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly sedan 1997; SuperStar är en separat trumma och ingår inte i modellerna
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (från 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (från 19.04.2018)

Kompatibilitetsregel

Modeller och analyser använder bara dragningar som är jämförbara med dagens regler. Två eror jämförs grupp för grupp:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Eran e är jämförbar för huvudnummer när antal och intervall stämmer överens (vänster), och för bonusnummer när varje bonusgrupp 𝓑 stämmer överens (höger). En dragning med jämförbara huvudnummer men andra bonusregler behåller sina huvudnummer och släpper sina bonusnummer.

Eurojackpots historik med kortet för eran med nuvarande regler och dragningar märkta med sin regelversion — Arkivet märker varje dragning med dess regelera

8. Sannolikhet och begränsningar

Varje officiell dragning är ett oberoende slumpförsök. Ingen historik, modell, domstol eller simulering ändrar sannolikheten för någon kombination.

Sannolikhet för jackpott

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Jackpottsannolikheten för en rad enligt nuvarande regler (till höger: Eurojackpot); lotterier utan bonusnummer för spelaren använder bara den första faktorn.

Lotteri	Regler	Jackpottodds
Lotto (Norge)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Varje vinstklass

Att träffa exakt $i$ av de $k$ huvudnumren och $j$ av de $b$ bonusnumren är en produkt av två hypergeometriska sannolikheter:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

För en extra boll som dras ur samma trumma (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) är den andra faktorn (k−i)/(N−k) för ”+1”.

Vinstklass i Eurojackpot	Odds
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Varför ingen metod kan slå slumpen

Om dragningarna är oberoende och varje kombination är lika sannolik är den betingade sannolikheten för nästa dragning givet vilken historik som helst densamma som utan den, och det förväntade antalet rätta huvudnummer är detsamma för varje rad, oavsett hur den har tagits fram:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H är antalet rätta huvudnummer i en rad. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 per rad för varje metod.

Öppna Lotto Simulator