Wiskunde en technologie

De echte wiskunde, statistiek, algoritmen en natuurkunde achter Lotto Simulator – rechtstreeks uit de code die in de app draait.

Lotto Simulator openen

Leeswijzer

Elke formule hieronder komt uit de implementatie, niet uit een brochure. Waar een onderdeel een deterministische regel of een heuristiek is en geen formule, beschrijven we het algoritme precies zoals het draait en verzinnen we er geen wiskunde bij.

Lotto Simulator is een analytische, educatieve en simulatieomgeving. De app genereert combinaties met zestien methoden, laat ze beoordelen door een Wiskundige Rechtbank van twaalf juryleden, zes advocaten en een Opperrechter, toetst echte trekkingshistorieken op eerlijkheid, analyseert kalendersamenvallingen en speelt trekkingen af in een fysieke 3D-lottotrommel. Niets hiervan verandert de kans op welk getal dan ook in een officiële trekking – sectie 8 legt met concrete cijfers uit waarom.

Gebruikte notatie

waarbij

$N$: grootte van de pool van hoofdgetallen (bijvoorbeeld 50 bij Eurojackpot)
$k$: hoeveel hoofdgetallen er worden getrokken en gespeeld (5 bij Eurojackpot)
$B,\; b$: grootte van de aparte bonuspool en hoeveel bonusgetallen er worden gespeeld (12 en 2 bij Eurojackpot)
$D$: aantal eerdere trekkingen in het gekozen analysevenster
$c_n$: hoe vaak getal $n$ voorkwam onder de hoofdgetallen van die $D$ trekkingen
$t = 0, 1, \dots$: index van de trekking, nieuwste eerst: $t = 0$ is de laatste trekking
$\binom{n}{r}$: binomiaalcoëfficiënt, het aantal manieren om $r$ elementen uit $n$ te kiezen

1. Systeemarchitectuur

Eén applicatie, één codebase: dezelfde web-app draait in desktop- en mobiele browsers en, ongewijzigd, in de iOS- en Android-apps (Capacitor WebView). Zwaar en betaald rekenwerk gebeurt op de server; alles wat op het scherm verschijnt, wordt op het apparaat weergegeven.

Apparaat (web, iOS, Android)Interface, lot en werksets, de vier FREE-methoden van de generator, frequentiegrafieken, χ²-test, kalenderwiskunde, 3D-trommel. Puur willekeurig en de 3D-trommel halen hun toeval uit de Web Crypto API.
Edge-functies (TypeScript, Deno)De twaalf PRO-methoden van de generator, alle negentien modellen van de Rechtbank, de twaalf juryleden, zes advocaten, de Opperrechter, wielsystemen, het voorspellingsregister. De Rechtbank draait op geseede, reproduceerbare toevalsstromen.
Database (PostgreSQL)Officiële trekkingsuitslagen met hun regelversie, prijzentabellen, accounts en rechten, het alleen-aanvullen-voorspellingsregister en de evaluatie ervan.
DatapijplijnGeplande taken verzamelen officiële uitslagen, valideren elke trekking aan de regels van haar tijdperk en publiceren de dataset volgens de huidige regels.

Wie wat berekent

In de browser: de FREE-methoden (Populaire nummers, Gecombineerd, Segmentdekking, Puur willekeurig) en alle beschrijvende statistiek. De publieke build verwijdert de PRO-implementaties fysiek uit de client: hun functies worden vervangen door stubs, zodat een PRO-resultaat alleen van de server kan komen.
Op de server: elke PRO-methode, de hele Wiskundige Rechtbank en de Opperrechter. Een verzoek bevat de loterij, de methode, het aantal rijen (1–50) en het analysevenster; de server laadt de trekkingen zelf, zodat de client hem geen verzonnen historie kan voeren.
Fail-closed-regel: een servermodel heeft minstens 5 trekkingen in het gekozen analysevenster nodig. Met minder weigert het met een expliciet antwoord “onvoldoende historie” in plaats van rijen uit het niets te maken.

Reproduceerbare berekening in de Rechtbank

Elk jurylid, elke advocaat en elk model in de Rechtbank draait op een eigen pseudo-toevalsstroom, waarvan de seed een hash is van de algoritmeversie, de persona, de loterij, de volledige trekkingshistorie en de datum van de doeltrekking. Dezelfde gegevens leveren daarom altijd hetzelfde vonnis op, en elke wijziging in de historie verandert elke stroom.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Seed van een berekening in de Rechtbank en de stroom uniforme getallen die daaruit wordt getrokken.

waarbij

$v$: algoritmeversie van de Rechtbank-engine
$\kappa$: sleutel van de persona of het model, bijvoorbeeld de identificatie van een jurylid
$H$: elke trekking van het venster, hoofd- en bonusgetallen op volgorde
$g,\; d$: identificatie van de loterij en datum van de doeltrekking
$h_0$: de FNV-1a-offsetbasis; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ hasht de tekst $x$ vanaf toestand $h$
$u_i$: het $i$ -de uniforme toevalsgetal van de stroom

Opslag en herkomst

Elke combinatie draagt een herkomstrecord: haar bron (generatormethode, jurylid, juryconsensus, wielsysteem, 3D-trekking, Opperrechter, handmatige invoer), de getallen waarmee ze begon en een alleen-aanvullen-logboek van beoordelingen, voorstellen, standpunten van de verdediging, vonnissen, beslissingen en transformaties (hoogstens 200 gebeurtenissen). Een record wordt alleen geaccepteerd als het opnieuw toepassen van zijn transformaties op de begingetallen de rij exact reproduceert; anders wordt de rij getoond met een onbeschikbare bron.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Herkomstcontrole: de huidige rij R_m moet gelijk zijn aan de beginrij R_0 waarop elke vastgelegde vervanging τ₁ … τₘ op volgorde is toegepast.

Afstamming: wanneer een rij met de hand wordt bewerkt, ontstaat een nieuw record met het vorige als ouder (tot vier eerdere records blijven bewaard), zodat de historie vóór de handmatige wijziging zichtbaar blijft.
Voorspellingsregister: elke aanbeveling (een gegenereerde rij, de vervanging door een jurylid, het standpunt van een advocaat, een vonnis) wordt vóór de doeltrekking in een register vastgelegd en na de officiële uitslag automatisch geëvalueerd.

2. Hoofdgenerator: zestien methoden

De generator biedt zestien keuzes. Vier FREE-methoden draaien in de browser, twaalf PRO-methoden op de server. Ze kiezen allemaal $k$ verschillende getallen uit $1..N$ plus de bonusgetallen van de loterij; ze verschillen alleen in de manier waarop getallen worden gewogen of opgebouwd.

De Seriegenerator met het aantal, de analysemethode en de drie standaardfilters — Het generatorpaneel: methodekeuze en de standaardfilters

Gedeelde bouwstenen

Gewogen methoden kennen elk getal een gewicht $w_n \ge 0$ toe en trekken daarna één voor één zonder teruglegging: elke keuze verwijdert het getal en normaliseert de resterende gewichten opnieuw.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Sequentiële gewogen steekproef zonder teruglegging, gebruikt door elke methode op basis van gewichten.

waarbij

$x_j$: het $j$ -de getal dat voor de rij wordt gekozen, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: het gewicht van getal $n$ in de methode

Toeval: in de browser gebruiken Puur willekeurig en de uniciteitsstap de Web Crypto API, terwijl Populaire nummers, Gecombineerd en Segmentdekking de standaardgenerator van de browser gebruiken (Math.random). Op de server trekken de methoden uit cryptografisch toeval, behalve het Fysieke model (standaardgenerator) en de Chaos-seed, die cryptografisch toeval mengt met een timer met hoge resolutie. In de browser wordt een zuiver geheel getal in $0..M-1$ verkregen met de verwerpingsmethode (rejection sampling), zodat geen enkele rest wordt bevoordeeld:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Verwerpingsmethode: een cryptografische 32-bitswaarde x wordt opnieuw getrokken tot ze onder het grootste veelvoud van M ligt en wordt daarna modulo M gereduceerd.

Bonusgetallen

Bonusgetallen (Eurojackpot 2 uit 12, EuroMillions 2 uit 12, Powerball 1 uit 26, Mega Ball 1 uit 24, Vikinggetal 1 uit 5, Powerball AU 1 uit 20) worden uit een eigen pool getrokken, onafhankelijk van de hoofdgetallen. Lotto, SuperEnalotto en Lotto Max hebben geen bonusgetal voor de speler: hun extra bal wordt door de organisator uit de hoofdtrommel getrokken.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Gewicht w′ⱼ van bonusgetal j met bonusaantal c′ⱼ voor methode μ: freq = Populaire nummers; rnd, phys, chaos, world = Puur willekeurig, Fysiek model, Chaos, Wereld-methoden; alle andere methoden gebruiken c′ⱼ + 2. Met minder dan 5 trekkingen gebruikt elke methode gelijke gewichten.

FREE-filters en uniciteit

Rijen die in de browser worden gemaakt, gaan door drie filters die standaard aanstaan: niet alle getallen even of alle oneven; de som binnen een bereik; geen reeks van meer dan drie opeenvolgende getallen. Een afgewezen rij wordt vervangen door een uniform willekeurige rij die de filters doorstaat (de bonusgetallen ervan worden getrokken met de Bayes-gewichten $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Standaard sombereik. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, bereik 73–183.

Om op hetzelfde apparaat niet twee keer dezelfde combinatie uit te geven, wordt elke FREE-rij geïdentificeerd door de lexicografische rang van haar hoofdgetallen onder alle $\binom{N}{k}$ combinaties en vergeleken met de laatste 20 000 rijen die voor die loterij zijn uitgegeven; een herhaalde rang wordt aangepast met willekeurige verwisselingen, en als laatste redmiddel wordt de volgende ongebruikte rang genomen uit een willekeurige affiene permutatie van alle rangen. Een rij die zo is aangepast, wordt niet opnieuw aan de filters getoetst.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Lexicografische rang van een combinatie en de affiene doorloop met volledige periode over alle rangen.

FREE- en PRO-uitvoeringspaden

Pad	Methoden	Waar het draait	Rijen per run	Historie
FREE	Populaire nummers, Gecombineerd, Segmentdekking, Puur willekeurig	browser	tot 5 (tot 50 voor PRO-gebruikers)	het FREE-venster van recente trekkingen
PRO	de twaalf andere methoden	server	tot 50	het gekozen analysevenster, minstens 5 trekkingen

Populaire nummers

FREEIn de browser

Doel: de getallen bevoordelen die in het analysevenster het vaakst voorkwamen.

w_n = c_n + 0.05

Gewicht van getal n; met minder dan 5 trekkingen zijn alle gewichten gelijk aan 1.

Meer details

Gecombineerd

FREEIn de browser

Doel: hete, middelste en koude getallen in een vaste verhouding mengen.

De getallen worden gesorteerd op $c_n$ (bij gelijke stand komt het kleinere getal eerst) en verdeeld in derden van grootte $\lceil N/3 \rceil$ : heet, midden, koud. Rij $i$ kiest uniform uit elk derde:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Rij i neemt h hete, mᵢ middelste en cᵢ koude getallen; oneven en even rijen wisselen het aandeel middelste en koude getallen om.

Meer details

Segmentdekking

FREEIn de browser

Doel: een rij gelijkmatig over het getallenbereik spreiden.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Eén uniform getal uit elk van k opeenvolgende segmenten; het laatste segment neemt de rest.

Meer details

Puur willekeurig

FREEIn de browser

Doel: de eerlijke referentie – elk getal even waarschijnlijk.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Een cryptografische Fisher–Yates-shuffle geeft elke combinatie vóór het filteren dezelfde kans.

Meer details

Wielmatrix

PROServer

Doel: meerdere rijen bouwen die samen zo veel mogelijk paren uit een kleine getallenpool dekken – een gulzig overdekkingsontwerp.

De pool telt $\min(N, k+5)$ getallen, afwisselend genomen uit het hete, koude en middelste derde. Alle $\binom{|P|}{k}$ combinaties van de pool zijn kandidaten (boven 40 000 wordt een willekeurige steekproef gebruikt); elke stap voegt de kandidaat met de beste score toe en markeert diens paren als gedekt:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Gulzige score voor paardekking; bij gelijke stand wordt uniform willekeurig gekozen.

Meer details

waarbij

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: de paren van kandidaatrij $R$ en de paren die al door de gekozen rijen worden gedekt
$u_n$: hoeveel al gekozen rijen getal $n$ bevatten
$[\,\cdot\,]$: gelijk aan 1 als de voorwaarde geldt, anders 0

Wereldwijd populair en Wereldwijd gecombineerd

PROServer

Doel: het frequentieprofiel van alle negen ondersteunde loterijen overbrengen op de huidige.

Elk getrokken getal $x$ van elke loterij $g$ wordt afgebeeld op zijn relatieve positie $q = (x-1)/(N_g - 1)$ en met een smalle Gausskern uitgesmeerd over de getallen van de huidige loterij; elke loterij krijgt per trekking hetzelfde gewicht, en de eigen frequentie van de huidige loterij wordt er nog een keer bovenop opgeteld:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Wereldscore van getal n; X_g zijn alle hoofdgetallen die in loterij g zijn getrokken (tot 400 recente trekkingen volgens de huidige regels, D_g trekkingen).

Meer details

Wereldwijd populair: $k$ uniforme keuzes uit de $\max(3k, 12)$ getallen met de hoogste score.
Wereldwijd gecombineerd: $\lceil 0.45k \rceil$ uit het bovenste derde, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ uit het onderste derde, de rest uit het midden. Bonusgetallen zijn uniform.

Markov-ketens

PROServer

Doel: getallen wegen naar hoe vaak ze volgden op de getallen van de vorige trekking.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplace-afgevlakte overgangskans van de eerste orde, gemiddeld over de laatste trekking L.

Meer details

waarbij

$T(a \to b)$: hoe vaak getal $b$ voorkwam in de trekking direct na een trekking met $a$
$L$: de hoofdgetallen van de laatste trekking

Gauss · centrale limietstelling

PROServer

Doel: rijen bouwen met een typische som. De som van $k$ getallen getrokken zonder teruglegging heeft

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Verwachtingswaarde en variantie van de rijsom bij trekken zonder teruglegging (vervangen door de empirische waarden zodra er minstens 5 sommen zijn).

Meer details

Elk getal wordt gewogen met een Gausscurve rond de gemiddelde waarde per positie, en er worden tot 40 kandidaatrijen getrokken; de rij waarvan de som het dichtst bij $\mu$ ligt, wint (het zoeken stopt eerder binnen $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Gewicht per getal in de Gauss-methode.

Intervalmodel Δ

PROServer

Doel: de afstanden tussen naburige getallen in echte trekkingen nabootsen.

Uit de laatste 120 trekkingen verzamelt de methode het kleinste getal van elke trekking en alle verschillen tussen naburige gesorteerde getallen. Een rij ontstaat uit een willekeurige start plus willekeurige verschillen; een rij die voorbij $N$ loopt, wordt verworpen (tot 300 pogingen, daarna een uniforme rij):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empirische bootstrap van eerste getallen en afstanden; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) is de gesorteerde trekking t.

Meer details

Bayes · Dirichlet

PROServer

Doel: frequentie met krimp richting uniform.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

A-posteriorigemiddelde van een symmetrische Dirichlet(α)-prior, bijgewerkt met de waargenomen aantallen; de methode trekt met gewichten c_n + 3.

Meer details

Gap-analyse

PROServer

Doel: getallen bevoordelen die lang niet zijn verschenen.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n is de index van de nieuwste trekking die n bevat (0 = de laatste trekking); een getal dat nooit voorkwam, krijgt D + ḡ.

Meer details

Fysiek model van de trommel

PROServer

Doel: een vereenvoudigde 2D-simulatie laten beslissen over de volgorde van uittreden.

$N$ schijven met straal $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ bewegen in een eenheidsvierkant met willekeurige luchtstoten, een constante drift naar de uitlaat, demping en elastische botsingen van gelijke massa's; een schijf die de uitlaat in het midden van de onderwand verlaat, is getrokken.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Eén stap van het 2D-model (y wijst omlaag, naar de uitlaat; hoogstens 2400 stappen). Een schijf treedt uit wanneer 0.43 < x < 0.57 bij de onderwand; treden er minder dan k schijven uit, dan wordt de rij uniform aangevuld.

Meer details

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Elastische botsing van gelijke massa's: de normaalcomponenten van de snelheden worden uitgewisseld.

Chaos · logistische afbeelding

PROServer

Doel: laten zien dat een volledig deterministisch systeem onvoorspelbaar kan zijn.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Na 100 inloopiteraties vanaf een willekeurige seed worden waarden verzameld tot er k verschillende getallen zijn gevonden.

Meer details

Kwantumcollaps

PROServerExperimenteel

Doel: een tegendraads gewicht dat zelden getrokken getallen bevoordeelt.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Gewicht van de “frequentiebarrière”; de toevalsgetallen komen uit een buffer van cryptografische 16-bitswaarden.

Meer details

Systeem van paradoxen

PROServerExperimenteel

Doel: onderzoeksrijen gebouwd op contra-intuïtieve eigenschappen van willekeurige combinaties. Vijf archetypen worden om beurten gebruikt:

Massa: geeft de voorkeur aan getallen boven 31 in pools van minstens 42 getallen (verjaardagen eindigen bij 31), gewicht 2.6 boven de grens en 0.28 eronder, ×1.1 voor veelvouden van 10, en dwingt daarna minstens $\lceil 0.6k \rceil$ getallen boven de grens af. Minder mensen spelen zulke getallen, dus een prijs zou met minder winnaars worden gedeeld – de winkans verandert niet.
Botsing: de helft van de rij uit de vaakst getrokken getallen, de rest uit de getallen die het langst zijn uitgebleven.
Cluster: bevat een paar opeenvolgende getallen – een eigenschap die in willekeurige trekkingen veel vaker voorkomt dan de intuïtie doet vermoeden:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot ongeveer 35%, Lotto 7/34 ongeveer 78%.

Meer details

Spiegel: vormt paren van $n$ en $N + 1 - n$ .
Regressie: de getallen waarvan de recente frequentie (laatste 10 trekkingen) het meest afwijkt van hun langetermijnfrequentie.

3. De Wiskundige Rechtbank

De Rechtbank beoordeelt een combinatie die al bestaat. Juryleden en modellen kunnen voorstellen één getal te vervangen; advocaten pleiten voor of tegen elk voorstel; de Opperrechter beslist op basis van een structureel veld van eerdere trekkingen. Getallen veranderen alleen na een eigen beslissing van de gebruiker – en elke stap wordt vastgelegd.

Keuze van de twaalf juryleden rond het embleem van de Rechtbank — De jury: twaalf persona's, elk met een eigen wiskundige strategie

Het verloop van een zaak

Voorstel. Een jurylid of een model bekijkt elke mogelijke enkele verwisseling in de rij en stelt hoogstens één vervanging voor – of stelt voor de rij te behouden.
Verdediging. Advocaten nemen over elk voorstel een standpunt in: steun, bezwaar of protest. Een advocaat stelt nooit zelf een getal voor en past er ook nooit een toe.
Vonnis. De Opperrechter aanvaardt het voorstel, biedt een alternatief of behoudt het getal, op basis van het structurele veld van eerdere trekkingen.
Beslissing. Alleen de gebruiker verandert getallen: een voorstel aanvaarden, de verdediging volgen, de rechter volgen, het origineel behouden of terugdraaien. Elke beslissing wordt met haar auteur opgeslagen.

Van een model naar een voorkeur per getal

Elk model wordt teruggebracht tot een relatieve voorkeur $\operatorname{rel}(n)$ voor elk getal, waarbij 1 “het gemiddelde van het model” betekent, samen met een standaardfout. Modellen die door een expliciete gewichtsvector zijn gedefinieerd, zijn exact; de andere worden gemeten door ze uit te voeren:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Exacte relatieve voorkeur van Populaire nummers, Markov, Gauss, Bayes, Gap-analyse, Kwantumcollaps, Kwantum-astraal en het Structureel veld.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Monte-Carlo-voorkeur van procedurele modellen: X₁ … X_R zijn R = 600 geseede rijen van het model (120 voor het fysieke model). De consensus middelt in plaats daarvan drie runs (zie de kaart ervan).

De negentien modellen

De Rechtbank gebruikt de zestien generatormethoden uit sectie 2 plus drie eigen modellen. Vier daarvan gebruiken geen historie en zijn geregistreerd als modellen zonder voorkeur voor getallen (Segmentdekking, Puur willekeurig, Fysiek model, Chaos); in de praktijk bevoordeelt Segmentdekking de getallen van korte segmenten wanneer $k$ geen deler is van $N$ , en bevoordeelt Chaos de randen van het bereik, zoals hun kaarten laten zien. Twee modellen zijn samengesteld (Consensus en Structureel veld).

Model	Type	Basis
Populaire nummers	gewichten	$c_n + 0.05$
Gecombineerd	steekproef	hete / middelste / koude derden
Segmentdekking	steekproef, zonder historie	één getal per segment
Puur willekeurig	steekproef, uniform	Fisher–Yates-shuffle
Markov-ketens	gewichten	afgevlakte overgangen vanaf de laatste trekking
Gauss · CLS	gewichten	Gausscurve rond $\mu/k$
Intervalmodel Δ	steekproef	bootstrap van afstanden
Bayes · Dirichlet	gewichten	$c_n + 3$
Gap-analyse	gewichten	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Fysiek model	steekproef, zonder historie	2D-simulatie met schijven
Chaos	steekproef, zonder historie	logistische afbeelding, randgericht
Kwantumcollaps	gewichten, experimenteel	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Systeem van paradoxen	steekproef, experimenteel	vijf archetypen
Kwantum-astraal	gewichten, experimenteel	maanteken en verlichtingsgraad
Wielmatrix	steekproef	ontwerp voor paardekking
Wereldwijd populair	steekproef	kernprofiel over loterijen heen
Wereldwijd gecombineerd	steekproef	kernprofiel over loterijen heen
Modelconsensus	ensemble	14 lidmodellen
Structureel veld	samengesteld	zes beschrijvende componenten

Structureel veld

Server

Het veld is de maatstaf van de Opperrechter: een met de hand gewogen samenstelling van zes beschrijvende componenten. Frequenties, connectiviteit en paardekking worden gedeeld door hun maximum over alle getallen; recentheid en typischheid liggen al in $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Score van getal n in het structurele veld, van 0 tot 100.

Meer details

waarbij

$A_n,\ S_n$: frequentie in het hele venster en in de laatste $\max(3, \min(10, D))$ trekkingen
$G_n$: recentheid, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: som van de paarlifts $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ over alle partners $m$ , met $O_{nm}$ het aantal trekkingen die beide bevatten
$T_n$: gemiddelde structurele typischheid van de trekkingen die $n$ bevatten: $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , met $e$ het aandeel even getallen en $z_S$ de gestandaardiseerde som
$P_n$: paardekking, het totale aantal paarwaarnemingen waarin $n$ voorkomt

Modelconsensus

Server

Veertien lidmodellen uit twaalf families maken elk 10 rijen; een getal scoort naar hoeveel modellen en families het kozen, hoe vaak en hoe gelijkmatig:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Consensusscore; de Rechtbank middelt drie onafhankelijke runs en gebruikt hun spreiding als standaardfout.

Meer details

waarbij

$M_n,\ F_n$: aantal lidmodellen en modelfamilies waarvan de rijen $n$ bevatten
$f_n$: totaal aantal rijen dat $n$ bevat
$\operatorname{stab}_n$: gemiddeld aantal keer dat $n$ voorkomt per lidmodel dat het koos, gedeeld door 10

Kwantum-astraal model

ServerExperimenteel

Een amusementsmodel dat getallen weegt naar de maan op de datum van de doeltrekking, plus een klein aandeel van het structurele veld:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kwantum-astraal gewicht; σ ∈ {0,…,11} is het dierenriemteken van de ecliptische lengte van de maan op de datum van de doeltrekking, I de verlichtingsgraad in procent.

Meer details

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Verlichtingsgraad van de maan in procent uit de leeftijd A binnen de synodische maand met lengte P (dagen).

Hoe een model een rij beoordeelt

Voor elke mogelijke verwisseling $a \to b$ – getal $a$ verlaat de rij, getal $b$ komt erin – berekent het model de winst en de ruis daarop. Een winst telt alleen als ze statistisch duidelijk is; een verlies telt altijd.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modelbeoordeling. Exacte gewichtsmodellen hebben SE = 0, dus hun winst telt altijd; de verwisseling komt in aanmerking wanneer effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Standaardfout van een verwisseling bij een steekproefmodel: de gepoolde proportie onder de hypothese dat a en b even waarschijnlijk zijn. Voor de Consensus geldt SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) over de drie runs; exacte gewichtsmodellen hebben SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Bonferroni-gecorrigeerde drempel over alle k(N−k) mogelijke verwisselingen; Eurojackpot: 3.43.

Basis- $z$	Eurojackpot, 225 verwisselingen	Lotto 7/34, 189 verwisselingen
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

De twaalf juryleden

Elk jurylid heeft één strategie, eigen bronnen (modellen of signalen uit de historie), een minimaal effect en een significantieniveau. Het oordeel van een jurylid over een rij is ofwel “behouden” of precies één vervanging; juryleden maken geen bezwaar en protesteren niet – dat is de rol van de verdediging.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Numerieke winst van een verwisseling uit de gewogen bronnen van het jurylid; λ = D/(D+40) voor Eva Lind, anders 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Effectieve waarde van een verwisseling. De beste verwisseling die in aanmerking komt, wint (bij gelijke stand: kleiner nieuw getal, daarna eerdere positie); is er geen, dan behoudt het jurylid de rij.

waarbij

$\omega_m$: gewicht van bron $m$ in de definitie van het jurylid
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , met $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: het significantieniveau van het jurylid, gecorrigeerd voor $k(N-k)$ verwisselingen, zoals in de tabel hierboven
$\Delta \ell_c$: verandering van de log-likelihood van structurele component $c$ (nats)
$\Delta \Gamma$: verandering van de dekkingsscore van het lot

Signalen berekend uit de historie

Drie juryleden gebruiken signalen die rechtstreeks uit de trekkingen worden gelezen in plaats van uit een generator. Met $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Frequentietoets. Bij eerlijke trekkingen geldt Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), omdat getallen binnen één trekking negatief gecorreleerd zijn; delen door het verwachte aantal Dp geeft SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Herhaalbaarheid. Frequentie in K disjuncte vensters van s = ⌊D/K⌋ trekkingen; het voordeel moet een aftrek van één standaardfout overleven.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalie. Absolute afwijking van het verwachte aantal; √(1−2/π) is de standaardafwijking van |Z| voor een standaardnormale Z.

Structuur en dekking

Structurele componenten vergelijken een rij met het profiel van eerdere trekkingen: pariteit, laag/hoog, clusters en afstanden zijn categorisch met Laplace-afvlakking; som en spreiding zijn Gaussisch.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-likelihoods: ℓ₁ categorisch (pariteit, laag/hoog, clusters; J categorieën, n_j eerdere trekkingen in categorie j), ℓ₂ Gaussisch (som, spreiding), ℓ₃ afstanden tussen naburige getallen.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Dekking van het lot: 𝒫′ is de verzameling paren van de andere rijen van het lot; de tweede term telt de decaden van het getallenveld die de rij raakt.

Eva Lind · Scherpschutster

Strategie: frequentie op lange termijn met Bayesiaanse krimp. Bronnen: Bayes 0.8 + Populaire nummers 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; geen significantietoets (exacte gewichten).

Regel: de beste verwisseling is altijd het minst frequente getal van de rij → het meest frequente getal daarbuiten; ze komt in aanmerking wanneer $\Delta \ge 0.12$ .

Meer details

Maya Chen · Vormarchitect

Strategie: de vorm van de rij. Bronnen: Gauss 0.5 + Gecombineerd 0.5; structuurgewicht 2 op pariteit, laag/hoog, som, spreiding en clusters; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regel: de structuurterm telt altijd, dus een verwisseling die de rij dichter bij de typische vorm van eerdere trekkingen brengt, kan alleen op structuur in aanmerking komen.

Meer details

Clara Moretti · Anomalieënjaagster

Strategie: anomalieën in beide richtingen. Bron: het anomaliesignaal; afstandsstructuur 0.4, alleen meegeteld bij een significante verwisseling; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Bij het anomaliesignaal valt het gemiddelde weg: alleen het verschil van de absolute afwijkingen telt.

Meer details

Leila Haddad · Mondiale waarneemster

Strategie: het wereldprofiel. Bronnen: Wereldwijd populair 0.5 + Wereldwijd gecombineerd 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; heeft gegevens van de andere loterijen nodig.

Meer details

Freya Olsen · Dekkingsingenieur

Strategie: dekking van het lot zonder voorkeur voor getallen. Geen bronnen; dekkingsgewicht 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Meer details

Nora Blake · Helderziende

Experimenteel

Strategie: het astrosysteem voor vermaak op de trekkingsdatum. Bron: Kwantum-astraal; $E_{\min} = 0.05$ ; heeft een datum van de doeltrekking nodig.

Meer details

Derek Cole · Ketenmeester

Strategie: overgangen vanaf de laatste trekking. Bron: Markov-ketens; afstandsstructuur 0.4, altijd meegeteld; $E_{\min} = 0.12$ . Omdat de Markov-gewichten optellen tot één, geldt $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Meer details

Marcus Reed · Alarmsignaal

Strategie: de langste afwezigheid. Bronnen: Gap-analyse 0.8 + Populaire nummers 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; geen significantietoets.

Meer details

Victor Moreau · Trommelfysicus

Strategie: een fysieke afwijking van de trommel zou zich in elke periode herhalen. Bron: herhaalbaarheid; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

De ruisvloer voorkomt dat vier gelukkige vensters significant lijken.

Meer details

Noah Bennett · Waakzame scepticus

Strategie: puur toeval verwerpen op het strengste niveau. Bron: frequentietoets; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Gesloten vorm van de toetsingsgrootheid van Noah.

Meer details

Elias Berg · Dwarse goochelaar

Experimenteel

Strategie: tegen de massa in – zeldzamere getallen. Bronnen: Kwantumcollaps 0.85 + Systeem van paradoxen 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Meer details

Leo Fischer · Dirigent van de consensus

Strategie: de stabiliteit van de modelconsensus. Bron: Consensus (drie onafhankelijke runs); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Meer details

Rijen genereren met de jury

Wanneer de jury een rij genereert in plaats van er een te beoordelen, trekt elk jurylid 40 kandidaatrijen met zijn eigen gewichten $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ en behoudt de beste volgens

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

De stem van een jurylid. De juryrij bestaat uit de k getallen met de meeste stemmen; bij gelijke stand beslist de hoogste genormaliseerde steun, daarna het kleinste getal.

De zes advocaten van de verdediging

Advocaten beoordelen een voorgestelde verwisseling $n_c \to n_p$ – het huidige en het voorgestelde getal, $x_c$ en $x_p$ keer getrokken in $D$ trekkingen – met hun eigen signalen. Positieve waarden pleiten voor het voorstel:

Signaal	Definitie
frequentie	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
a posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, veld, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
structuur	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabiliteit	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ over zes opeenvolgende perioden

De a-posteriorikans wordt exact berekend, zonder normale benadering:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Gesloten vorm voor Beta-posteriors met gehele parameter; de bètafunctie gebruikt een log-gamma volgens Lanczos.

Beslisregel voor de vervanging, met $\bar z$ het gewogen gemiddelde van de signalen van de advocaat:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Standpunt ψ van een advocaat: S steun, P protest, O bezwaar. χ = 1 wanneer de controles van de advocaat slagen: voor steun – eensgezindheid van de signalen, instemming van een tweede signaal en het structurele veto; voor protest – alleen eensgezindheid en instemming.

Thomas Keller · Toegewezen advocaat

FREE

Signalen: frequentie + Bayes + structureel veld, die het allemaal eens moeten zijn; steun vanaf 1, protest vanaf −1; heeft 20 trekkingen nodig en werkt bij 5 tot 19 trekkingen in een beperkte modus met Bayes + a posteriori.

Meer details

Elena Rossi · Statistische advocaat

Signaal: frequentie, gecorrigeerd voor meervoudige vergelijkingen; structureel veto bij −1; steun en protest vanaf 1.96; minstens 30 trekkingen.

Meer details

Amelia Grant · Tegen valse zekerheid

Signaal: a-posteriorikans op superioriteit; steun vanaf $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protest vanaf $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); minstens 10 trekkingen.

Meer details

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Standpunt
30	1	7	0.987	steun
30	4	3	0.354	bezwaar
30	5	2	0.128	protest
100	6	16	0.987	steun

Julien Morel · Structuuradvocaat

Signaal: totale verandering van de zes structurele log-likelihoods; steun vanaf 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protest vanaf 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); minstens 20 trekkingen.

Meer details

Ingrid Falk · Stabiliteit in de tijd

Signaal: overwinningen min nederlagen van het voorgestelde getal over zes opeenvolgende perioden; moet overeenstemmen met de totale frequentie; drempel 1.5, dus minstens $W - L \ge 4$ ; minstens 30 trekkingen.

Meer details

Adrian Vega · Astrologie voor vermaak

Experimenteel

Signaal: de Kwantum-astrale gewichten voor de datum van de doeltrekking; steun en protest vanaf 0.5.

Meer details

De Opperrechter

De rechter beslist over een betwist getal met het structurele veld $F$ , genormaliseerd op zijn maximum: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Een getal is zwak als het in de onderste 35% van het veld ligt.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ is een ordestatistiek van de oplopend gesorteerde veldwaarden; het huidige getal is zwak wanneer φ(n_c) < θ. De marge m geldt wanneer meer dan de helft van de advocaten met een standpunt protesteert.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Het vonnis V is het getal dat de rechter op de positie laat staan; de eerste regel die van toepassing is, geldt. a* is het getal met het hoogste veld buiten de rij en anders dan het voorstel.

Analyse en aanbeveling van de Opperrechter

Voor hele rijen geeft de rechter een rijscore en stelt hij voor tot $\lfloor k/2 \rfloor$ van de zwakste getallen onder $\theta$ te vervangen door de sterkste getallen buiten de rij. Welke verwisselingen worden toegepast, is een keuze van de gebruiker. Zonder rijen doet de rechter een aanbeveling: uniform willekeurige concepten worden op dezelfde manier verbeterd en met hun herkomst teruggegeven.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Rijscore van de analyse van de Opperrechter.

Beslissingen, batches en historie

Beslissingen: voorstel aanvaarden, verdediging aanvaarden, rechter aanvaarden, origineel behouden, terugdraaien. Getallen veranderen alleen bij het aanvaarden van een voorstel, het aanvaarden van een vonnis van de rechter dat het getal vervangt, of bij terugdraaien; elke wijziging is een transformatie in het herkomstrecord.
Bulkbeslissingen: hoogstens één vervanging per getal. “Alle meerderheidsvervangingen aanvaarden” past alleen opties toe die door meer dan de helft van de gekozen juryleden zijn gekozen; “Alle voorstellen toepassen” neemt voor elk getal de meerderheidsoptie of anders die met de meeste stemmen, en slaat gelijke standen over.
Batches: een beoordeling van tot 50 rijen door dezelfde samenstelling van persona's telt als één poging; al geanalyseerde rijen worden overgeslagen en een onderbroken batch wordt met hetzelfde plan hervat.
Historie: de gebeurtenistypen zijn jurybeoordeling, modelbeoordeling, voorstel, beoordeling door de verdediging, beoordeling door de rechter, beslissing en transformatie; het logboek bewaart tot 200 gebeurtenissen en laat nooit een transformatie of de laatste beoordelingen vallen.

De Rechtbank ter verantwoording geroepen

Elke bewering wordt vóór haar trekking in het voorspellingsregister vastgelegd en daarna tegen het toeval gescoord. Voor beweringen over $n_i$ getallen met basiskans $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H is het aantal treffers. Een bron wordt pas gerangschikt met minstens 30 getallen over minstens 3 trekkingen.

4. De 3D-trommel: physics-engine

De 3D-trekking is een realtime simulatie van starre lichamen: ballen zijn lichamen met massa, traagheid, wrijving en restitutie, aangedreven door de zwaartekracht, een roerende rotor en een luchtveld, en de getrokken bal is de bal die fysiek door de uitlaat valt. Het is een geloofwaardig fysisch model van een trommel, geen opname van een echte machine.

SuperEnalotto-trommel met 90 ballen die worden gemengd terwijl een bal wordt gekozen — 90 SuperEnalotto-ballen in de gesimuleerde kamer

Engine en coördinaten

De natuurkunde draait in Rapier 3D (versie 0.14, WebAssembly); het renderen gebeurt met Three.js (r169). De wereld is rechtshandig met $+y$ omhoog en de oorsprong in het midden van de kamer; de rotoras is de horizontale $x$ -as en $+z$ wijst naar de kijker.

Kamer: een bol met straal $R = 3.0$ eenheden, opgebouwd als driehoeksnet met naar binnen gerichte normalen en een cirkelvormige uitlaat onderaan (halve openingshoek $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Ballen: bollen met straal $r = 0.2$ en dichtheid 1; één bal per getal, van 5 tot 90 ballen.
Rotor: een kinematische as met zes armen waarvan de capsulevormige peddels zo zijn bemeten dat ze in hun rotatievlak 0.14 eenheden voor het glas stoppen, plus een kleinere rotor met drie armen waarvan de draairichting tussen de mengfasen wisselt.
Klep: een cilindrische plug in de uitlaat, die wordt weggehaald wanneer een bal naar buiten mag.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Massa, traagheidsmoment en gewicht van een bal in modeleenheden.

Schaal en Froude-gelijkvormigheid

Eén modeleenheid is 10 cm: een bal van 40 mm meet 0.4 eenheden en de kamer is een bol met een diameter van 600 mm. De zwaartekracht is verlaagd tot $30$ eenheden/s² in plaats van de echte $98.1$ . Beweging die door zwaartekracht en traagheid wordt gedomineerd, ziet er bij hetzelfde getal van Froude hetzelfde uit, dus de simulatie komt overeen met een machine op ware grootte met een tragere klok:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Grootheden met accent horen bij het model. Gelijk getal van Froude bij gelijke lengte: snelheden schalen met √γ en tijden met 1/√γ.

Krachten

Elke bal gehoorzaamt aan de tweede wet van Newton met de krachten die de code werkelijk toepast:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D luchtweerstand, F_W analytische wand, F_S zuiging bij de uitlaat, F_C contacten met ballen, rotor en klep (berekend door Rapier); τ de bijbehorende krachtmomenten. Rapier past daarnaast een kleine lineaire en hoekdemping toe, en snelheden zijn als vangnet begrensd op 22 eenheden/s en 105 rad/s.

Luchtveld en kwadratische luchtweerstand

De blazer wordt gemodelleerd als een voorgeschreven luchtsnelheidsveld $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; elke bal ondervindt kwadratische luchtweerstand richting de lokale luchtsnelheid. De weerstandsconstante ligt vast door een eindsnelheid van 48 eenheden/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

In stilstaande lucht bereikt een vallende bal v_t = √(g/k_d) = 48 eenheden/s, ongeveer 8.7 m/s op ware schaal.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Centrale opwaartse stroming: het sterkst op de as dicht bij de bodem (102 bij y = −3, 68 in het midden, 34 bovenaan); ρ_h is de horizontale afstand tot de as.

Werveling: een horizontale rotatie van 11 eenheden/s rond de verticale as.
Stroming naar binnen: voorbij 60% van de straal tot $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ richting het midden, zodat ballen blijven rondgaan in plaats van tegen het glas te kleven.
Turbulentie: gladde driedimensionale value noise met amplitude 58 die in de tijd verschuift; het is een vaste deterministische functie, geen toevalsgenerator.
Windstoten tegen stilstand: een bal die te lang onderaan, bovenaan, bij de wand of vrijwel stil blijft, krijgt een lokale windstoot bij de luchtsnelheid opgeteld, die nog steeds via de luchtweerstand werkt.

Analytische bolwand

Bovenop het net wordt het glas op snelheidsniveau als exacte bol afgedwongen; dat voorkomt tunneling en zorgt voor correct rollen. Met naar buiten gerichte normaal $\hat{\mathbf n}$ , naar buiten gerichte snelheid $v_n$ en indringing $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Speculatieve contactmarge v* en restitutie e (e_b is de restitutie van de bal; nul onder de slopsnelheid, zodat een bal in rust niet trilt).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normaalrespons, alleen toegepast als v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Coulomb-wrijving in het contactpunt; s is de tangentiële slipsnelheid v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35) met μ_b de wrijving van de bal.

Contacten tussen lichamen

Contacten bal–bal, bal–rotor en bal–klep worden opgelost door de constraint-solver van Rapier, met continue botsingsdetectie op de ballen. Coëfficiënten worden gecombineerd door middeling:

Paar	Wrijving	Restitutie
bal – bal	0.16	0.55
bal – glas	0.255	0.415
bal – peddel	0.19	0.525
bal – arm of as	0.17	0.35
bal – klep	0.23	0.375

De demping is klein tijdens de trekking (lineair 0.05, hoek 0.035) en sterk terwijl de ballen tot rust komen (2.4). Er is geen parameter voor rolweerstand: rollen vertraagt alleen door demping en contactwrijving.

Tijdstappen en integratie

De simulatie loopt in vaste stappen, onafhankelijk van de verversingsfrequentie van het scherm; elk frame voert zo veel vaste stappen uit als de echte tijd vereist, hoogstens vijf:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Accumulator met vaste stap: een frame van duur Δt_f voert n vaste stappen uit (hoogstens 5); elke stap wordt opgesplitst in 2 Rapier-substappen van h = 1/120 s met 6 solveriteraties.

Binnen een substap werkt de engine eerst de snelheden bij uit de krachten en daarna de posities uit de nieuwe snelheden – de semi-impliciete (symplectische) Euler-methode van impulsgebaseerde engines, hier weergegeven als algemeen principe:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Algemene vorm: F zijn de uitgeoefende krachten, F_c de dwangkrachten (contactkrachten) die de iteratieve solver van Rapier bepaalt.

De eigen krachten van de applicatie (lucht, wand, zuiging) worden eenmaal per stap berekend uit de toestand aan het begin ervan en over beide substappen vastgehouden. De rotor is kinematisch en krijgt elke substap een nieuw doel:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Exponentiële nadering van de rotorsnelheid tot haar doelwaarde; het mengen doorloopt 2.4, 2.9, 2.1 en 2.7 rad/s.

Hoe een bal wordt gekozen

Na 1 s opstarten en 2.6 s mengen gaat de klep open. Zolang de uitlaat open is, valt de opwaartse stroming erboven geleidelijk weg, wordt de centrale straal teruggebracht tot 62% en trekt een zuiging van ongeveer 2.2 balgewichten (ongeveer 4 na 5 s) ballen dicht bij de uitlaat aan:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Zuiging bij de uitlaat (y < −1.6 en horizontale afstand < 0.6); t_c is de tijd sinds de klep openging.

De getrokken bal is de eerste waarvan het middelpunt onder $y = -3.18$ zakt; doen meerdere dat in dezelfde stap, dan de laagste. Op dat moment wordt geen enkel toevalsgetal geraadpleegd. De toevalsgetallen van een trekking zijn de beginplaatsing van de ballen en een kleine beginsnelheid en spin, afkomstig uit de Web Crypto API (opnieuw wanneer een aparte bonuspool wordt geladen). Daarna volgt de bal de uitgangsbaan naar het rek; die beweging is gescript, niet gesimuleerd.

Renderen versus simulatie versus toeval

Simulatie: vaste stappen van 1/60 s; kwaliteitsinstellingen (ultra, hoog, middel, laag) veranderen alleen schaduwen, bloom, resolutie en detail van de netten, nooit de natuurkunde.
Renderen: elk frame toont de laatst voltooide stap; er wordt niet tussen stappen geïnterpoleerd.
Toeval: de krachten zijn deterministisch; de uitkomst hangt af van de beginplaatsing en vanaf de tweede bal ook van hoe lang de onthulling van de vorige bal op het apparaat duurt, zodat een trekking niet exact opnieuw kan worden afgespeeld.

5. Statistiek van echte trekkingen

De analyseschermen beschrijven historische trekkingen. Ze beantwoorden “wat is er gebeurd” en “past dit bij een eerlijke loterij”, nooit “wat gaat er gebeuren”.

Frequenties, heet en koud

Voor elk getal telt de app hoe vaak het in het venster voorkwam en toont dat naast het verwachte aantal in een eerlijke loterij; de standaardafwijking staat hier ter referentie:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Verwacht aantal (getoond in de app) en de standaardafwijking ervan (ter referentie) voor één getal over D onafhankelijke trekkingen.

Heet en koud: de vijf meest en minst frequente getallen, elk met het verwachte aantal (minstens 5 trekkingen vereist).
Frequentiebalken: rood wanneer het aandeel van een getal meer is dan 1.3 keer het verwachte aandeel, blauw onder 0.7 keer.
Heatmap: kleur via min-max-normalisatie $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Eurojackpot-heatmap van de 50 hoofdgetallen, gekleurd van blauw naar rood — Heatmap: de kleur toont alleen de frequentie uit het verleden

Eerlijkheidstoets: χ² met een correctie

De χ²-test controleert of de aantallen passen bij gelijke kansen. In één trekking worden de $k$ getallen zonder teruglegging genomen, waardoor de aantallen negatief gecorreleerd zijn; de gewone multinomiale grootheid is dan te klein, en de app corrigeert die:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pearson-grootheid met de correctie voor trekken zonder teruglegging; minstens 10 trekkingen vereist.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Geregulariseerde bovenste onvolledige gammafunctie, berekend via een reeks en een kettingbreuk.

p-waarde	Oordeel
$p > 0.05$	geen significante afwijking
$0.01 < p \le 0.05$	marginale afwijking
$p \le 0.01$	statistisch significante afwijking

Positionele Q-toets

Met minstens 30 volledige trekkingen toetst de app ook het gemiddelde van elke gesorteerde positie (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). Het $i$ -de kleinste van $k$ getallen getrokken uit $1..N$ heeft verwachtingswaarde en covariantie

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ is de vector van verschillen tussen de waargenomen positiegemiddelden en μ over m trekkingen.

Paren, vergelijkingen en controles

Paren: een 12 × 12-matrix van hoe vaak de 12 meest frequente getallen samen voorkwamen (minstens 10 trekkingen). Dit zijn ruwe aantallen; ter referentie: het verwachte aantal van een bepaald paar bij eerlijke trekkingen is $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Vergelijking van loterijen: jackpotkansen, prijs, de kosten van het kopen van elke combinatie.
Wiskundige controle: de app berekent $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ opnieuw en vergelijkt dat met de opgeslagen constante, en controleert de trekkingen van het analysevenster op bereikfouten, verkeerde aantallen ballen en dubbele datums.
Prijsklassen: officiële prijzentabellen per trekking. Het trekkingsoverzicht middelt de laatste 60 echte prijzentabellen; alleen voor een loterij zonder enige prijsgegevens schat het de winnaars uit de kansen per prijsklasse uit sectie 8 en een aangenomen verkoopvolume, dus die cijfers zijn illustratief.

Een heel spelersleven simuleren

De simulatie over 50 jaar gebruikt de kans op minstens één jackpot in $T$ onafhankelijke loten:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Kans op minstens één jackpot in T loten; C is het aantal jackpotcombinaties, d het aantal trekkingen per week, r het aantal rijen per trekking.

6. Kalenderanalyse

De kalenderanalyse zoekt naar samenvallingen tussen trekkingsdatums en getrokken getallen – bijvoorbeeld de dag van de maand die onder de ballen verschijnt – en vergelijkt elke waargenomen frequentie met de frequentie die puur toeval zou opleveren.

Trekkingen selecteren

Trekkingen kunnen worden gefilterd op jaar, maand, dezelfde maand in alle jaren of een datumbereik, en op regeltijdperk. Frequentielijsten (heet, koud, langst uitgebleven) gebruiken ruwe aantallen binnen de selectie; een getal dat in elk geselecteerd tijdperk onmogelijk is, wordt weggelaten, en een selectie die tijdperken mengt, krijgt een waarschuwing, omdat een getal dat alleen in het nieuwere tijdperk geldig is, ten onrechte “koud” lijkt. De datumregels hieronder houden rekening met het tijdperk: een trekking telt alleen mee voor een regel als minstens één kandidaat een geldig getal is volgens de eigen regels van die trekking.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Waargenomen frequentie van een datumregel: C_t zijn de kandidaatgetallen van trekking t, X_t haar getrokken getallen, Ω_t de geldige getallen volgens haar regels; ℰ zijn de in aanmerking komende trekkingen.

Tien datumregels

Regel	Kandidaatgetallen voor een trekking op DD.MM.JJJJ
dag	DD
maand	MM
jaar	JJJJ mod 100
uur	het uur van de trekking, waar de organisator het publiceert
cijfers van het jaar	de verschillende cijfers van JJJJ
cijfersom van het jaar	som van de cijfers van JJJJ
cijfersom van het jaar in twee cijfers	som van de cijfers van JJJJ mod 100
cijfersom van de dag	som van de cijfers van DD
cijfersom van de datum	som van alle cijfers van DD, MM en JJJJ
digitale wortel	de cijfersom van de datum herleid tot één cijfer

Een kandidaat gelijk aan 0 wordt genegeerd, en een trekking telt één keer mee voor een regel, ook als meerdere van haar getallen overeenkomen.

Toevalsverwachting

Voor een trekking van $k$ getallen uit $S$ mogelijke waarden en een verzameling van $m$ kandidaatgetallen is de kans dat geen enkele kandidaat wordt getrokken hypergeometrisch:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: geen enkele kandidaat wordt getrokken; P≥1: minstens één. Kandidaten buiten het bereik van het tijdperk van de trekking vallen af.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Verwachte trefferfrequentie r̂ over de in aanmerking komende trekkingen ℰ, elk met haar eigen tijdperk; P^M en P^B voor de hoofd- en bonuspool worden als onafhankelijk gecombineerd.

Kalendertreffers met waargenomen frequenties naast de toevalsverwachting — Kalendertreffers vergeleken met toeval

De frequenties interpreteren

Paren worden getoond vanaf 30 trekkingen en drietallen vanaf 120 (alleen combinaties die minstens twee keer voorkwamen, de tien meest frequente); onder 100 trekkingen verschijnt een waarschuwing voor een kleine steekproef. Met 100 trekkingen heeft een frequentie rond 20% nog altijd een 95%-band van ongeveer $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ procentpunt.

7. Historisch archief en regeltijdperken

Loterijen veranderen hun regels. Een trekking heeft alleen betekenis samen met de regels die op haar datum golden, dus elke opgeslagen trekking draagt haar regelversie.

Regeltijdperken

Loterij	Tijdperken (hoofd · bonus)
Lotto (Noorwegen)	7/34 + 3 bijgetallen → 7/34 + 1 bijgetal (vanaf 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + bijgetal en geluksgetal → Vikinggetal 1–8 (2017) → 1–5 (vanaf 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (vanaf 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (vanaf 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (vanaf 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (vanaf 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly sinds 1997; SuperStar is een aparte trommel en wordt uitgesloten van de modellen
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (vanaf 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (vanaf 19.04.2018)

Compatibiliteitsregel

Modellen en analyses gebruiken alleen trekkingen die vergelijkbaar zijn met de huidige regels. Twee tijdperken worden groep voor groep vergeleken:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Tijdperk e is vergelijkbaar voor de hoofdgetallen wanneer aantal en bereik overeenkomen (links), en voor de bonusgetallen wanneer elke bonusgroep 𝓑 overeenkomt (rechts). Een trekking met vergelijkbare hoofdgetallen maar andere bonusregels behoudt haar hoofdgetallen en verliest haar bonusgetallen.

Eurojackpot-historie met de kaart van het tijdperk volgens de huidige regels en trekkingen gemarkeerd met hun regelversie — Het archief markeert elke trekking met haar regeltijdperk

8. Kansen en beperkingen

Elke officiële trekking is een onafhankelijk kansexperiment. Geen enkele historie, geen model, geen rechtbank en geen simulatie verandert de kans op welke combinatie dan ook.

Kans op de jackpot

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Kans op de jackpot voor één rij volgens de huidige regels (rechts: Eurojackpot); loterijen zonder bonusgetal voor de speler gebruiken alleen de eerste factor.

Loterij	Regels	Jackpotkans
Lotto (Noorwegen)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Alle prijsklassen

Precies $i$ van de $k$ hoofdgetallen en $j$ van de $b$ bonusgetallen goed hebben, is een product van twee hypergeometrische kansen:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Voor een extra bal uit dezelfde trommel (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) is de tweede factor (k−i)/(N−k) voor “+1”.

Prijsklasse Eurojackpot	Kans
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Waarom geen enkele methode het toeval kan verslaan

Als trekkingen onafhankelijk zijn en elke combinatie even waarschijnlijk is, is de voorwaardelijke kans op de volgende trekking gegeven welke historie dan ook dezelfde als zonder die historie, en is het verwachte aantal goede hoofdgetallen voor elke rij gelijk, hoe die ook tot stand kwam:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H is het aantal goede hoofdgetallen van een rij. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 per rij voor elke methode.

Lotto Simulator openen