Mathématiques et technologie

Les vraies mathématiques, statistiques, algorithmes et la physique de Lotto Simulator — tirés du code qui s’exécute dans l’application.

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Comment lire cette page

Chaque formule ci-dessous est reprise de l’implémentation, et non d’une brochure. Lorsqu’un composant est une règle déterministe ou une heuristique plutôt qu’une formule, nous décrivons l’algorithme exactement tel qu’il s’exécute, sans lui inventer de mathématiques.

Lotto Simulator est un environnement d’analyse, d’apprentissage et de simulation. Il génère des combinaisons selon seize méthodes, les soumet à un Tribunal mathématique composé de douze jurés, six avocats de la défense et un Juge suprême, vérifie l’équité des historiques de tirages réels, analyse les coïncidences calendaires et rejoue une machine de tirage physique en 3D. Rien de tout cela ne modifie la probabilité d’un numéro lors d’un tirage officiel — la section 8 explique pourquoi, chiffres à l’appui.

Notations utilisées sur toute la page

où

$N$: taille de l’ensemble des numéros principaux (par exemple 50 pour l’Eurojackpot)
$k$: nombre de numéros principaux tirés et joués (5 pour l’Eurojackpot)
$B,\; b$: taille de l’ensemble distinct des numéros bonus et nombre de numéros bonus joués (12 et 2 pour l’Eurojackpot)
$D$: nombre de tirages passés dans la fenêtre d’analyse sélectionnée
$c_n$: nombre d’apparitions du numéro $n$ parmi les numéros principaux de ces $D$ tirages
$t = 0, 1, \dots$: indice du tirage, du plus récent au plus ancien : $t = 0$ est le dernier tirage
$\binom{n}{r}$: coefficient binomial, nombre de façons de choisir $r$ éléments parmi $n$

1. Architecture du système

Une seule application, une seule base de code : la même application web fonctionne dans les navigateurs de bureau et mobiles et, sans modification, dans les applications iOS et Android (WebView Capacitor). Les calculs lourds et payants s’exécutent sur le serveur ; tout ce que voit l’utilisateur est rendu sur l’appareil.

Appareil (web, iOS, Android)Interface, grille et ensembles de travail, les quatre méthodes FREE du générateur, graphiques de fréquences, test du χ², calculs calendaires, machine de tirage 3D. Aléatoire pur et la machine 3D tirent leur aléa de la Web Crypto API.
Fonctions edge (TypeScript, Deno)Les douze méthodes PRO du générateur, les dix-neuf modèles du Tribunal, les douze jurés, les six avocats, le Juge suprême, les matrices de roue, le registre des pronostics. Le Tribunal fonctionne sur des flux aléatoires reproductibles, initialisés par une graine.
Base de données (PostgreSQL)Résultats officiels des tirages avec leur version des règles, tableaux des gains, comptes et droits d’accès, le registre des pronostics en ajout seul et son évaluation.
Chaîne de donnéesDes tâches planifiées collectent les résultats officiels, valident chaque tirage selon les règles de son époque et publient le jeu de données aux règles actuelles.

Qui calcule quoi

Dans le navigateur : les méthodes FREE (Numéros chauds, Combiné, Couverture des segments, Aléatoire pur) et toutes les statistiques descriptives. La version publique retire physiquement du client les implémentations PRO : leurs fonctions sont remplacées par des bouchons, si bien qu’un résultat PRO ne peut provenir que du serveur.
Sur le serveur : chaque méthode PRO, l’ensemble du Tribunal mathématique et le Juge suprême. Une requête transmet la loterie, la méthode, le nombre de lignes (1–50) et la fenêtre d’analyse ; le serveur charge lui-même les tirages, de sorte que le client ne peut pas lui fournir un historique inventé.
Refus plutôt qu’invention : un modèle serveur exige au moins 5 tirages dans la fenêtre d’analyse sélectionnée. En dessous, il refuse avec une réponse explicite « historique insuffisant » au lieu de produire des lignes à partir de rien.

Calcul reproductible du Tribunal

Chaque juré, avocat et modèle du Tribunal s’exécute sur son propre flux pseudo-aléatoire, dont la graine est un hachage de la version de l’algorithme, du personnage, de la loterie, de l’historique complet des tirages et de la date du tirage visé. Les mêmes données produisent donc toujours le même verdict, et toute modification de l’historique change chacun des flux.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Graine d’un calcul du Tribunal et flux de nombres uniformes qui en est tiré.

où

$v$: version de l’algorithme du moteur du Tribunal
$\kappa$: clé du personnage ou du modèle, par exemple l’identifiant d’un juré
$H$: tous les tirages de la fenêtre, numéros principaux et bonus dans l’ordre
$g,\; d$: identifiant de la loterie et date du tirage visé
$h_0$: la base de décalage (offset basis) de FNV-1a ; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ hache le texte $x$ en partant de l’état $h$
$u_i$: le $i$ -ième nombre aléatoire uniforme du flux

Persistance et traçabilité

Chaque combinaison porte un enregistrement de provenance : sa source (méthode du générateur, juré, consensus du jury, roue, tirage 3D, Juge suprême, saisie manuelle), les numéros de départ et un journal d’événements en ajout seul qui retrace examens, propositions, positions des avocats, verdicts, décisions et transformations (200 événements au maximum). Un enregistrement n’est accepté que si la réapplication de ses transformations aux numéros initiaux reproduit exactement la ligne ; sinon, la ligne est affichée comme ayant une source indisponible.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Contrôle de provenance : la ligne actuelle R_m doit être égale à la ligne initiale R_0 à laquelle on applique, dans l’ordre, chaque remplacement enregistré τ₁ … τₘ.

Filiation : lorsqu’une ligne est modifiée à la main, un nouvel enregistrement est créé avec le précédent pour parent (jusqu’à quatre enregistrements antérieurs sont conservés), de sorte que l’historique antérieur à la modification manuelle reste visible.
Registre des pronostics : chaque recommandation (une ligne générée, le remplacement proposé par un juré, la position d’un avocat, un verdict) est inscrite dans un registre avant le tirage visé et évaluée automatiquement après la publication du résultat officiel.

2. Générateur principal : seize méthodes

Le générateur propose seize choix. Quatre méthodes FREE s’exécutent dans le navigateur ; douze méthodes PRO s’exécutent sur le serveur. Toutes choisissent $k$ numéros distincts dans $1..N$ , plus les numéros bonus de la loterie ; elles ne diffèrent que par la manière dont les numéros sont pondérés ou construits.

Le Générateur de séries avec la quantité, la méthode d’analyse et les trois filtres par défaut — Le panneau du générateur : sélecteur de méthode et filtres par défaut

Briques communes

Les méthodes pondérées attribuent un poids $w_n \ge 0$ à chaque numéro, puis tirent séquentiellement sans remise : chaque choix retire le numéro et renormalise les poids restants.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Échantillonnage pondéré séquentiel sans remise, utilisé par toutes les méthodes fondées sur des poids.

où

$x_j$: le $j$ -ième numéro choisi pour la ligne, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: le poids du numéro $n$ selon la méthode

Aléa : dans le navigateur, Aléatoire pur et l’étape d’unicité utilisent la Web Crypto API, tandis que Numéros chauds, Combiné et Couverture des segments utilisent le générateur standard du navigateur (Math.random). Sur le serveur, les méthodes puisent dans un aléa cryptographique, sauf le Modèle physique (générateur standard) et la graine de Chaos, qui mélange aléa cryptographique et minuteur haute résolution. Dans le navigateur, un entier non biaisé dans $0..M-1$ est obtenu par échantillonnage par rejet, de sorte qu’aucun résidu n’est favorisé :

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Échantillonnage par rejet : une valeur cryptographique x de 32 bits est tirée à nouveau jusqu’à ce qu’elle soit inférieure au plus grand multiple de M, puis réduite modulo M.

Numéros bonus

Les numéros bonus (Eurojackpot 2 sur 12, EuroMillions 2 sur 12, Powerball 1 sur 26, Mega Ball 1 sur 24, numéro Viking 1 sur 5, Powerball AU 1 sur 20) sont tirés dans leur propre ensemble, indépendamment des numéros principaux. Lotto, SuperEnalotto et Lotto Max n’ont pas de numéro bonus choisi par le joueur : leur boule supplémentaire est tirée par l’opérateur dans la machine principale.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Poids w′ⱼ du numéro bonus j d’effectif bonus c′ⱼ pour la méthode μ : freq = Numéros chauds ; rnd, phys, chaos, world = Aléatoire pur, Modèle physique, Chaos, méthodes mondiales ; toutes les autres méthodes utilisent c′ⱼ + 2. Avec moins de 5 tirages, toutes les méthodes utilisent des poids uniformes.

Filtres FREE et unicité

Les lignes produites dans le navigateur passent trois filtres activés par défaut : pas tous les numéros pairs ni tous impairs ; une somme comprise dans une plage donnée ; aucune suite de plus de trois numéros consécutifs. Une ligne rejetée est remplacée par une ligne aléatoire uniforme qui passe les filtres (ses numéros bonus sont tirés avec les poids bayésiens $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Plage de somme par défaut. Eurojackpot : S̄ = 127.5, Δ = 55, plage 73–183.

Pour éviter de remettre deux fois la même combinaison sur le même appareil, chaque ligne FREE est identifiée par le rang lexicographique de ses numéros principaux parmi les $\binom{N}{k}$ combinaisons possibles, puis comparée aux 20 000 dernières lignes émises pour cette loterie ; un rang déjà vu est modifié par des échanges aléatoires et, en dernier recours, le prochain rang inutilisé est pris dans une permutation affine aléatoire de tous les rangs. Une ligne ainsi modifiée n’est pas revérifiée par les filtres.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Rang lexicographique d’une combinaison et parcours affine de période complète sur l’ensemble des rangs.

Chemins d’exécution FREE et PRO

Chemin	Méthodes	Exécution	Lignes par exécution	Historique
FREE	Numéros chauds, Combiné, Couverture des segments, Aléatoire pur	navigateur	jusqu’à 5 (jusqu’à 50 pour les utilisateurs PRO)	la fenêtre FREE des tirages récents
PRO	les douze autres méthodes	serveur	jusqu’à 50	la fenêtre d’analyse sélectionnée, au moins 5 tirages

Numéros chauds

FREEDans le navigateur

Objectif : favoriser les numéros apparus le plus souvent dans la fenêtre d’analyse.

w_n = c_n + 0.05

Poids du numéro n ; avec moins de 5 tirages, tous les poids valent 1.

Détails avancés

Combiné

FREEDans le navigateur

Objectif : mélanger numéros chauds, moyens et froids dans une proportion fixe.

Les numéros sont triés par $c_n$ (en cas d’égalité, le plus petit numéro passe en premier) et répartis en tiers de taille $\lceil N/3 \rceil$ : chauds, moyens, froids. La ligne $i$ effectue des choix uniformes dans chaque tiers :

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

La ligne i prend h numéros chauds, mᵢ moyens et cᵢ froids ; les lignes impaires et paires intervertissent les parts des moyens et des froids.

Détails avancés

Couverture des segments

FREEDans le navigateur

Objectif : répartir une ligne uniformément sur toute la plage des numéros.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Un numéro uniforme dans chacun des k segments consécutifs ; le dernier segment prend le reste.

Détails avancés

Aléatoire pur

FREEDans le navigateur

Objectif : la référence honnête — chaque numéro est équiprobable.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Un mélange de Fisher–Yates cryptographique donne à chaque combinaison la même probabilité avant filtrage.

Détails avancés

Matrice de roue

PROServeur

Objectif : construire plusieurs lignes qui, ensemble, couvrent le plus grand nombre possible de paires d’un petit ensemble de numéros — un plan de couverture glouton.

L’ensemble comprend $\min(N, k+5)$ numéros pris alternativement dans les tiers chaud, froid et moyen. Toutes les $\binom{|P|}{k}$ combinaisons de l’ensemble sont candidates (au-delà de 40 000, on utilise un échantillon aléatoire) ; chaque étape ajoute la candidate de meilleur score et marque ses paires comme couvertes :

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Score glouton de couverture des paires ; les égalités sont départagées uniformément au hasard.

Détails avancés

où

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: les paires de la ligne candidate $R$ et les paires déjà couvertes par les lignes choisies
$u_n$: nombre de lignes déjà choisies qui contiennent le numéro $n$
$[\,\cdot\,]$: vaut 1 si la condition est vérifiée, 0 sinon

Chaud dans le monde et Combiné mondial

PROServeur

Objectif : transposer sur la loterie actuelle le profil de fréquences des neuf loteries prises en charge.

Chaque numéro tiré $x$ de chaque loterie $g$ est ramené à sa position relative $q = (x-1)/(N_g - 1)$ et étalé par un noyau gaussien étroit sur les numéros de la loterie actuelle ; chaque loterie reçoit le même poids par tirage, et la fréquence propre de la loterie actuelle est ajoutée une fois de plus par-dessus :

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Score mondial du numéro n ; X_g désigne tous les numéros principaux tirés dans la loterie g (jusqu’à 400 tirages récents aux règles actuelles, soit D_g tirages).

Détails avancés

Chaud dans le monde : $k$ choix uniformes parmi les $\max(3k, 12)$ numéros de score le plus élevé.
Combiné mondial : $\lceil 0.45k \rceil$ dans le tiers supérieur, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ dans le tiers inférieur, le reste dans le tiers médian. Les numéros bonus sont uniformes.

Chaînes de Markov

PROServeur

Objectif : pondérer les numéros selon la fréquence à laquelle ils ont suivi les numéros du tirage précédent.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Probabilité de transition d’ordre un avec lissage de Laplace, moyennée sur le dernier tirage L.

Détails avancés

où

$T(a \to b)$: nombre de fois où le numéro $b$ est apparu dans le tirage suivant immédiatement un tirage contenant $a$
$L$: les numéros principaux du dernier tirage

Gauss · théorème central limite

PROServeur

Objectif : construire des lignes dont la somme est typique. La somme de $k$ numéros tirés sans remise a pour moyenne et variance

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Moyenne et variance de la somme d’une ligne en tirage sans remise (remplacées par les valeurs empiriques dès qu’il existe au moins 5 sommes).

Détails avancés

Chaque numéro est pondéré par une gaussienne centrée sur la valeur moyenne par position, et jusqu’à 40 lignes candidates sont tirées ; celle dont la somme est la plus proche de $\mu$ l’emporte (la recherche s’arrête plus tôt dès que l’écart est inférieur à $0.5\sigma$ ) :

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Poids par numéro de la méthode de Gauss.

Modèle d’intervalle Δ

PROServeur

Objectif : imiter l’espacement entre numéros voisins observé dans les tirages réels.

À partir des 120 derniers tirages, la méthode recueille le plus petit numéro de chaque tirage et toutes les différences entre numéros voisins une fois triés. Une ligne est construite à partir d’un départ aléatoire auquel s’ajoutent des différences aléatoires ; une ligne qui dépasse $N$ est rejetée (jusqu’à 300 essais, puis une ligne uniforme) :

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Bootstrap empirique des premiers numéros et des écarts ; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) est le tirage t trié.

Détails avancés

Bayes · Dirichlet

PROServeur

Objectif : la fréquence, avec un rétrécissement vers l’uniforme.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Moyenne a posteriori d’un a priori de Dirichlet(α) symétrique mis à jour par les effectifs observés ; la méthode échantillonne avec les poids c_n + 3.

Détails avancés

Analyse des écarts

PROServeur

Objectif : favoriser les numéros qui ne sont pas sortis depuis longtemps.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n est l’indice du tirage le plus récent contenant n (0 = le dernier tirage) ; un numéro jamais vu reçoit D + ḡ.

Détails avancés

Modèle physique de la machine de loterie

PROServeur

Objectif : laisser une simulation 2D simplifiée décider de l’ordre de sortie.

$N$ disques de rayon $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ se déplacent dans un carré unité sous l’effet de rafales d’air aléatoires, d’une dérive constante vers la sortie, d’un amortissement et de collisions élastiques entre masses égales ; un disque qui s’échappe par la sortie située au milieu de la paroi inférieure est tiré.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Un pas du modèle 2D (y est orienté vers le bas, vers la sortie ; 2400 pas au maximum). Un disque sort lorsque 0.43 < x < 0.57 au niveau de la paroi inférieure ; si moins de k disques sortent, la ligne est complétée uniformément.

Détails avancés

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Collision élastique entre masses égales : les composantes normales des vitesses sont échangées.

Chaos · application logistique

PROServeur

Objectif : montrer qu’un système entièrement déterministe peut être imprévisible.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Après 100 itérations de chauffe à partir d’une graine aléatoire, les valeurs sont collectées jusqu’à obtenir k numéros distincts.

Détails avancés

Effondrement quantique

PROServeurExpérimental

Objectif : un poids à contre-courant qui favorise les numéros rarement tirés.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Poids de « barrière de fréquence » ; les nombres aléatoires proviennent d’un tampon de valeurs cryptographiques de 16 bits.

Détails avancés

Système de paradoxes

PROServeurExpérimental

Objectif : des lignes de recherche fondées sur des propriétés contre-intuitives des combinaisons aléatoires. Cinq archétypes sont utilisés à tour de rôle :

Foule : privilégie les numéros supérieurs à 31 dans les ensembles d’au moins 42 numéros (les anniversaires s’arrêtent à 31), avec un poids de 2.6 au-dessus du seuil et de 0.28 en dessous, ×1.1 pour les multiples de 10, puis impose au moins $\lceil 0.6k \rceil$ numéros au-dessus du seuil. Moins de joueurs choisissent ces numéros, un gain serait donc moins partagé — la chance de gagner, elle, reste inchangée.
Choc : la moitié de la ligne parmi les numéros les plus fréquents, le reste parmi ceux qui sont absents depuis le plus longtemps.
Grappe : contient une paire de numéros consécutifs — une propriété bien plus fréquente dans les tirages aléatoires que l’intuition ne le laisse penser :

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot environ 35%, Lotto 7/34 environ 78%.

Détails avancés

Miroir : associe $n$ et $N + 1 - n$ .
Régression : les numéros dont le taux récent (10 derniers tirages) s’écarte le plus de leur taux à long terme.

3. Le Tribunal mathématique

Le Tribunal examine une combinaison que vous avez déjà. Les jurés et les modèles peuvent proposer de remplacer un numéro ; les avocats de la défense plaident pour ou contre chaque proposition ; le Juge suprême statue en s’appuyant sur un champ structurel des tirages passés. Les numéros ne changent que lorsque vous le décidez — et chaque étape est enregistrée.

Sélection des douze jurés autour de l’emblème du Tribunal — Le jury : douze personnages, chacun avec sa propre stratégie mathématique

Le déroulement d’une affaire

Proposition. Un juré ou un modèle passe en revue tous les échanges simples possibles de la ligne et propose au plus un remplacement — ou propose de conserver la ligne.
Défense. Les avocats prennent position sur chaque proposition : soutien, objection ou protestation. Un avocat ne propose ni n’applique jamais de numéro.
Verdict. Le Juge suprême accepte la proposition, propose une alternative ou conserve le numéro, en s’appuyant sur le champ structurel des tirages passés.
Décision. Vous seul modifiez les numéros : accepter une proposition, suivre la défense, accepter le Juge, garder l’original ou revenir en arrière. Chaque décision est enregistrée avec son auteur.

D’un modèle à une préférence par numéro

Chaque modèle est ramené à une préférence relative $\operatorname{rel}(n)$ pour chaque numéro, où 1 signifie « la moyenne du modèle », accompagnée d’une erreur type. Les modèles définis par un vecteur de poids explicite sont exacts ; les autres sont mesurés en les exécutant :

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Préférence relative exacte de Numéros chauds, Markov, Gauss, Bayes, Analyse des écarts, Effondrement quantique, Quantique-astral et du Champ structurel.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Préférence Monte-Carlo des modèles procéduraux : X₁ … X_R sont R = 600 lignes du modèle générées avec graine (120 pour le modèle physique). Le Consensus fait plutôt la moyenne de trois exécutions (voir sa fiche).

Les dix-neuf modèles

Le Tribunal utilise les seize méthodes du générateur de la section 2, plus trois modèles qui lui sont propres. Quatre d’entre eux n’utilisent pas d’historique et sont enregistrés comme sans préférence de numéro (Couverture des segments, Aléatoire pur, Modèle physique, Chaos) ; en pratique, Couverture des segments favorise les numéros des segments courts lorsque $k$ ne divise pas $N$ , et Chaos favorise les bords de la plage, comme le montrent leurs fiches. Deux modèles sont composites (Consensus et Champ structurel).

Modèle	Type	Fondement
Numéros chauds	poids	$c_n + 0.05$
Combiné	échantillonné	tiers chaud / moyen / froid
Couverture des segments	échantillonné, sans historique	un numéro par segment
Aléatoire pur	échantillonné, uniforme	mélange de Fisher–Yates
Chaînes de Markov	poids	transitions lissées depuis le dernier tirage
Gauss · TCL	poids	gaussienne autour de $\mu/k$
Modèle d’intervalle Δ	échantillonné	bootstrap des écarts
Bayes · Dirichlet	poids	$c_n + 3$
Analyse des écarts	poids	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Modèle physique	échantillonné, sans historique	simulation de disques en 2D
Chaos	échantillonné, sans historique	application logistique, biaisée vers les bords
Effondrement quantique	poids, expérimental	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Système de paradoxes	échantillonné, expérimental	cinq archétypes
Quantique-astral	poids, expérimental	signe et illumination de la Lune
Matrice de roue	échantillonné	plan de couverture des paires
Chaud dans le monde	échantillonné	profil à noyau inter-loteries
Combiné mondial	échantillonné	profil à noyau inter-loteries
Consensus des modèles	ensemble	14 modèles membres
Champ structurel	composite	six composantes descriptives

Champ structurel

Serveur

Le champ est la mesure du Juge suprême : un composite, pondéré à la main, de six composantes descriptives. Les fréquences, la connectivité et la couverture des paires sont divisées par leur maximum sur l’ensemble des numéros ; l’ancienneté et la typicité se situent déjà dans $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Score du champ structurel du numéro n, de 0 à 100.

Détails avancés

où

$A_n,\ S_n$: fréquence sur toute la fenêtre et sur les $\max(3, \min(10, D))$ derniers tirages
$G_n$: ancienneté, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: somme des lifts de paire $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ sur tous les partenaires $m$ , où $O_{nm}$ est le nombre de tirages contenant les deux numéros
$T_n$: typicité structurelle moyenne des tirages contenant $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , où $e$ est la part de numéros pairs et $z_S$ la somme centrée réduite
$P_n$: couverture des paires, nombre total d’observations de paires impliquant $n$

Consensus des modèles

Serveur

Quatorze modèles membres répartis en douze familles produisent chacun 10 lignes ; un numéro marque des points selon le nombre de modèles et de familles qui l’ont choisi, la fréquence de ce choix et sa régularité :

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Score de consensus ; le Tribunal fait la moyenne de trois exécutions indépendantes et utilise leur dispersion comme erreur type.

Détails avancés

où

$M_n,\ F_n$: nombre de modèles membres et de familles de modèles dont les lignes contiennent $n$
$f_n$: nombre total de lignes contenant $n$
$\operatorname{stab}_n$: nombre moyen d’apparitions par modèle membre ayant choisi $n$ , divisé par 10

Modèle quantique-astral

ServeurExpérimental

Un modèle de divertissement qui pondère les numéros selon la Lune à la date du tirage visé, avec une petite part du champ structurel :

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Poids quantique-astral ; σ ∈ {0,…,11} est le signe du zodiaque correspondant à la longitude écliptique de la Lune à la date du tirage visé, I l’illumination en pourcentage.

Détails avancés

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Illumination de la Lune en pourcentage, à partir de l’âge A dans le mois synodique de durée P (en jours).

Comment un modèle examine une ligne

Pour chaque échange possible $a \to b$ — le numéro $a$ quitte la ligne, le numéro $b$ y entre — le modèle calcule le gain et son bruit. Un gain ne compte que s’il est statistiquement net ; une perte compte toujours.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Examen par un modèle. Les modèles à poids exacts ont SE = 0, leurs gains comptent donc toujours ; l’échange est retenu lorsque effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Erreur type d’un échange pour un modèle échantillonné : la proportion commune sous l’hypothèse que a et b sont équiprobables. Pour le Consensus, SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) sur ses trois exécutions ; les modèles à poids exacts ont SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Seuil corrigé de Bonferroni sur les k(N−k) échanges possibles ; Eurojackpot : 3.43.

$z$ de base	Eurojackpot, 225 échanges	Lotto 7/34, 189 échanges
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Les douze jurés

Chaque juré a une stratégie, ses propres sources (modèles ou signaux tirés de l’historique), un effet minimal et un niveau de signification. Le verdict d’un juré sur une ligne est soit « conserver », soit exactement un remplacement ; les jurés ne font ni objection ni protestation — c’est le rôle de la défense.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Gain numérique d’un échange à partir des sources pondérées du juré ; λ = D/(D+40) pour Eva Lind, 1 sinon.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Valeur effective d’un échange. Le meilleur échange retenu l’emporte (en cas d’égalité : le plus petit nouveau numéro, puis la position la plus en avant) ; si aucun n’est retenu, le juré conserve la ligne.

où

$\omega_m$: poids de la source $m$ dans la définition du juré
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , avec $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: le niveau de signification du juré corrigé pour $k(N-k)$ échanges, comme dans le tableau ci-dessus
$\Delta \ell_c$: variation de la log-vraisemblance de la composante structurelle $c$ (en nats)
$\Delta \Gamma$: variation du score de couverture de la grille

Signaux calculés à partir de l’historique

Trois jurés utilisent des signaux lus directement dans les tirages plutôt que dans un générateur. Avec $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Test de fréquence. Pour des tirages équitables, Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), car les numéros d’un même tirage sont négativement corrélés ; en divisant par l’effectif attendu Dp, on obtient SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Réplication. Fréquence dans K fenêtres disjointes de s = ⌊D/K⌋ tirages ; l’avantage doit résister à une pénalité d’une erreur type.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalie. Écart absolu à l’effectif attendu ; √(1−2/π) est l’écart type de |Z| pour une variable normale centrée réduite Z.

Structure et couverture

Les composantes structurelles comparent une ligne au profil des tirages passés : parité, bas/haut, grappes et écarts sont catégoriels avec lissage de Laplace ; somme et étendue sont gaussiennes.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-vraisemblances : ℓ₁ catégorielle (parité, bas/haut, grappes ; J catégories, n_j tirages passés dans la catégorie j), ℓ₂ gaussienne (somme, étendue), ℓ₃ écarts entre numéros voisins.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Couverture de la grille : 𝒫′ est l’ensemble des paires des autres lignes de la grille ; le second terme compte les dizaines du champ de numéros que touche la ligne.

Eva Lind · Tireuse d’élite

Stratégie : fréquence à long terme avec rétrécissement bayésien. Sources : Bayes 0.8 + Numéros chauds 0.2 ; $\lambda = D/(D+40)$  ; $E_{\min} = 0.12$  ; aucun test de signification (poids exacts).

Règle : le meilleur échange est toujours le numéro le moins fréquent de la ligne → le numéro le plus fréquent hors de la ligne ; il est retenu lorsque $\Delta \ge 0.12$ .

Détails avancés

Maya Chen · Architecte de la forme

Stratégie : la forme de la ligne. Sources : Gauss 0.5 + Combiné 0.5 ; poids de structure 2 sur la parité, bas/haut, la somme, l’étendue et les grappes ; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ) ; $E_{\min} = 0.12$ .

Règle : le terme de structure compte toujours ; un échange qui rapproche la ligne de la forme typique des tirages passés peut donc être retenu sur la seule structure.

Détails avancés

Clara Moretti · Chasseuse d’anomalies

Stratégie : les anomalies dans les deux sens. Source : le signal d’anomalie ; structure des écarts 0.4, comptée seulement pour un échange significatif ; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ) ; $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Pour le signal d’anomalie, la moyenne s’annule : seule compte la différence des écarts absolus.

Détails avancés

Leila Haddad · Observatrice globale

Stratégie : le profil mondial. Sources : Chaud dans le monde 0.5 + Combiné mondial 0.5 ; $z_{\min} = 1.5$  ; $E_{\min} = 0.12$  ; nécessite les données des autres loteries.

Détails avancés

Freya Olsen · Ingénieure de couverture

Stratégie : la couverture de la grille, sans préférence de numéros. Aucune source ; poids de couverture 2 ; $E_{\min} = 0.20$ .

Détails avancés

Nora Blake · Voyante

Expérimental

Stratégie : le système astrologique de divertissement pour la date du tirage. Source : Quantique-astral ; $E_{\min} = 0.05$  ; nécessite une date de tirage visée.

Détails avancés

Derek Cole · Maître des chaînes

Stratégie : les transitions depuis le dernier tirage. Source : Chaînes de Markov ; structure des écarts 0.4, toujours comptée ; $E_{\min} = 0.12$ . Comme les poids de Markov ont pour somme un, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Détails avancés

Marcus Reed · Signal d’alarme

Stratégie : l’absence la plus longue. Sources : Analyse des écarts 0.8 + Numéros chauds 0.2 ; $E_{\min} = 0.06$  ; aucun test de signification.

Détails avancés

Victor Moreau · Physicien de la machine de tirage

Stratégie : un biais physique de la machine se répéterait sur chaque période. Source : réplication ; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ) ; $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Le plancher de bruit empêche quatre fenêtres chanceuses de paraître significatives.

Détails avancés

Noah Bennett · Sceptique vigilant

Stratégie : rejeter le pur hasard au niveau le plus strict. Source : test de fréquence ; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ) ; $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Forme fermée de la statistique de test de Noah.

Détails avancés

Elias Berg · Magicien à contre-courant

Expérimental

Stratégie : contre la foule — les numéros plus rares. Sources : Effondrement quantique 0.85 + Système de paradoxes 0.15 ; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ) ; $E_{\min} = 0.08$ .

Détails avancés

Leo Fischer · Chef d’orchestre du consensus

Stratégie : la stabilité du consensus des modèles. Source : Consensus (trois exécutions indépendantes) ; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ) ; $E_{\min} = 0.10$ .

Détails avancés

Génération par le jury

Lorsque le jury génère une ligne au lieu d’en examiner une, chaque juré tire 40 lignes candidates selon ses propres poids $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ et garde la meilleure au sens de

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Le bulletin de vote d’un juré. La ligne du jury prend les k numéros ayant obtenu le plus de voix ; les égalités sont départagées par le soutien normalisé le plus élevé, puis par le plus petit numéro.

Les six avocats de la défense

Les avocats évaluent un échange proposé $n_c \to n_p$ — le numéro actuel et le numéro proposé, tirés $x_c$ et $x_p$ fois en $D$ tirages — à l’aide de leurs propres signaux. Les valeurs positives sont favorables à la proposition :

Signal	Définition
fréquence	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
a posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, champ, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
structure	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilité	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ sur six périodes consécutives

La probabilité a posteriori est calculée exactement, sans approximation normale :

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Forme fermée pour des lois a posteriori Bêta à paramètres entiers ; la fonction Bêta utilise un log-Gamma de Lanczos.

Règle de décision pour le remplacement, $\bar z$ désignant la moyenne pondérée des signaux de l’avocat :

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Position ψ d’un avocat : S soutien, P protestation, O objection. χ = 1 lorsque les vérifications de l’avocat sont satisfaites : pour le soutien — unanimité des signaux, accord d’un second signal et veto structurel ; pour la protestation — unanimité et accord seulement.

Thomas Keller · Avocat commis d’office

FREE

Signaux : fréquence + Bayes + champ structurel, qui doivent tous concorder ; soutien à 1, protestation à −1 ; nécessite 20 tirages et, entre 5 et 19 tirages, fonctionne en mode limité avec Bayes + a posteriori.

Détails avancés

Elena Rossi · Avocate statisticienne

Signal : fréquence, corrigée pour les comparaisons multiples ; veto structurel à −1 ; soutien et protestation à 1.96 ; au moins 30 tirages.

Détails avancés

Amelia Grant · Contre la fausse confiance

Signal : probabilité a posteriori de supériorité ; soutien à $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protestation à $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ) ; au moins 10 tirages.

Détails avancés

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Position
30	1	7	0.987	soutien
30	4	3	0.354	objection
30	5	2	0.128	protestation
100	6	16	0.987	soutien

Julien Morel · Avocat de la structure

Signal : variation totale des six log-vraisemblances structurelles ; soutien à 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protestation à 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ) ; au moins 20 tirages.

Détails avancés

Ingrid Falk · Stabilité dans le temps

Signal : victoires moins défaites du numéro proposé sur six périodes consécutives ; doit concorder avec la fréquence globale ; seuil 1.5, donc au moins $W - L \ge 4$  ; au moins 30 tirages.

Détails avancés

Adrian Vega · Astrologie de divertissement

Expérimental

Signal : les poids quantique-astraux pour la date du tirage visé ; soutien et protestation à 0.5.

Détails avancés

Le Juge suprême

Le Juge statue sur un numéro contesté à l’aide du champ structurel $F$ , normalisé par son maximum : $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Un numéro est faible s’il se situe dans les 35% les plus bas du champ.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ est une statistique d’ordre des valeurs du champ triées par ordre croissant ; le numéro actuel est faible lorsque φ(n_c) < θ. La marge m s’applique lorsque plus de la moitié des avocats ayant pris position protestent.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Le verdict V est le numéro que le Juge conserve à cette position ; c’est la première ligne applicable qui s’impose. a* est le numéro au champ le plus élevé, hors de la ligne et autre que la proposition.

Analyse et recommandation du Juge suprême

Pour des lignes entières, le Juge indique un score de ligne et suggère de remplacer jusqu’à $\lfloor k/2 \rfloor$ des numéros les plus faibles situés sous $\theta$ par les numéros les plus forts hors de la ligne. Vous choisissez les échanges à appliquer. En l’absence de lignes, le Juge formule une recommandation : des ébauches aléatoires uniformes sont améliorées de la même manière et renvoyées avec leur provenance.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Score de ligne de l’analyse du Juge suprême.

Décisions, lots et historique

Décisions : accepter la proposition, accepter la défense, accepter le Juge, garder l’original, revenir en arrière. Les numéros ne changent que lorsque vous acceptez une proposition, acceptez un verdict du Juge qui remplace le numéro, ou revenez en arrière ; chaque changement est une transformation inscrite dans l’enregistrement de provenance.
Décisions groupées : au plus un remplacement par numéro. « Accepter tous les remplacements majoritaires » n’applique que les options choisies par plus de la moitié des jurés sélectionnés ; « Appliquer toutes les propositions » retient, pour chaque numéro, l’option majoritaire ou, à défaut, celle qui a recueilli le plus de voix, et ignore les égalités.
Lots : un examen de 50 lignes au plus par la même composition de personnages compte comme une seule tentative ; les lignes déjà analysées sont ignorées et un lot interrompu reprend avec le même plan.
Historique : les types d’événements sont l’examen du jury, l’examen d’un modèle, la proposition, l’examen de la défense, l’examen du Juge, la décision et la transformation ; le journal conserve jusqu’à 200 événements et n’élimine jamais une transformation ni les examens les plus récents.

Le Tribunal doit rendre des comptes

Chaque affirmation est inscrite au registre des pronostics avant son tirage, puis évaluée ensuite par rapport au hasard. Pour des affirmations portant sur $n_i$ numéros avec une chance de base $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H est le nombre de numéros trouvés. Une source n’est classée qu’avec au moins 30 numéros sur au moins 3 tirages.

4. La machine de tirage 3D : moteur physique

Le tirage 3D est une simulation de corps rigides en temps réel : les boules sont des corps dotés d’une masse, d’une inertie, d’un frottement et d’un coefficient de restitution, mus par la gravité, un rotor de brassage et un champ d’air, et la boule tirée est celle qui tombe physiquement par la sortie. C’est un modèle physique crédible d’une machine de tirage, pas l’enregistrement d’une machine réelle.

Machine de tirage du SuperEnalotto : 90 boules brassées pendant la sélection d’une boule — 90 boules du SuperEnalotto dans la chambre simulée

Moteur et coordonnées

La physique s’exécute dans Rapier 3D (version 0.14, WebAssembly) ; le rendu utilise Three.js (r169). Le repère est direct, avec $+y$ vers le haut et l’origine au centre de la chambre ; l’axe du rotor est l’axe horizontal $x$ et $+z$ pointe vers l’observateur.

Chambre : une sphère de rayon $R = 3.0$ unités, construite comme un maillage triangulaire à normales tournées vers l’intérieur, avec une sortie circulaire au fond (demi-angle $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Boules : des sphères de rayon $r = 0.2$ et de densité 1 ; une boule par numéro, de 5 à 90 boules.
Rotor : un arbre cinématique à six bras dont les pales en forme de capsule sont dimensionnées pour s’arrêter à 0.14 unité de la paroi de verre dans leur plan de rotation, plus un rotor plus petit à trois bras dont le sens de rotation alterne d’une phase de brassage à l’autre.
Porte : un bouchon cylindrique placé dans la sortie, retiré lorsqu’une boule peut sortir.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Masse, moment d’inertie et poids d’une boule en unités du modèle.

Échelle et similitude de Froude

Une unité du modèle vaut 10 cm : une boule de 40 mm mesure 0.4 unité et la chambre est une sphère de 600 mm. La gravité est réduite à $30$ unités/s² au lieu des $98.1$ réels. Un mouvement dominé par la gravité et l’inertie a le même aspect lorsque le nombre de Froude est identique ; la simulation correspond donc à une machine de taille réelle dont l’horloge serait ralentie :

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Les grandeurs primées appartiennent au modèle. À nombre de Froude égal et longueur égale, les vitesses sont multipliées par √γ et les durées par 1/√γ.

Forces

Chaque boule obéit à la deuxième loi de Newton avec les forces que le code applique réellement :

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D traînée de l’air, F_W paroi analytique, F_S aspiration à la sortie, F_C contacts avec les boules, le rotor et la porte (calculés par Rapier) ; τ les couples correspondants. Rapier applique aussi un léger amortissement linéaire et angulaire, et les vitesses sont plafonnées à 22 unités/s et 105 rad/s par mesure de sécurité.

Champ d’air et traînée quadratique

La soufflante est modélisée par un champ prescrit de vitesse de l’air $\mathbf u(\mathbf x, t)$  ; chaque boule subit une traînée quadratique qui la ramène vers la vitesse locale de l’air. La constante de traînée est fixée par une vitesse terminale de 48 unités/s :

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

Dans l’air immobile, une boule en chute atteint v_t = √(g/k_d) = 48 unités/s, soit environ 8.7 m/s à l’échelle réelle.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Courant ascendant central : maximal sur l’axe près du fond (102 à y = −3, 68 au centre, 34 en haut) ; ρ_h est la distance horizontale à l’axe.

Tourbillon : une rotation horizontale de 11 unités/s autour de l’axe vertical.
Flux centripète : au-delà de 60% du rayon, jusqu’à $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ vers le centre, pour que les boules continuent de circuler au lieu de rester collées à la paroi.
Turbulence : un bruit de valeurs tridimensionnel lisse, d’amplitude 58, qui dérive dans le temps ; c’est une fonction déterministe fixe, pas un générateur de nombres aléatoires.
Rafales anti-blocage : une boule qui reste trop longtemps au fond, en haut, contre la paroi ou presque immobile reçoit une rafale locale ajoutée à la vitesse de l’air, qui agit elle aussi par la traînée.

Paroi sphérique analytique

En plus du maillage, la paroi de verre est imposée comme une sphère exacte au niveau des vitesses, ce qui empêche l’effet tunnel et assure un roulement correct. Avec la normale sortante $\hat{\mathbf n}$ , la vitesse sortante $v_n$ et la pénétration $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Tolérance de contact spéculatif v* et restitution e (e_b est la restitution de la boule ; e est nulle sous la vitesse de tolérance, pour qu’une boule au repos ne puisse pas vibrer).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Réponse normale, appliquée seulement si v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Frottement de Coulomb au point de contact ; s est la vitesse de glissement tangentielle v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), où μ_b est le frottement de la boule.

Contacts entre corps

Les contacts boule–boule, boule–rotor et boule–porte sont résolus par le solveur de contraintes de Rapier, avec détection continue des collisions pour les boules. Les coefficients sont combinés par moyenne :

Paire	Frottement	Restitution
boule – boule	0.16	0.55
boule – verre	0.255	0.415
boule – pale	0.19	0.525
boule – bras ou arbre	0.17	0.35
boule – porte	0.23	0.375

L’amortissement est faible pendant le tirage (linéaire 0.05, angulaire 0.035) et fort pendant que les boules se stabilisent (2.4). Il n’y a pas de paramètre de résistance au roulement : le roulement ne ralentit que par l’amortissement et le frottement de contact.

Pas de temps et intégration

La simulation avance par pas fixes, indépendants de la fréquence de rafraîchissement de l’écran ; chaque image exécute autant de pas fixes que le temps réel l’exige, cinq au maximum :

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Accumulateur à pas fixe : une image de durée Δt_f exécute n pas fixes (5 au maximum) ; chaque pas est divisé en 2 sous-pas Rapier de h = 1/120 s avec 6 itérations du solveur.

Dans un sous-pas, le moteur met à jour les vitesses à partir des forces, puis les positions à partir des nouvelles vitesses — le schéma d’Euler semi-implicite (symplectique) employé par les moteurs à impulsions, présenté ici comme principe général :

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Forme générale : F désigne les forces appliquées, F_c les forces de contrainte (de contact) déterminées par le solveur itératif de Rapier.

Les forces propres à l’application (air, paroi, aspiration) sont calculées une fois par pas à partir de l’état au début du pas et maintenues pendant les deux sous-pas. Le rotor est cinématique et sa consigne est réajustée à chaque sous-pas :

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Approche exponentielle de la vitesse du rotor vers sa consigne ; le brassage passe cycliquement par 2.4, 2.9, 2.1 et 2.7 rad/s.

Comment une boule est sélectionnée

Après 1 s de démarrage et 2.6 s de brassage, la porte s’ouvre. Tant que la sortie est ouverte, le courant ascendant au-dessus d’elle s’efface progressivement, le jet central est réduit à 62% et une aspiration d’environ 2.2 fois le poids d’une boule (environ 4 au bout de 5 s) attire les boules proches de la sortie :

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Aspiration près de la sortie (y < −1.6 et distance horizontale < 0.6) ; t_c est le temps écoulé depuis l’ouverture de la porte.

La boule tirée est la première dont le centre passe sous $y = -3.18$  ; si plusieurs y parviennent au même pas, c’est la plus basse. Aucun nombre aléatoire n’est consulté à ce moment-là. Les nombres aléatoires d’un tirage sont le placement initial des boules ainsi qu’une petite vitesse et une petite rotation initiales, issus de la Web Crypto API (et de nouveau lorsqu’un ensemble bonus distinct est chargé). La boule suit ensuite le chemin de sortie jusqu’au présentoir ; ce mouvement est scripté, pas simulé.

Rendu, simulation et aléa

Simulation : pas fixes de 1/60 s ; les préréglages de qualité (ultra, élevée, moyenne, basse) ne modifient que les ombres, le bloom, la résolution et le niveau de détail des maillages, jamais la physique.
Rendu : chaque image affiche le dernier pas achevé ; il n’y a pas d’interpolation entre les pas.
Aléa : les forces sont déterministes ; le résultat dépend du placement initial et, à partir de la deuxième boule, aussi du temps que prend sur l’appareil la présentation de la boule précédente, si bien qu’un tirage ne peut pas être rejoué à l’identique.

5. Statistiques des tirages réels

Les écrans d’analyse décrivent les tirages historiques. Ils répondent aux questions « que s’est-il passé ? » et « est-ce compatible avec une loterie équitable ? », jamais à « que va-t-il se passer ? ».

Fréquences, numéros chauds et froids

Pour chaque numéro, l’application compte les apparitions dans la fenêtre et les affiche à côté de l’effectif attendu d’une loterie équitable ; l’écart type est donné ici à titre de référence :

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Effectif attendu (affiché dans l’application) et son écart type (pour référence) pour un numéro sur D tirages indépendants.

Chauds et froids : les cinq numéros les plus fréquents et les cinq moins fréquents, chacun avec son effectif attendu (au moins 5 tirages sont nécessaires).
Barres de fréquence : en rouge lorsque la part d’un numéro dépasse 1.3 fois la part attendue, en bleu lorsqu’elle descend sous 0.7 fois.
Carte de chaleur : couleur obtenue par normalisation min–max $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Carte de chaleur Eurojackpot des 50 numéros principaux, colorée du bleu au rouge — Carte de chaleur : la couleur ne montre que la fréquence passée

Test d’équité : χ² avec correction

Le test du χ² vérifie si les effectifs sont compatibles avec des probabilités égales. Dans un tirage, les $k$ numéros sont pris sans remise, ce qui rend les effectifs négativement corrélés ; la statistique multinomiale simple est alors trop petite, et l’application la corrige :

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Statistique de Pearson avec la correction pour tirage sans remise ; au moins 10 tirages sont nécessaires.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Fonction gamma incomplète supérieure régularisée, calculée par développement en série et par fraction continue.

Valeur p	Verdict
$p > 0.05$	pas d’écart significatif
$0.01 < p \le 0.05$	écart à la limite de la significativité
$p \le 0.01$	écart statistiquement significatif

Test Q positionnel

Avec au moins 30 tirages complets, l’application teste aussi la moyenne de chaque position triée (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). Le $i$ -ème plus petit de $k$ numéros tirés dans $1..N$ a pour moyenne et covariance

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ est le vecteur des différences entre les moyennes observées par position et μ, sur m tirages.

Paires, comparaisons et contrôles

Paires : une matrice 12 × 12 indiquant combien de fois les 12 numéros les plus fréquents sont sortis ensemble (au moins 10 tirages). Ce sont des effectifs bruts ; à titre de référence, l’effectif attendu d’une paire donnée dans des tirages équitables est $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Comparaison des loteries : probabilités de jackpot, prix, coût de l’achat de toutes les combinaisons.
Contrôle mathématique : l’application recalcule $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ et le compare à la constante enregistrée, puis recherche dans les tirages de la fenêtre d’analyse les erreurs de plage, les nombres de boules incorrects et les dates en double.
Rangs de gains : les tableaux de gains officiels par tirage. L’illustration du tirage fait la moyenne des 60 derniers tableaux de gains réels ; ce n’est que pour une loterie dépourvue de toute donnée de gains qu’elle estime le nombre de gagnants à partir des probabilités par rang de la section 8 et d’un volume de ventes supposé, si bien que ces chiffres sont purement illustratifs.

Simuler une vie de joueur

La simulation sur 50 ans utilise la probabilité d’au moins un jackpot en $T$ billets indépendants :

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Probabilité d’au moins un jackpot en T billets ; C est le nombre de combinaisons du jackpot, d le nombre de tirages par semaine, r le nombre de lignes par tirage.

6. Analyse calendaire

L’analyse calendaire recherche des coïncidences entre les dates de tirage et les numéros tirés — par exemple le jour du mois figurant parmi les boules — et compare chaque taux observé au taux que produirait le pur hasard.

Sélection des tirages

Les tirages peuvent être filtrés par année, par mois, par même mois sur toutes les années ou par plage de dates, ainsi que par époque de règles. Les listes de fréquences (chauds, froids, absents depuis le plus longtemps) utilisent les effectifs bruts de la sélection ; un numéro impossible dans toutes les époques sélectionnées est écarté, et une sélection qui mélange plusieurs époques est signalée par un avertissement, car un numéro valable uniquement dans l’époque la plus récente paraît faussement « froid ». Les règles de date ci-dessous tiennent compte des époques : un tirage ne compte pour une règle que si au moins un candidat est un numéro valable selon les règles propres à ce tirage.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Taux observé d’une règle de date : C_t sont les numéros candidats du tirage t, X_t ses numéros tirés, Ω_t les numéros valables selon ses règles ; ℰ désigne les tirages éligibles.

Dix règles de date

Règle	Numéros candidats pour un tirage du JJ.MM.AAAA
jour	JJ
mois	MM
année	AAAA mod 100
heure	l’heure du tirage, lorsque l’opérateur la publie
chiffres de l’année	les chiffres distincts de AAAA
somme des chiffres de l’année	somme des chiffres de AAAA
somme de l’année à deux chiffres	somme des chiffres de AAAA mod 100
somme des chiffres du jour	somme des chiffres de JJ
somme des chiffres de la date	somme de tous les chiffres de JJ, MM et AAAA
racine numérique	la somme des chiffres de la date réduite à un seul chiffre

Un candidat égal à 0 est ignoré, et un tirage ne compte qu’une fois pour une règle, même lorsque plusieurs de ses numéros correspondent.

Espérance aléatoire

Pour un tirage de $k$ numéros parmi $S$ valeurs possibles et un ensemble de $m$ numéros candidats, la probabilité qu’aucun candidat ne soit tiré suit la loi hypergéométrique :

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀ : aucun candidat n’est tiré ; P≥1 : au moins un l’est. Les candidats situés hors de la plage de l’époque du tirage sont écartés.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Taux de correspondance attendu r̂ sur les tirages éligibles ℰ, chacun selon sa propre époque ; P^M et P^B, pour les ensembles principal et bonus, sont combinés comme s’ils étaient indépendants.

Correspondances calendaires avec les taux observés à côté de l’espérance aléatoire — Correspondances calendaires comparées au hasard

Interpréter les taux

Les paires sont listées à partir de 30 tirages et les triplets à partir de 120 (uniquement les combinaisons vues au moins deux fois, les dix plus fréquentes) ; en dessous de 100 tirages, un avertissement de petit échantillon s’affiche. Avec 100 tirages, un taux proche de 20% a encore une bande à 95% d’environ $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ points de pourcentage.

7. Archive historique et époques de règles

Les loteries changent de règles. Un tirage n’a de sens qu’avec les règles en vigueur à sa date ; c’est pourquoi chaque tirage enregistré porte sa version des règles.

Époques de règles

Loterie	Époques (principaux · bonus)
Lotto (Norvège)	7/34 + 3 complémentaires → 7/34 + 1 complémentaire (depuis le 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + complémentaire et numéro chance → numéro Viking 1–8 (2017) → 1–5 (depuis le 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (depuis le 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (depuis le 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (depuis le 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (depuis le 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly depuis 1997 ; le SuperStar provient d’une machine distincte et est exclu des modèles
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (depuis le 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (depuis le 19.04.2018)

Règle de compatibilité

Les modèles et les analyses n’utilisent que les tirages comparables aux règles actuelles. Deux époques sont comparées groupe par groupe :

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

L’époque e est comparable pour les numéros principaux lorsque le nombre et la plage concordent (à gauche), et pour les numéros bonus lorsque chaque groupe bonus 𝓑 concorde (à droite). Un tirage dont les numéros principaux sont comparables mais dont les règles bonus diffèrent conserve ses numéros principaux et perd ses numéros bonus.

Historique Eurojackpot avec la fiche de l’époque des règles actuelles et les tirages marqués de leur version des règles — L’archive indique pour chaque tirage son époque de règles

8. Probabilités et limites

Chaque tirage officiel est une expérience aléatoire indépendante. Aucun historique, modèle, tribunal ni simulation ne change la probabilité d’une combinaison.

Probabilité du jackpot

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Probabilité de jackpot d’une ligne selon les règles actuelles (à droite : Eurojackpot) ; les loteries sans numéro bonus pour le joueur n’utilisent que le premier facteur.

Loterie	Règles	Probabilité du jackpot
Lotto (Norvège)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Tous les rangs de gains

Trouver exactement $i$ des $k$ numéros principaux et $j$ des $b$ numéros bonus a pour probabilité le produit de deux probabilités hypergéométriques :

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Pour une boule supplémentaire tirée dans la même machine (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max), le second facteur vaut (k−i)/(N−k) pour « +1 ».

Rang Eurojackpot	Probabilité
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Pourquoi aucune méthode ne peut battre le hasard

Si les tirages sont indépendants et que toutes les combinaisons sont équiprobables, la probabilité conditionnelle du prochain tirage sachant un historique quelconque est la même que sans cet historique, et le nombre attendu de numéros principaux trouvés est le même pour chaque ligne, quelle que soit la façon dont elle a été produite :

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H est le nombre de numéros principaux trouvés par une ligne. Eurojackpot : 5 · 5/50 = 0.5 par ligne, quelle que soit la méthode.

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