Matemática e tecnologia

A matemática, a estatística, os algoritmos e a física reais por detrás do Lotto Simulator — extraídos do código que é executado na aplicação.

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Como ler esta página

Todas as fórmulas que se seguem foram copiadas da implementação, e não de uma brochura. Quando um componente é uma regra determinística ou uma heurística, e não uma fórmula, descrevemos o algoritmo exatamente como é executado, sem lhe inventar matemática.

O Lotto Simulator é um ambiente analítico, educativo e de simulação. Gera combinações com dezasseis métodos, submete-as a um Tribunal Matemático composto por doze jurados, seis advogados de defesa e um Juiz Supremo, testa a equidade de históricos reais de sorteios, analisa coincidências de calendário e reproduz um tambor de lotaria físico em 3D. Nada disto altera a probabilidade de qualquer número num sorteio oficial — a secção 8 explica porquê, com números concretos.

Notação utilizada ao longo da página

onde

$N$: dimensão do conjunto dos números principais (por exemplo, 50 no Eurojackpot)
$k$: quantos números principais são sorteados e jogados (5 no Eurojackpot)
$B,\; b$: dimensão do conjunto separado de números bónus e quantos números bónus são jogados (12 e 2 no Eurojackpot)
$D$: número de sorteios passados na janela de análise selecionada
$c_n$: quantas vezes o número $n$ saiu entre os números principais desses $D$ sorteios
$t = 0, 1, \dots$: índice do sorteio, do mais recente para o mais antigo: $t = 0$ é o último sorteio
$\binom{n}{r}$: coeficiente binomial, o número de maneiras de escolher $r$ elementos de entre $n$

1. Arquitetura do sistema

Uma aplicação, uma única base de código: a mesma aplicação web corre nos navegadores de computador e de dispositivos móveis e, sem alterações, dentro das aplicações iOS e Android (Capacitor WebView). A computação pesada e paga é executada no servidor; tudo o que o utilizador vê é apresentado no próprio dispositivo.

Dispositivo (web, iOS, Android)Interface, boletim e conjuntos de trabalho, os quatro métodos FREE do gerador, gráficos de frequência, teste χ², cálculos de calendário, tambor 3D. O Puro aleatório e o tambor 3D obtêm a sua aleatoriedade da Web Crypto API.
Funções edge (TypeScript, Deno)Os doze métodos PRO do gerador, todos os dezanove modelos do Tribunal, os doze jurados, os seis advogados, o Juiz Supremo, os esquemas de desdobramento e o registo de previsões. O Tribunal funciona com fluxos aleatórios reprodutíveis, gerados a partir de sementes.
Base de dados (PostgreSQL)Resultados oficiais dos sorteios com a respetiva versão das regras, tabelas de prémios, contas e direitos de acesso, o registo de previsões, no qual só se acrescentam entradas, e a respetiva avaliação.
Pipeline de dadosTarefas agendadas recolhem os resultados oficiais, validam cada sorteio face às regras da sua era e publicam o conjunto de dados das regras atuais.

Quem calcula o quê

No navegador: os métodos FREE (Números quentes, Combinado, Cobertura do segmento, Puro aleatório) e toda a estatística descritiva. A versão pública remove fisicamente do cliente as implementações PRO: as respetivas funções são substituídas por funções vazias (stubs), pelo que um resultado PRO só pode vir do servidor.
No servidor: todos os métodos PRO, todo o Tribunal Matemático e o Juiz Supremo. Um pedido indica a lotaria, o método, o número de linhas (1–50) e a janela de análise; é o próprio servidor que carrega os sorteios, pelo que o cliente não lhe pode fornecer um histórico inventado.
Regra de recusa segura (fail-closed): um modelo do servidor precisa de, pelo menos, 5 sorteios na janela de análise selecionada. Com menos, recusa-se com uma resposta explícita de «histórico insuficiente», em vez de produzir linhas a partir do nada.

Cálculo reprodutível do Tribunal

Cada jurado, advogado e modelo do Tribunal funciona com o seu próprio fluxo pseudoaleatório, cuja semente é um hash da versão do algoritmo, da persona, da lotaria, do histórico completo de sorteios e da data do sorteio-alvo. Os mesmos dados produzem, por isso, sempre o mesmo veredicto, e qualquer alteração ao histórico altera todos os fluxos.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Semente de um cálculo do Tribunal e fluxo de números uniformes dela extraído.

onde

$v$: versão do algoritmo do motor do Tribunal
$\kappa$: chave da persona ou do modelo, por exemplo o identificador de um jurado
$H$: todos os sorteios da janela, números principais e bónus, por ordem
$g,\; d$: identificador da lotaria e data do sorteio-alvo
$h_0$: a base de deslocamento (offset basis) do FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ calcula o hash do texto $x$ a partir do estado $h$
$u_i$: o $i$ -ésimo número aleatório uniforme do fluxo

Persistência e proveniência

Cada combinação tem um registo de proveniência: a sua origem (método do gerador, jurado, consenso do júri, desdobramento, sorteio 3D, Juiz Supremo, introdução manual), os números com que começou e um registo de eventos, no qual só se acrescentam entradas, com revisões, propostas, posições dos advogados, veredictos, decisões e transformações (no máximo 200 eventos). Um registo só é aceite se a reaplicação das suas transformações aos números iniciais reproduzir exatamente a linha; caso contrário, a linha é apresentada como tendo origem indisponível.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Verificação da proveniência: a linha atual R_m tem de ser igual à linha inicial R_0 com cada substituição registada τ₁ … τₘ aplicada por ordem.

Linhagem: quando uma linha é editada manualmente, é criado um novo registo cujo pai é o anterior (são guardados até quatro registos anteriores), pelo que o histórico anterior à alteração manual continua visível.
Registo de previsões: cada recomendação (uma linha gerada, uma substituição proposta por um jurado, a posição de um advogado, um veredicto) é escrita num registo antes do sorteio-alvo e avaliada automaticamente após a publicação do resultado oficial.

2. Gerador principal: dezasseis métodos

O gerador oferece dezasseis opções. Quatro métodos FREE correm no navegador; doze métodos PRO correm no servidor. Todos escolhem $k$ números distintos de $1..N$ , mais os números bónus da lotaria; diferem apenas na forma como os números são ponderados ou construídos.

O Gerador de combinações com a quantidade, o método de análise e os três filtros predefinidos — O painel do gerador: seletor de método e filtros predefinidos

Componentes comuns

Os métodos ponderados atribuem um peso $w_n \ge 0$ a cada número e depois sorteiam sequencialmente sem reposição: cada escolha retira o número e renormaliza os pesos restantes.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Amostragem ponderada sequencial sem reposição, usada por todos os métodos baseados em pesos.

onde

$x_j$: o $j$ -ésimo número escolhido para a linha, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: o peso atribuído pelo método ao número $n$

Aleatoriedade: no navegador, o Puro aleatório e o passo de unicidade usam a Web Crypto API, enquanto os Números quentes, o Combinado e a Cobertura do segmento usam o gerador padrão do navegador (Math.random). No servidor, os métodos recorrem a aleatoriedade criptográfica, exceto o Modelo físico (gerador padrão) e a semente do Caos, que mistura aleatoriedade criptográfica com um temporizador de alta resolução. No navegador, um inteiro não enviesado em $0..M-1$ é obtido por amostragem por rejeição, de modo que nenhum resto é favorecido:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Amostragem por rejeição: um valor criptográfico de 32 bits x é sorteado de novo até ficar abaixo do maior múltiplo de M, sendo depois reduzido módulo M.

Números bónus

Os números bónus (Eurojackpot 2 de 12, EuroMillions 2 de 12, Powerball 1 de 26, Mega Ball 1 de 24, número Viking 1 de 5, Powerball AU 1 de 20) são sorteados a partir do seu próprio conjunto, independentemente dos números principais. O Lotto, o SuperEnalotto e o Lotto Max não têm número bónus para o jogador: a bola adicional é sorteada pelo operador a partir do tambor principal.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Peso w′ⱼ do número bónus j com contagem bónus c′ⱼ para o método μ: freq = Números quentes; rnd, phys, chaos, world = Puro aleatório, Modelo físico, Caos, métodos Mundiais; todos os restantes métodos usam c′ⱼ + 2. Com menos de 5 sorteios, todos os métodos usam pesos uniformes.

Filtros FREE e unicidade

As linhas produzidas no navegador passam por três filtros ativados por predefinição: os números não podem ser todos pares nem todos ímpares; a soma tem de estar dentro de um intervalo; não pode haver uma sequência de mais de três números consecutivos. Uma linha rejeitada é substituída por uma linha uniformemente aleatória que passe nos filtros (os seus números bónus são sorteados com os pesos de Bayes $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Intervalo de soma predefinido. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, intervalo 73–183.

Para evitar entregar a mesma combinação duas vezes no mesmo dispositivo, cada linha FREE é identificada pela posição lexicográfica dos seus números principais entre todas as $\binom{N}{k}$ combinações e comparada com as últimas 20 000 linhas emitidas para essa lotaria; uma posição repetida é alterada por trocas aleatórias e, em último recurso, é usada a próxima posição livre de uma permutação afim aleatória de todas as posições. Uma linha alterada desta forma não volta a ser verificada pelos filtros.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Posição lexicográfica de uma combinação e percurso afim de período completo sobre todas as posições.

Percursos de execução FREE e PRO

Percurso	Métodos	Onde é executado	Linhas por execução	Histórico
FREE	Números quentes, Combinado, Cobertura do segmento, Puro aleatório	navegador	até 5 (até 50 para utilizadores PRO)	a janela FREE de sorteios recentes
PRO	os outros doze métodos	servidor	até 50	a janela de análise selecionada, com pelo menos 5 sorteios

Números quentes

FREENo navegador

Objetivo: favorecer os números que saíram mais vezes na janela de análise.

w_n = c_n + 0.05

Peso do número n; com menos de 5 sorteios, todos os pesos são iguais a 1.

Detalhes avançados

Combinado

FREENo navegador

Objetivo: misturar números quentes, intermédios e frios numa proporção fixa.

Os números são ordenados por $c_n$ (em caso de empate, o menor número fica primeiro) e divididos em terços de dimensão $\lceil N/3 \rceil$ : quentes, intermédios e frios. A linha $i$ faz escolhas uniformes dentro de cada terço:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

A linha i recebe h números quentes, mᵢ intermédios e cᵢ frios; as linhas ímpares e pares trocam entre si as quotas de intermédios e de frios.

Detalhes avançados

Cobertura do segmento

FREENo navegador

Objetivo: distribuir uma linha de forma equilibrada por toda a gama de números.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Um número uniforme de cada um de k segmentos consecutivos; o último segmento fica com o resto.

Detalhes avançados

Puro aleatório

FREENo navegador

Objetivo: a referência honesta — todos os números são igualmente prováveis.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Um baralhamento criptográfico de Fisher–Yates dá a todas as combinações a mesma probabilidade antes da filtragem.

Detalhes avançados

Matriz de desdobramento

PROServidor

Objetivo: construir várias linhas que, em conjunto, cubram o maior número possível de pares de um pequeno conjunto de números — um esquema de cobertura construído por um algoritmo guloso.

O conjunto tem $\min(N, k+5)$ números, retirados alternadamente dos terços quente, frio e intermédio. Todas as $\binom{|P|}{k}$ combinações do conjunto são candidatas (acima de 40 000 é usada uma amostra aleatória); cada passo acrescenta a candidata com a melhor pontuação e marca os seus pares como cobertos:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Pontuação gulosa de cobertura de pares; os empates são desfeitos de forma uniformemente aleatória.

Detalhes avançados

onde

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: os pares da linha candidata $R$ e os pares já cobertos pelas linhas escolhidas
$u_n$: quantas das linhas já escolhidas contêm o número $n$
$[\,\cdot\,]$: vale 1 se a condição se verificar e 0 caso contrário

Mundial quente e Mundial combinado

PROServidor

Objetivo: transferir o perfil de frequências das nove lotarias suportadas para a lotaria atual.

Cada número sorteado $x$ de cada lotaria $g$ é convertido na sua posição relativa $q = (x-1)/(N_g - 1)$ e espalhado pelos números da lotaria atual com um núcleo gaussiano estreito; cada lotaria recebe o mesmo peso por sorteio, e a frequência própria da lotaria atual é somada mais uma vez:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Pontuação mundial do número n; X_g são todos os números principais sorteados na lotaria g (até 400 sorteios recentes com as regras atuais, D_g sorteios).

Detalhes avançados

Mundial quente: $k$ escolhas uniformes entre os $\max(3k, 12)$ números com a pontuação mais alta.
Mundial combinado: $\lceil 0.45k \rceil$ do terço superior, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ do terço inferior e o resto do terço intermédio. Os números bónus são uniformes.

Cadeias de Markov

PROServidor

Objetivo: ponderar os números pela frequência com que se seguiram aos números do sorteio anterior.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Probabilidade de transição de primeira ordem com suavização de Laplace, em média sobre o último sorteio L.

Detalhes avançados

onde

$T(a \to b)$: quantas vezes o número $b$ saiu no sorteio imediatamente a seguir a um sorteio que continha $a$
$L$: os números principais do último sorteio

Gauss · teorema do limite central

PROServidor

Objetivo: construir linhas cuja soma seja típica. A soma de $k$ números sorteados sem reposição tem

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Média e variância da soma da linha em amostragem sem reposição (substituídas pelos valores empíricos quando existem pelo menos 5 somas).

Detalhes avançados

Cada número é ponderado por uma gaussiana centrada no valor médio por posição, e são sorteadas até 40 linhas candidatas; vence aquela cuja soma está mais próxima de $\mu$ (a pesquisa termina mais cedo se a diferença for inferior a $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Peso por número do método Gauss.

Modelo de intervalo Δ

PROServidor

Objetivo: imitar o espaçamento entre números vizinhos nos sorteios reais.

A partir dos últimos 120 sorteios, o método recolhe o menor número de cada sorteio e todas as diferenças entre números vizinhos ordenados. Uma linha é construída como um início aleatório mais diferenças aleatórias; uma linha que ultrapasse $N$ é rejeitada (até 300 tentativas; depois, uma linha uniforme):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Bootstrap empírico dos primeiros números e dos intervalos; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) é o sorteio t ordenado.

Detalhes avançados

Bayes · Dirichlet

PROServidor

Objetivo: frequência com contração em direção à distribuição uniforme.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Média a posteriori de uma distribuição a priori de Dirichlet(α) simétrica, atualizada pelas contagens observadas; o método amostra com pesos c_n + 3.

Detalhes avançados

Análise de ausências

PROServidor

Objetivo: favorecer os números que não saem há muito tempo.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n é o índice do sorteio mais recente que contém n (0 = o último sorteio); um número nunca visto recebe D + ḡ.

Detalhes avançados

Modelo físico do tambor

PROServidor

Objetivo: deixar que uma simulação 2D simplificada decida a ordem de saída.

$N$ discos de raio $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ movem-se num quadrado unitário sujeitos a rajadas de ar aleatórias, a uma deriva constante em direção à saída, a amortecimento e a colisões elásticas entre massas iguais; é sorteado o disco que sai pela abertura situada a meio da parede inferior.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Um passo do modelo 2D (y aponta para baixo, em direção à saída; no máximo 2400 passos). Um disco sai quando 0.43 < x < 0.57 na parede inferior; se saírem menos de k discos, a linha é completada uniformemente.

Detalhes avançados

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Colisão elástica entre massas iguais: as componentes normais das velocidades são trocadas.

Caos · mapa logístico

PROServidor

Objetivo: demonstrar que um sistema totalmente determinístico pode ser imprevisível.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Após 100 iterações de aquecimento a partir de uma semente aleatória, os valores são recolhidos até se obterem k números distintos.

Detalhes avançados

Colapso quântico

PROServidorExperimental

Objetivo: um peso em contracorrente que favorece os números raramente sorteados.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Peso de «barreira de frequência»; os números aleatórios provêm de uma reserva (buffer) de valores criptográficos de 16 bits.

Detalhes avançados

Sistema de paradoxos

PROServidorExperimental

Objetivo: linhas de investigação construídas sobre propriedades contraintuitivas das combinações aleatórias. São usados cinco arquétipos, alternadamente:

Multidão: prefere números acima de 31 em conjuntos de pelo menos 42 números (os dias de aniversário terminam em 31), com peso 2.6 acima do limiar e 0.28 abaixo, ×1.1 para os múltiplos de 10, e depois impõe pelo menos $\lceil 0.6k \rceil$ números acima do limiar. Menos pessoas jogam esses números, pelo que um prémio seria partilhado com menos vencedores — a probabilidade de ganhar não se altera.
Choque: metade da linha provém dos números mais frequentes e o resto dos que estão ausentes há mais tempo.
Agrupamento: contém um par de números consecutivos — uma propriedade muito mais comum nos sorteios aleatórios do que a intuição sugere:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot cerca de 35%, Lotto 7/34 cerca de 78%.

Detalhes avançados

Espelho: emparelha $n$ e $N + 1 - n$ .
Regressão: os números cuja taxa recente (últimos 10 sorteios) mais difere da sua taxa de longo prazo.

3. O Tribunal Matemático

O Tribunal analisa uma combinação que já tem. Os jurados e os modelos podem propor a substituição de um número; os advogados de defesa argumentam a favor ou contra cada proposta; o Juiz Supremo decide com base num campo estrutural de sorteios passados. Os números só mudam por decisão sua — e cada passo fica registado.

Seleção dos doze jurados em torno do emblema do Tribunal — O júri: doze personas, cada uma com a sua própria estratégia matemática

As fases de um processo

Proposta. Um jurado ou um modelo examina todas as trocas possíveis de um único número da linha e propõe, no máximo, uma substituição — ou propõe manter a linha.
Defesa. Os advogados tomam posição sobre cada proposta: apoio, objeção ou protesto. Um advogado nunca propõe nem aplica um número.
Veredicto. O Juiz Supremo aceita a proposta, apresenta uma alternativa ou mantém o número, com base no campo estrutural de sorteios passados.
Decisão. Só o utilizador altera os números: pode aceitar uma proposta, seguir a defesa, aceitar o veredicto do Juiz, manter o original ou reverter. Cada decisão é guardada juntamente com o seu autor.

De um modelo a uma preferência por número

Cada modelo é reduzido a uma preferência relativa $\operatorname{rel}(n)$ para cada número, em que 1 significa «a média do modelo», acompanhada de um erro-padrão. Os modelos definidos por um vetor de pesos explícito são exatos; os restantes são medidos através da sua execução:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Preferência relativa exata dos Números quentes, Markov, Gauss, Bayes, Análise de ausências, Colapso quântico, Quântico-astral e Campo estrutural.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Preferência de Monte Carlo dos modelos procedimentais: X₁ … X_R são R = 600 linhas do modelo geradas com semente (120 no caso do modelo físico). O Consenso, por sua vez, faz a média de três execuções (ver a respetiva ficha).

Os dezanove modelos

O Tribunal usa os dezasseis métodos do gerador da secção 2 e mais três modelos próprios. Quatro deles não usam histórico e estão registados como não tendo preferência por nenhum número (Cobertura do segmento, Puro aleatório, Modelo físico, Caos); na prática, a Cobertura do segmento favorece os números dos segmentos curtos quando $k$ não divide $N$ , e o Caos favorece as extremidades da gama, como mostram as respetivas fichas. Dois modelos são compostos (Consenso e Campo estrutural).

Modelo	Tipo	Base
Números quentes	pesos	$c_n + 0.05$
Combinado	amostragem	terços quente / intermédio / frio
Cobertura do segmento	amostragem, sem histórico	um número por segmento
Puro aleatório	amostragem, uniforme	baralhamento de Fisher–Yates
Cadeias de Markov	pesos	transições suavizadas a partir do último sorteio
Gauss · TLC	pesos	gaussiana centrada em $\mu/k$
Modelo de intervalo Δ	amostragem	bootstrap dos intervalos
Bayes · Dirichlet	pesos	$c_n + 3$
Análise de ausências	pesos	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Modelo físico	amostragem, sem histórico	simulação de discos em 2D
Caos	amostragem, sem histórico	mapa logístico, enviesado para as extremidades
Colapso quântico	pesos, experimental	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Sistema de paradoxos	amostragem, experimental	cinco arquétipos
Quântico-astral	pesos, experimental	signo e iluminação da Lua
Matriz de desdobramento	amostragem	esquema de cobertura de pares
Mundial quente	amostragem	perfil de núcleo entre lotarias
Mundial combinado	amostragem	perfil de núcleo entre lotarias
Consenso de modelos	ensemble	14 modelos membros
Campo estrutural	composto	seis componentes descritivos

Campo estrutural

Servidor

O campo é a medida do Juiz Supremo: um composto de seis componentes descritivos, com pesos fixados manualmente. As frequências, a conectividade e a cobertura de pares são divididas pelo respetivo máximo sobre todos os números; a recência e a tipicidade já se situam em $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Pontuação do campo estrutural do número n, de 0 a 100.

Detalhes avançados

onde

$A_n,\ S_n$: frequência em toda a janela e nos últimos $\max(3, \min(10, D))$ sorteios
$G_n$: recência, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: soma dos lifts dos pares $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ sobre todos os parceiros $m$ , sendo $O_{nm}$ o número de sorteios que contêm ambos
$T_n$: tipicidade estrutural média dos sorteios que contêm $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , sendo $e$ a proporção de números pares e $z_S$ a soma padronizada
$P_n$: cobertura de pares, o número total de observações de pares que envolvem $n$

Consenso de modelos

Servidor

Catorze modelos membros, de doze famílias, produzem 10 linhas cada um; um número pontua consoante o número de modelos e de famílias que o escolheram, a frequência com que o fizeram e a regularidade dessas escolhas:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Pontuação de consenso; o Tribunal faz a média de três execuções independentes e usa a sua dispersão como erro-padrão.

Detalhes avançados

onde

$M_n,\ F_n$: número de modelos membros e de famílias de modelos cujas linhas contêm $n$
$f_n$: número total de linhas que contêm $n$
$\operatorname{stab}_n$: número médio de aparições por modelo membro que escolheu $n$ , dividido por 10

Modelo quântico-astral

ServidorExperimental

Um modelo de entretenimento que pondera os números em função da Lua na data do sorteio-alvo, a que se junta uma pequena parcela do campo estrutural:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Peso quântico-astral; σ ∈ {0,…,11} é o signo do zodíaco correspondente à longitude eclíptica da Lua na data do sorteio-alvo e I é a iluminação em percentagem.

Detalhes avançados

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Iluminação da Lua em percentagem, a partir da idade A no mês sinódico de duração P (em dias).

Como um modelo analisa uma linha

Para cada troca possível $a \to b$ — o número $a$ sai da linha e o número $b$ entra — o modelo calcula o ganho e o respetivo ruído. Um ganho só conta se for estatisticamente claro; uma perda conta sempre.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Análise pelo modelo. Os modelos de pesos exatos têm SE = 0, pelo que os seus ganhos contam sempre; a troca é admitida quando effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Erro-padrão de uma troca para um modelo amostrado: a proporção combinada sob a hipótese de que a e b são igualmente prováveis. Para o Consenso, SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) sobre as suas três execuções; os modelos de pesos exatos têm SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Limiar com correção de Bonferroni sobre todas as k(N−k) trocas possíveis; Eurojackpot: 3.43.

$z$ de base	Eurojackpot, 225 trocas	Lotto 7/34, 189 trocas
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Os doze jurados

Cada jurado tem uma estratégia, as suas próprias fontes (modelos ou sinais do histórico), um efeito mínimo e um nível de significância. O veredicto de um jurado sobre uma linha é «manter» ou exatamente uma substituição; os jurados não levantam objeções nem protestam — esse é o papel da defesa.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Ganho numérico de uma troca a partir das fontes ponderadas do jurado; λ = D/(D+40) para Eva Lind, 1 nos restantes casos.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Valor efetivo de uma troca. Vence a melhor troca admissível (em caso de empate: o novo número menor e, depois, a posição que vem primeiro); se não houver nenhuma, o jurado mantém a linha.

onde

$\omega_m$: peso da fonte $m$ na definição do jurado
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , com $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: o nível de significância do jurado corrigido para $k(N-k)$ trocas, como na tabela acima
$\Delta \ell_c$: variação da log-verosimilhança da componente estrutural $c$ (nats)
$\Delta \Gamma$: variação da pontuação de cobertura do boletim

Sinais calculados a partir do histórico

Três jurados usam sinais lidos diretamente dos sorteios e não de um gerador. Com $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Teste de frequência. Com sorteios justos, Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), porque os números de um mesmo sorteio estão negativamente correlacionados; dividindo pela contagem esperada Dp obtém-se SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Repetibilidade. Frequência em K janelas disjuntas de s = ⌊D/K⌋ sorteios; a vantagem tem de resistir a uma penalização de um erro-padrão.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalia. Desvio absoluto em relação à contagem esperada; √(1−2/π) é o desvio-padrão de |Z| para uma variável normal padrão Z.

Estrutura e cobertura

As componentes estruturais comparam uma linha com o perfil dos sorteios anteriores: paridade, baixos/altos, agrupamentos e intervalos são categóricos, com suavização de Laplace; a soma e a amplitude são gaussianas.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-verosimilhanças: ℓ₁ categórica (paridade, baixos/altos, agrupamentos; J categorias, n_j sorteios anteriores na categoria j), ℓ₂ gaussiana (soma, amplitude), ℓ₃ intervalos entre números vizinhos.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Cobertura do boletim: 𝒫′ é o conjunto dos pares das outras linhas do boletim; o segundo termo conta as dezenas do campo de números em que a linha toca.

Eva Lind · Atiradora de elite

Estratégia: frequência de longo prazo com contração bayesiana. Fontes: Bayes 0.8 + Números quentes 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; sem teste de significância (pesos exatos).

Regra: a melhor troca é sempre o número menos frequente da linha → o número mais frequente fora dela; é admitida quando $\Delta \ge 0.12$ .

Detalhes avançados

Maya Chen · Arquiteta da forma

Estratégia: a forma da linha. Fontes: Gauss 0.5 + Combinado 0.5; peso estrutural 2 sobre paridade, baixos/altos, soma, amplitude e agrupamentos; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regra: o termo estrutural conta sempre, pelo que uma troca que aproxime a linha da forma típica dos sorteios anteriores pode ser admitida apenas pela estrutura.

Detalhes avançados

Clara Moretti · Caçadora de anomalias

Estratégia: anomalias em qualquer dos sentidos. Fonte: o sinal de anomalia; estrutura de intervalos 0.4, contabilizada apenas numa troca significativa; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

No sinal de anomalia a média anula-se: só importa a diferença dos desvios absolutos.

Detalhes avançados

Leila Haddad · Observadora global

Estratégia: o perfil mundial. Fontes: Mundial quente 0.5 + Mundial combinado 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; requer dados das outras lotarias.

Detalhes avançados

Freya Olsen · Engenheira de cobertura

Estratégia: cobertura do boletim sem preferência de números. Sem fontes; peso de cobertura 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Detalhes avançados

Nora Blake · Clarividente

Experimental

Estratégia: o sistema astrológico de entretenimento para a data do sorteio. Fonte: Quântico-astral; $E_{\min} = 0.05$ ; requer uma data de sorteio alvo.

Detalhes avançados

Derek Cole · Mestre das cadeias

Estratégia: transições a partir do último sorteio. Fonte: Cadeias de Markov; estrutura de intervalos 0.4, sempre contabilizada; $E_{\min} = 0.12$ . Como os pesos de Markov somam um, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Detalhes avançados

Marcus Reed · Sinal de alarme

Estratégia: a ausência mais longa. Fontes: Análise de ausências 0.8 + Números quentes 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; sem teste de significância.

Detalhes avançados

Victor Moreau · Físico do tambor

Estratégia: um enviesamento físico do tambor repetir-se-ia em todos os períodos. Fonte: repetibilidade; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

O patamar mínimo de ruído impede que quatro janelas com sorte pareçam significativas.

Detalhes avançados

Noah Bennett · Cético vigilante

Estratégia: rejeitar o puro acaso ao nível mais exigente. Fonte: teste de frequência; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Forma fechada da estatística de teste de Noah.

Detalhes avançados

Elias Berg · Mágico do contra

Experimental

Estratégia: contra a multidão — números mais raros. Fontes: Colapso quântico 0.85 + Sistema de paradoxos 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Detalhes avançados

Leo Fischer · Maestro do consenso

Estratégia: a estabilidade do consenso dos modelos. Fonte: Consenso (três execuções independentes); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Detalhes avançados

Geração pelo júri

Quando o júri gera uma linha em vez de analisar uma já existente, cada jurado sorteia 40 linhas candidatas a partir dos seus próprios pesos $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ e fica com a melhor segundo

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

O voto de um jurado. A linha do júri fica com os k números com mais votos; os empates resolvem-se pelo maior apoio normalizado e, depois, pelo número menor.

Os seis advogados de defesa

Os advogados avaliam uma troca proposta $n_c \to n_p$ — o número atual e o proposto, saídos $x_c$ e $x_p$ vezes em $D$ sorteios — com os seus próprios sinais. Valores positivos favorecem a proposta:

Sinal	Definição
frequência	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
a posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, campo, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
estrutura	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
estabilidade	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ em seis períodos consecutivos

A probabilidade a posteriori é calculada de forma exata, sem aproximação normal:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Forma fechada para distribuições a posteriori Beta com parâmetros inteiros; a função Beta usa um log-Gama de Lanczos.

Regra de decisão para a substituição, sendo $\bar z$ a média ponderada dos sinais do advogado:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Posição ψ de um advogado: S apoio, P protesto, O objeção. χ = 1 quando as verificações do advogado são satisfeitas: para o apoio — unanimidade dos sinais, concordância de um segundo sinal e ausência de veto estrutural; para o protesto — apenas unanimidade e concordância.

Thomas Keller · Advogado oficioso

FREE

Sinais: frequência + Bayes + campo estrutural, todos têm de concordar; apoio a partir de 1, protesto a partir de −1; requer 20 sorteios e, com 5 a 19 sorteios, funciona num modo limitado com Bayes + a posteriori.

Detalhes avançados

Elena Rossi · Advogada estatística

Sinal: frequência, com correção para comparações múltiplas; veto estrutural a −1; apoio e protesto a 1.96; pelo menos 30 sorteios.

Detalhes avançados

Amelia Grant · Contra a falsa confiança

Sinal: probabilidade a posteriori de superioridade; apoio com $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protesto com $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); pelo menos 10 sorteios.

Detalhes avançados

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Posição
30	1	7	0.987	apoio
30	4	3	0.354	objeção
30	5	2	0.128	protesto
100	6	16	0.987	apoio

Julien Morel · Advogado da estrutura

Sinal: variação total das seis log-verosimilhanças estruturais; apoio a 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protesto a 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); pelo menos 20 sorteios.

Detalhes avançados

Ingrid Falk · Estabilidade no tempo

Sinal: vitórias menos derrotas do número proposto em seis períodos consecutivos; tem de concordar com a frequência global; limiar 1.5, portanto pelo menos $W - L \ge 4$ ; pelo menos 30 sorteios.

Detalhes avançados

Adrian Vega · Astrologia de entretenimento

Experimental

Sinal: os pesos quântico-astrais para a data de sorteio alvo; apoio e protesto a 0.5.

Detalhes avançados

O Juiz Supremo

O Juiz decide sobre um número em disputa com base no campo estrutural $F$ , normalizado pelo seu máximo: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Um número é fraco se estiver nos 35% inferiores do campo.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ é uma estatística de ordem dos valores do campo ordenados por ordem crescente; o número atual é fraco quando φ(n_c) < θ. A margem m aplica-se quando mais de metade dos advogados que tomaram posição protesta.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

O veredicto V é o número que o Juiz mantém na posição; aplica-se o primeiro caso que se verifique. a* é o número com o valor de campo mais alto fora da linha e distinto da proposta.

Análise e recomendação do Juiz Supremo

Para linhas completas, o Juiz indica uma pontuação da linha e sugere substituir até $\lfloor k/2 \rfloor$ dos números mais fracos abaixo de $\theta$ pelos números mais fortes fora da linha. O utilizador escolhe quais as trocas a aplicar. Sem linhas, o Juiz recomenda: rascunhos aleatórios uniformes são melhorados da mesma forma e devolvidos com a respetiva proveniência.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Pontuação da linha na análise do Juiz Supremo.

Decisões, lotes e histórico

Decisões: aceitar a proposta, aceitar a defesa, aceitar o Juiz, manter o original, reverter. Os números só mudam quando o utilizador aceita uma proposta, aceita um veredicto do Juiz que substitui o número ou reverte; cada alteração é uma transformação no registo de proveniência.
Decisões em bloco: no máximo uma substituição por número. «Aceitar todas as substituições maioritárias» aplica apenas as opções escolhidas por mais de metade dos jurados selecionados; «Aplicar todas as propostas» adota, para cada número, a opção maioritária ou, na sua falta, a mais votada, e ignora os empates.
Lotes: uma análise de até 50 linhas pela mesma composição de personagens conta como uma tentativa; as linhas já analisadas são ignoradas e um lote interrompido é retomado com o mesmo plano.
Histórico: os tipos de evento são análise do júri, análise do modelo, proposta, análise da defesa, análise do Juiz, decisão e transformação; o registo guarda até 200 eventos e nunca descarta uma transformação nem as análises mais recentes.

O Tribunal também presta contas

Cada afirmação é escrita no registo de previsões antes do respetivo sorteio e avaliada depois face ao acaso. Para afirmações sobre $n_i$ números com probabilidade de base $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H é o número de acertos. Uma fonte só entra no ranking com pelo menos 30 números em pelo menos 3 sorteios.

4. O tambor 3D: motor de física

O Sorteio 3D é uma simulação de corpos rígidos em tempo real: as bolas são corpos com massa, inércia, atrito e restituição, impelidos pela gravidade, por um rotor misturador e por um campo de ar, e a bola sorteada é a que cai fisicamente pela saída. Trata-se de um modelo físico credível de um tambor, não da gravação de uma máquina real.

Tambor do SuperEnalotto com 90 bolas a serem misturadas enquanto uma bola é selecionada — As 90 bolas do SuperEnalotto na câmara simulada

Motor e coordenadas

A física corre no Rapier 3D (versão 0.14, WebAssembly); a renderização usa Three.js (r169). O sistema de coordenadas é dextrógiro, com $+y$ para cima e a origem no centro da câmara; o eixo do rotor é o eixo horizontal $x$ e $+z$ aponta para o observador.

Câmara: uma esfera de raio $R = 3.0$ unidades, construída como uma malha de triângulos com normais voltadas para dentro e uma saída circular no fundo (semiângulo $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Bolas: esferas de raio $r = 0.2$ e densidade 1; uma bola por número, de 5 a 90 bolas.
Rotor: um veio cinemático com seis braços cujas pás em forma de cápsula estão dimensionadas para ficar a 0.14 unidades do vidro no seu plano de rotação, mais um rotor menor de três braços cujo sentido de rotação alterna entre fases de mistura.
Comporta: um tampão cilíndrico na saída, retirado quando uma bola pode sair.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Massa, momento de inércia e peso de uma bola em unidades do modelo.

Escala e semelhança de Froude

Uma unidade do modelo equivale a 10 cm: uma bola de 40 mm mede 0.4 unidades e a câmara é uma esfera de 600 mm. A gravidade é reduzida para $30$ unidades/s² em vez dos $98.1$ reais. Um movimento dominado pela gravidade e pela inércia tem o mesmo aspeto quando o número de Froude é o mesmo, pelo que a simulação corresponde a uma máquina em tamanho real com um relógio mais lento:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

As grandezas com plica referem-se ao modelo. Mesmo número de Froude com o mesmo comprimento: as velocidades escalam com √γ e os tempos com 1/√γ.

Forças

Cada bola obedece à segunda lei de Newton com as forças que o código efetivamente aplica:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D arrasto do ar, F_W parede analítica, F_S sucção na saída, F_C contactos com bolas, rotor e comporta (calculados pelo Rapier); τ os binários correspondentes. O Rapier aplica também um pequeno amortecimento linear e angular, e as velocidades estão limitadas a 22 unidades/s e 105 rad/s como salvaguarda.

Campo de ar e arrasto quadrático

O ventilador é modelado como um campo prescrito de velocidade do ar $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; cada bola sofre um arrasto quadrático no sentido da velocidade local do ar. A constante de arrasto é fixada por uma velocidade terminal de 48 unidades/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

Em ar parado, uma bola em queda atinge v_t = √(g/k_d) = 48 unidades/s, cerca de 8.7 m/s à escala real.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Corrente ascendente central: mais forte no eixo, junto ao fundo (102 em y = −3, 68 no centro, 34 no topo); ρ_h é a distância horizontal ao eixo.

Turbilhão: uma rotação horizontal de 11 unidades/s em torno do eixo vertical.
Fluxo para o interior: para além de 60% do raio, até $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ em direção ao centro, para que as bolas continuem a circular em vez de se colarem ao vidro.
Turbulência: ruído de valor tridimensional suave, de amplitude 58, que deriva no tempo; é uma função determinística fixa, não um gerador de números aleatórios.
Rajadas antiestagnação: uma bola que permaneça demasiado tempo no fundo, no topo, junto à parede ou quase imóvel recebe uma rajada local somada à velocidade do ar, que continua a atuar através do arrasto.

Parede esférica analítica

Para além da malha, o vidro é imposto como uma esfera exata ao nível das velocidades, o que impede o atravessamento (tunnelling) e garante um rolamento correto. Com a normal exterior $\hat{\mathbf n}$ , a velocidade para fora $v_n$ e a penetração $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Margem de contacto especulativo v* e restituição e (e_b é a restituição da bola; é nula abaixo da velocidade de tolerância, para que uma bola em repouso não vibre).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Resposta normal, aplicada apenas se v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Atrito de Coulomb no ponto de contacto; s é a velocidade de deslizamento tangencial v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), sendo μ_b o atrito da bola.

Contactos entre corpos

Os contactos bola–bola, bola–rotor e bola–comporta são resolvidos pelo solver de restrições do Rapier, com deteção contínua de colisões nas bolas. Os coeficientes são combinados por média:

Par	Atrito	Restituição
bola – bola	0.16	0.55
bola – vidro	0.255	0.415
bola – pá	0.19	0.525
bola – braço ou veio	0.17	0.35
bola – comporta	0.23	0.375

O amortecimento é pequeno durante o sorteio (linear 0.05, angular 0.035) e forte enquanto as bolas assentam (2.4). Não há parâmetro de resistência ao rolamento: o rolamento só abranda através do amortecimento e do atrito de contacto.

Passo temporal e integração

A simulação avança em passos fixos, independentes da taxa de atualização do ecrã; cada fotograma executa tantos passos fixos quantos o tempo real exige, no máximo cinco:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Acumulador de passo fixo: um fotograma de duração Δt_f executa n passos fixos (no máximo 5); cada passo divide-se em 2 subpassos do Rapier de h = 1/120 s, com 6 iterações do solver.

Dentro de um subpasso, o motor atualiza as velocidades a partir das forças e, em seguida, as posições a partir das novas velocidades — o esquema de Euler semi-implícito (simplético) usado pelos motores baseados em impulsos, aqui apresentado como princípio geral:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Forma geral: F são as forças aplicadas e F_c as forças de restrição (de contacto) determinadas pelo solver iterativo do Rapier.

As forças próprias da aplicação (ar, parede, sucção) são calculadas uma vez por passo a partir do estado no seu início e mantidas durante os dois subpassos. O rotor é cinemático e o seu alvo é reajustado em cada subpasso:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Aproximação exponencial da velocidade do rotor ao seu alvo; a mistura percorre ciclicamente 2.4, 2.9, 2.1 e 2.7 rad/s.

Como é selecionada uma bola

Após 1 s de arranque e 2.6 s de mistura, a comporta abre-se. Enquanto a saída está aberta, a corrente ascendente por cima dela extingue-se suavemente, o jato central é reduzido a 62% e uma sucção de cerca de 2.2 pesos de bola (cerca de 4 após 5 s) puxa as bolas que estão perto da saída:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Sucção junto à saída (y < −1.6 e distância horizontal < 0.6); t_c é o tempo decorrido desde a abertura da comporta.

A bola sorteada é a primeira cujo centro desce abaixo de $y = -3.18$ ; se várias o fizerem no mesmo passo, a mais baixa. Nesse momento não é consultado nenhum número aleatório. Os números aleatórios de um sorteio são a disposição inicial das bolas e uma pequena velocidade e rotação iniciais, obtidas da Web Crypto API (de novo quando é carregado um conjunto de bónus separado). A bola percorre depois o trajeto de saída até ao suporte; esse movimento é programado, não simulado.

Renderização, simulação e aleatoriedade

Simulação: passos fixos de 1/60 s; os perfis de qualidade (ultra, alta, média, baixa) alteram apenas sombras, bloom, resolução e detalhe das malhas, nunca a física.
Renderização: cada fotograma mostra o último passo concluído; não há interpolação entre passos.
Aleatoriedade: as forças são determinísticas; o resultado depende da disposição inicial e, a partir da segunda bola, também do tempo que a revelação da bola anterior demora no dispositivo, pelo que um sorteio não pode ser reproduzido exatamente.

5. Estatística dos sorteios reais

Os ecrãs de análise descrevem sorteios históricos. Respondem a «o que aconteceu» e «isto é compatível com uma lotaria justa», nunca a «o que vai acontecer».

Frequências, números quentes e frios

Para cada número, a aplicação conta as saídas na janela e apresenta-as ao lado da contagem esperada numa lotaria justa; o desvio-padrão é indicado aqui a título de referência:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Contagem esperada (mostrada na aplicação) e respetivo desvio-padrão (referência) para um número em D sorteios independentes.

Quentes e frios: os cinco números mais e menos frequentes, cada um com a sua contagem esperada (são necessários pelo menos 5 sorteios).
Barras de frequência: vermelhas quando a quota de um número excede 1.3 vezes a quota esperada, azuis abaixo de 0.7 vezes.
Mapa de calor: cor segundo a normalização mín–máx $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Mapa de calor do Eurojackpot com os 50 números principais coloridos do azul ao vermelho — Mapa de calor: a cor mostra apenas a frequência passada

Teste de equidade: χ² com correção

O teste χ² verifica se as contagens são compatíveis com probabilidades iguais. Num sorteio, os $k$ números são extraídos sem reposição, o que torna as contagens negativamente correlacionadas; a estatística multinomial simples fica então demasiado pequena, e a aplicação corrige-a:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Estatística de Pearson com a correção para extração sem reposição; são necessários pelo menos 10 sorteios.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Função gama incompleta superior regularizada, calculada por série e por fração contínua.

Valor p	Veredicto
$p > 0.05$	sem desvio significativo
$0.01 < p \le 0.05$	desvio limítrofe
$p \le 0.01$	desvio estatisticamente significativo

Teste Q posicional

Com pelo menos 30 sorteios completos, a aplicação testa também a média de cada posição ordenada (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). O $i$ -ésimo menor de $k$ números extraídos de $1..N$ tem média e covariância

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ é o vetor das diferenças entre as médias posicionais observadas e μ ao longo de m sorteios.

Pares, comparações e verificações

Pares: uma matriz 12 × 12 com a frequência com que os 12 números mais frequentes saíram juntos (pelo menos 10 sorteios). São contagens brutas; a título de referência, a contagem esperada de um dado par em sorteios justos é $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Comparação de lotarias: probabilidades do jackpot, preço, custo de comprar todas as combinações.
Verificação matemática: a aplicação recalcula $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ e compara o resultado com a constante armazenada, e verifica nos sorteios da janela de análise erros de intervalo, quantidades de bolas incorretas e datas duplicadas.
Categorias de prémio: tabelas oficiais de pagamentos por sorteio. A imagem do sorteio usa a média das últimas 60 tabelas de pagamentos reais; só para uma lotaria sem quaisquer dados de pagamentos é que estima os vencedores a partir das probabilidades das categorias da secção 8 e de um volume de vendas presumido, pelo que esses valores são meramente ilustrativos.

Simular uma vida inteira de jogo

A simulação de 50 anos usa a probabilidade de obter pelo menos um jackpot em $T$ boletins independentes:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Probabilidade de pelo menos um jackpot em T boletins; C é o número de combinações do jackpot, d o número de sorteios por semana, r o número de linhas por sorteio.

6. Análise por calendário

A Análise por calendário procura coincidências entre as datas dos sorteios e os números sorteados — por exemplo, o dia do mês a aparecer entre as bolas — e compara cada taxa observada com a taxa que o puro acaso produziria.

Seleção de sorteios

Os sorteios podem ser filtrados por ano, por mês, pelo mesmo mês em todos os anos ou por intervalo de datas, e por era de regras. As listas de frequência (quentes, frios, ausentes há mais tempo) usam contagens brutas na seleção; um número impossível em todas as eras selecionadas é excluído, e uma seleção que mistura eras é assinalada com um aviso, porque um número válido apenas na era mais recente parece falsamente «frio». As regras de data abaixo têm em conta a era: um sorteio só conta para uma regra se pelo menos um candidato for um número válido segundo as regras desse mesmo sorteio.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Taxa observada de uma regra de data: C_t são os números candidatos do sorteio t, X_t os seus números sorteados, Ω_t os números válidos segundo as suas regras; ℰ são os sorteios elegíveis.

Dez regras de data

Regra	Números candidatos para um sorteio em DD.MM.YYYY
dia	DD
mês	MM
ano	YYYY mod 100
hora	a hora do sorteio, quando o operador a publica
algarismos do ano	os algarismos distintos de YYYY
soma dos algarismos do ano	soma dos algarismos de YYYY
soma do ano com dois algarismos	soma dos algarismos de YYYY mod 100
soma dos algarismos do dia	soma dos algarismos de DD
soma dos algarismos da data	soma de todos os algarismos de DD, MM e YYYY
raiz digital	a soma dos algarismos da data reduzida a um só algarismo

Um candidato igual a 0 é ignorado, e um sorteio conta uma única vez para uma regra, mesmo que vários dos seus números coincidam.

Expectativa aleatória

Para um sorteio de $k$ números entre $S$ valores possíveis e um conjunto de $m$ números candidatos, a probabilidade de nenhum candidato ser sorteado é hipergeométrica:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: nenhum candidato é sorteado; P≥1: pelo menos um é. Os candidatos fora do intervalo da era do sorteio são descartados.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Taxa de coincidência esperada r̂ sobre os sorteios elegíveis ℰ, cada um com a sua era; P^M e P^B, para os conjuntos principal e de bónus, são combinadas como independentes.

Correspondências de calendário com as taxas observadas ao lado da expectativa aleatória — Correspondências de calendário comparadas com o acaso

Interpretação das taxas

Os pares são listados a partir de 30 sorteios e os trios a partir de 120 (apenas combinações vistas pelo menos duas vezes, as dez mais frequentes); abaixo de 100 sorteios é apresentado um aviso de amostra pequena. Com 100 sorteios, uma taxa próxima de 20% tem ainda uma banda de 95% de cerca de $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ pontos percentuais.

7. Arquivo histórico e eras de regras

As lotarias mudam as suas regras. Um sorteio só tem significado em conjunto com as regras em vigor na sua data, pelo que cada sorteio armazenado tem associada a respetiva versão das regras.

Eras de regras

Lotaria	Eras (principais · bónus)
Lotto (Noruega)	7/34 + 3 suplementares → 7/34 + 1 suplementar (desde 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + suplementar e número da sorte → número Viking 1–8 (2017) → 1–5 (desde 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (desde 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (desde 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (desde 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (desde 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly desde 1997; o SuperStar é um tambor separado e está excluído dos modelos
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (desde 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (desde 19.04.2018)

Regra de compatibilidade

Os modelos e as análises usam apenas sorteios comparáveis com as regras atuais. Duas eras são comparadas grupo a grupo:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

A era e é comparável quanto aos números principais quando a quantidade e o intervalo coincidem (à esquerda), e quanto aos números bónus quando todos os grupos de bónus 𝓑 coincidem (à direita). Um sorteio com números principais comparáveis mas regras de bónus diferentes conserva os números principais e descarta os números bónus.

Histórico do Eurojackpot com a ficha da era das regras atuais e os sorteios marcados com a respetiva versão das regras — O arquivo marca cada sorteio com a sua era de regras

8. Probabilidade e limitações

Cada sorteio oficial é uma experiência aleatória independente. Nenhum histórico, modelo, tribunal ou simulação altera a probabilidade de qualquer combinação.

Probabilidade do jackpot

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Probabilidade de jackpot de uma linha segundo as regras atuais (à direita: Eurojackpot); as lotarias sem número bónus escolhido pelo jogador usam apenas o primeiro fator.

Lotaria	Regras	Probabilidade do jackpot
Lotto (Noruega)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Todas as categorias de prémio

A probabilidade de acertar exatamente $i$ dos $k$ números principais e $j$ dos $b$ números bónus é um produto de duas probabilidades hipergeométricas:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Para uma bola adicional extraída do mesmo tambor (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max), o segundo fator é (k−i)/(N−k) para «+1».

Categoria do Eurojackpot	Probabilidade
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Porque nenhum método consegue vencer o acaso

Se os sorteios forem independentes e todas as combinações forem igualmente prováveis, a probabilidade condicional do próximo sorteio, dado qualquer histórico, é igual à probabilidade sem ele, e o número esperado de números principais acertados é o mesmo para qualquer linha, seja qual for a forma como foi produzida:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H é o número de números principais acertados numa linha. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 por linha, para qualquer método.

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