Matematika ir technologijos

Tikroji Lotto Simulator matematika, statistika, algoritmai ir fizika – tiesiai iš programėlėje veikiančio kodo.

Kaip skaityti šį puslapį

Kiekviena toliau pateikta formulė nukopijuota iš realizacijos, o ne iš reklaminės brošiūros. Kai komponentas yra deterministinė taisyklė ar euristika, o ne formulė, aprašome algoritmą tiksliai taip, kaip jis veikia, ir neišgalvojame jam jokios matematikos.

Lotto Simulator yra analitinė, mokomoji ir modeliavimo aplinka. Ji generuoja derinius taikydama šešiolika metodų, peržiūri juos Matematiniame teisme, kurį sudaro dvylika prisiekusiųjų, šeši gynėjai ir Aukščiausiasis teisėjas, tikrina, ar realios tiražų istorijos sąžiningos, analizuoja kalendorinius sutapimus ir atkuria fizinį 3D loterijos būgną. Niekas iš to nekeičia nė vieno skaičiaus tikimybės oficialiame tiraže – 8 skyriuje skaičiais paaiškinta, kodėl.

Visame puslapyje naudojami žymėjimai

kur

$N$: pagrindinių skaičių aibės dydis (pavyzdžiui, Eurojackpot loterijoje – 50)
$k$: kiek pagrindinių skaičių traukiama ir žaidžiama (Eurojackpot – 5)
$B,\; b$: atskiros papildomų skaičių aibės dydis ir kiek papildomų skaičių žaidžiama (Eurojackpot – 12 ir 2)
$D$: praėjusių tiražų skaičius pasirinktame analizės lange
$c_n$: kiek kartų skaičius $n$ pasirodė tarp tų $D$ tiražų pagrindinių skaičių
$t = 0, 1, \dots$: tiražo indeksas, pradedant nuo naujausio: $t = 0$ yra paskutinis tiražas
$\binom{n}{r}$: binominis koeficientas – kiek yra būdų išrinkti $r$ elementų iš $n$

1. Sistemos architektūra

Viena programėlė, vienas kodo pagrindas: ta pati žiniatinklio programėlė veikia stalinių kompiuterių ir mobiliųjų įrenginių naršyklėse, o nepakeista – ir iOS bei Android programėlėse (Capacitor WebView). Sunkūs ir mokami skaičiavimai atliekami serveryje; viskas, ką mato naudotojas, atvaizduojama įrenginyje.

Įrenginys (žiniatinklis, iOS, Android)Sąsaja, bilietas ir darbiniai rinkiniai, keturi FREE generatoriaus metodai, dažnių diagramos, χ² testas, kalendorinė matematika, 3D būgnas. Metodas „Atsitiktinis“ ir 3D būgnas atsitiktinumą gauna iš Web Crypto API.
Edge funkcijos (TypeScript, Deno)Dvylika PRO generatoriaus metodų, visi devyniolika Teismo modelių, dvylika prisiekusiųjų, šeši gynėjai, Aukščiausiasis teisėjas, rato matricos schemos, prognozių žurnalas. Teismas veikia su atkuriamais pseudoatsitiktiniais srautais, inicijuotais pradine reikšme (seed).
Duomenų bazė (PostgreSQL)Oficialūs tiražų rezultatai su jų taisyklių versija, išmokų lentelės, paskyros ir prieigos teisės, tik pildomas prognozių žurnalas ir jo vertinimas.
Duomenų konvejerisSuplanuotos užduotys surenka oficialius rezultatus, kiekvieną tiražą patikrina pagal jo laikotarpio taisykles ir paskelbia dabartinių taisyklių duomenų rinkinį.

Kas ką skaičiuoja

Naršyklėje: FREE metodai („Karšti numeriai“, „Kombinuota analizė“, „Segmentų aprėptis“, „Atsitiktinis“) ir visa aprašomoji statistika. Viešojoje versijoje PRO realizacijos fiziškai pašalinamos iš kliento: jų funkcijos pakeičiamos tuščiais pakaitalais, todėl PRO rezultatas gali ateiti tik iš serverio.
Serveryje: kiekvienas PRO metodas, visas Matematinis teismas ir Aukščiausiasis teisėjas. Užklausoje nurodoma loterija, metodas, eilučių skaičius (1–50) ir analizės langas; tiražus serveris įkelia pats, todėl klientas negali jam pateikti išgalvotos istorijos.
Saugaus atsisakymo taisyklė: serverio modeliui reikia bent 5 tiražų pasirinktame analizės lange. Jei jų mažiau, jis atsisako su aiškiu atsakymu „nepakanka istorijos“, užuot kūręs eilutes iš nieko.

Atkuriami Teismo skaičiavimai

Kiekvienas Teismo prisiekusysis, gynėjas ir modelis veikia su savo pseudoatsitiktiniu srautu, kurio pradinė reikšmė yra algoritmo versijos, personažo, loterijos, visos tiražų istorijos ir tikslinio tiražo datos maiša (hash). Todėl tie patys duomenys visada duoda tą patį nuosprendį, o bet koks istorijos pakeitimas pakeičia kiekvieną srautą.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Teismo skaičiavimo pradinė reikšmė ir iš jos gaunamas tolygiųjų atsitiktinių skaičių srautas.

kur

$v$: Teismo variklio algoritmo versija
$\kappa$: personažo arba modelio raktas, pavyzdžiui, prisiekusiojo identifikatorius
$H$: visi lango tiražai, pagrindiniai ir papildomi skaičiai iš eilės
$g,\; d$: loterijos identifikatorius ir tikslinio tiražo data
$h_0$: FNV-1a pradinė reikšmė (offset basis); $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ – teksto $x$ maiša, skaičiuojama pradedant nuo būsenos $h$
$u_i$: $i$ -asis srauto tolygusis atsitiktinis skaičius

Saugojimas ir kilmė

Kiekvienas derinys turi kilmės įrašą: jo šaltinį (generatoriaus metodas, prisiekusysis, prisiekusiųjų sutarimas, rato matrica, 3D traukimas, Aukščiausiasis teisėjas, rankinis įvedimas), skaičius, nuo kurių jis prasidėjo, ir tik pildomą įvykių žurnalą su peržiūromis, pasiūlymais, gynėjų pozicijomis, nuosprendžiais, sprendimais ir transformacijomis (ne daugiau kaip 200 įvykių). Įrašas priimamas tik tada, jei jo transformacijas pritaikius pradiniams skaičiams tiksliai atkuriama eilutė; priešingu atveju rodoma, kad eilutės šaltinis nepasiekiamas.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Kilmės patikra: dabartinė eilutė R_m turi sutapti su pradine eilute R_0, kuriai iš eilės pritaikyti visi užfiksuoti pakeitimai τ₁ … τₘ.

Genealogija: kai eilutė redaguojama rankiniu būdu, sukuriamas naujas įrašas, kurio pirmtakas yra ankstesnysis (saugomi iki keturių ankstesnių įrašų), todėl istorija iki rankinio pakeitimo lieka matoma.
Prognozių žurnalas: kiekviena rekomendacija (sugeneruota eilutė, prisiekusiojo pakeitimas, gynėjo pozicija, nuosprendis) įrašoma į žurnalą prieš tikslinį tiražą ir automatiškai įvertinama paskelbus oficialų rezultatą.

2. Pagrindinis generatorius: šešiolika metodų

Generatorius siūlo šešiolika pasirinkimų. Keturi FREE metodai veikia naršyklėje, dvylika PRO metodų – serveryje. Visi jie parenka $k$ skirtingų skaičių iš $1..N$ ir loterijos papildomus skaičius; skiriasi tik tuo, kaip skaičiai pasveriami ar sudaromi.

Eilučių generatorius su kiekiu, analizės metodu ir trimis numatytaisiais filtrais — Generatoriaus skydelis: metodo pasirinkimas ir numatytieji filtrai

Bendri blokai

Svertiniai metodai kiekvienam skaičiui priskiria svorį $w_n \ge 0$ ir tada traukia nuosekliai be grąžinimo: kiekvienas pasirinkimas pašalina skaičių ir iš naujo normuoja likusius svorius.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Nuoseklus svertinis ėmimas be grąžinimo, naudojamas kiekviename svoriais pagrįstame metode.

kur

$x_j$: $j$ -asis į eilutę parinktas skaičius, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: metodo skaičiui $n$ priskirtas svoris

Atsitiktinumas: naršyklėje metodas „Atsitiktinis“ ir unikalumo žingsnis naudoja Web Crypto API, o „Karšti numeriai“, „Kombinuota analizė“ ir „Segmentų aprėptis“ – standartinį naršyklės generatorių (Math.random). Serveryje metodai naudoja kriptografinį atsitiktinumą, išskyrus fizinį modelį (standartinis generatorius) ir chaoso pradinę reikšmę, kuri kriptografinį atsitiktinumą sumaišo su didelės skyros laikmačiu. Naršyklėje nepaslinktas sveikasis skaičius iš $0..M-1$ gaunamas atmetimo metodu, todėl jokia liekana neišskiriama:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Atmetimo metodas: 32 bitų kriptografinė reikšmė x traukiama iš naujo, kol tampa mažesnė už didžiausią M kartotinį, tada imama moduliu M.

Papildomi skaičiai

Papildomi skaičiai (Eurojackpot 2 iš 12, EuroMillions 2 iš 12, Powerball 1 iš 26, Mega Ball 1 iš 24, Viking skaičius 1 iš 5, Powerball AU 1 iš 20) traukiami iš atskiros aibės, nepriklausomai nuo pagrindinių skaičių. Lotto, SuperEnalotto ir Lotto Max neturi žaidėjo renkamo papildomo skaičiaus: jų papildomą kamuoliuką operatorius ištraukia iš pagrindinio būgno.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Papildomo skaičiaus j svoris w′ⱼ, kai jo pasirodymų skaičius c′ⱼ, metodui μ: freq = „Karšti numeriai“; rnd, phys, chaos, world = „Atsitiktinis“, fizinis modelis, „Chaosas“ ir pasaulio metodai; visi kiti metodai naudoja c′ⱼ + 2. Kai tiražų mažiau nei 5, visi metodai naudoja tolygius svorius.

FREE filtrai ir unikalumas

Naršyklėje sukurtos eilutės pereina tris pagal numatytuosius nustatymus įjungtus filtrus: ne visi skaičiai lyginiai ar visi nelyginiai; suma patenka į intervalą; nėra daugiau nei trijų iš eilės einančių skaičių sekos. Atmesta eilutė pakeičiama tolygiai atsitiktine eilute, kuri filtrus praeina (jos papildomi skaičiai traukiami su Bajeso svoriais $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Numatytasis sumos intervalas. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, intervalas 73–183.

Kad tame pačiame įrenginyje tas pats derinys nebūtų išduotas du kartus, kiekviena FREE eilutė identifikuojama pagal jos pagrindinių skaičių leksikografinį rangą tarp visų $\binom{N}{k}$ derinių ir lyginama su paskutinėmis 20 000 tai loterijai išduotų eilučių; pasikartojęs rangas keičiamas atsitiktiniais sukeitimais, o kraštutiniu atveju imamas kitas nepanaudotas rangas iš atsitiktinės afininės visų rangų permutacijos. Taip pakeista eilutė filtrais iš naujo netikrinama.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Derinio leksikografinis rangas ir pilnojo periodo afininis visų rangų perėjimas.

FREE ir PRO vykdymo keliai

Kelias	Metodai	Kur vykdoma	Eilučių per paleidimą	Istorija
FREE	„Karšti numeriai“, „Kombinuota analizė“, „Segmentų aprėptis“, „Atsitiktinis“	naršyklėje	iki 5 (PRO naudotojams iki 50)	FREE paskutinių tiražų langas
PRO	kiti dvylika metodų	serveryje	iki 50	pasirinktas analizės langas, ne mažiau kaip 5 tiražai

Karšti numeriai

FREENaršyklėje

Paskirtis: teikti pirmenybę skaičiams, kurie analizės lange pasirodė dažniausiai.

w_n = c_n + 0.05

Skaičiaus n svoris; kai tiražų mažiau nei 5, visi svoriai lygūs 1.

Išsamiau

Kombinuota analizė

FREENaršyklėje

Paskirtis: pastoviu santykiu sumaišyti karštus, vidutinius ir šaltus skaičius.

Skaičiai rikiuojami pagal $c_n$ (lygiųjų atveju pirmas eina mažesnis skaičius) ir dalijami į trečdalius, kurių dydis $\lceil N/3 \rceil$ : karštąjį, vidurinįjį ir šaltąjį. Eilutė $i$ tolygiai renka skaičius iš kiekvieno trečdalio:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Eilutė i paima h karštų, mᵢ vidutinių ir cᵢ šaltų skaičių; nelyginės ir lyginės eilutės sukeičia vidutinių ir šaltų dalis.

Išsamiau

Segmentų aprėptis

FREENaršyklėje

Paskirtis: tolygiai paskirstyti eilutę per visą skaičių intervalą.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Po vieną tolygiai atsitiktinį skaičių iš kiekvieno iš k iš eilės einančių segmentų; paskutinis segmentas apima likutį.

Išsamiau

Atsitiktinis

FREENaršyklėje

Paskirtis: sąžiningas atskaitos taškas – kiekvienas skaičius vienodai tikėtinas.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Kriptografinis Fisher–Yates maišymas prieš filtravimą kiekvienam deriniui suteikia tą pačią tikimybę.

Išsamiau

Rato matrica

PROServeryje

Paskirtis: sudaryti kelias eilutes, kurios kartu padengtų kuo daugiau nedidelės skaičių aibės porų, – godžioji padengimo schema.

Aibę sudaro $\min(N, k+5)$ skaičių, imamų pakaitomis iš karštojo, šaltojo ir vidurinio trečdalių. Kandidatai yra visi $\binom{|P|}{k}$ aibės deriniai (jei jų daugiau nei 40 000, naudojama atsitiktinė imtis); kiekviename žingsnyje pridedamas geriausią įvertį turintis kandidatas, o jo poros pažymimos kaip padengtos:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Godusis porų padengimo įvertis; lygiosios išsprendžiamos tolygiai atsitiktinai.

Išsamiau

kur

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: kandidatinės eilutės $R$ poros ir poros, jau padengtos pasirinktomis eilutėmis
$u_n$: kiek jau pasirinktų eilučių turi skaičių $n$
$[\,\cdot\,]$: lygu 1, jei sąlyga tenkinama, kitaip 0

Pasaulio karšti ir Pasaulio kombinuoti

PROServeryje

Paskirtis: perkelti visų devynių palaikomų loterijų dažnių profilį į dabartinę loteriją.

Kiekvienas skaičius $x$ , ištrauktas bet kurioje loterijoje $g$ , atvaizduojamas į savo santykinę padėtį $q = (x-1)/(N_g - 1)$ ir siauru Gauso branduoliu išskleidžiamas ant dabartinės loterijos skaičių; kiekviena loterija vienam tiražui gauna vienodą svorį, o pačios dabartinės loterijos dažnis pridedamas dar kartą:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Skaičiaus n pasaulio įvertis; X_g – visi loterijos g ištraukti pagrindiniai skaičiai (iki 400 paskutinių dabartinių taisyklių tiražų, D_g tiražų).

Išsamiau

Pasaulio karšti: $k$ tolygių pasirinkimų iš $\max(3k, 12)$ didžiausią įvertį turinčių skaičių.
Pasaulio kombinuoti: $\lceil 0.45k \rceil$ iš viršutinio trečdalio, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ iš apatinio trečdalio, likę – iš vidurinio. Papildomi skaičiai tolygūs.

Markovo grandinės

PROServeryje

Paskirtis: pasverti skaičius pagal tai, kaip dažnai jie sekė po ankstesnio tiražo skaičių.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplaso glodinimu patikslinta pirmos eilės perėjimo tikimybė, suvidurkinta pagal paskutinį tiražą L.

Išsamiau

kur

$T(a \to b)$: kaip dažnai skaičius $b$ pasirodė tiraže, einančiame iškart po tiražo, kuriame buvo $a$
$L$: paskutinio tiražo pagrindiniai skaičiai

Gausas · centrinė ribinė teorema

PROServeryje

Paskirtis: sudaryti eilutes, kurių suma tipinė. $k$ skaičių, ištrauktų be grąžinimo, suma turi

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Eilutės sumos vidurkis ir dispersija imant be grąžinimo (pakeičiami empirinėmis reikšmėmis, kai turima bent 5 sumos).

Išsamiau

Kiekvienas skaičius pasveriamas Gauso funkcija apie vidutinę vienos pozicijos reikšmę ir ištraukiama iki 40 kandidatinių eilučių; laimi ta, kurios suma artimiausia $\mu$ (paieška nutraukiama anksčiau, kai nuokrypis neviršija $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Gauso metodo skaičiaus svoris.

Intervalinis modelis Δ

PROServeryje

Paskirtis: imituoti tarpus tarp gretimų skaičių realiuose tiražuose.

Iš paskutinių 120 tiražų surenkamas kiekvieno tiražo mažiausias skaičius ir visi skirtumai tarp gretimų surikiuotų skaičių. Eilutė sudaroma kaip atsitiktinė pradžia plius atsitiktiniai skirtumai; eilutė, peržengianti $N$ , atmetama (iki 300 bandymų, paskui imama tolygi eilutė):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empirinis pirmųjų skaičių ir tarpų savirankos (bootstrap) metodas; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) – surikiuotas tiražas t.

Išsamiau

Bayes · Dirichlet

PROServeryje

Paskirtis: dažnis su sutraukimu link tolygiojo skirstinio.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Simetrinio Dirichlė(α) apriorinio skirstinio, atnaujinto stebėtais pasirodymų skaičiais, aposteriorinis vidurkis; metodas ima su svoriais c_n + 3.

Išsamiau

Spragų analizė

PROServeryje

Paskirtis: teikti pirmenybę skaičiams, kurie seniai nepasirodė.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n – naujausio tiražo, kuriame buvo n, indeksas (0 = paskutinis tiražas); niekada nepasirodęs skaičius gauna D + ḡ.

Išsamiau

Fizinis loterijos automato modelis

PROServeryje

Paskirtis: leisti supaprastintai 2D simuliacijai nulemti iškritimo tvarką.

$N$ diskų, kurių spindulys $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ , juda vienetiniame kvadrate, veikiami atsitiktinių oro gūsių, pastovaus dreifo link išėjimo angos, slopinimo ir vienodų masių tamprių susidūrimų; diskas, išlėkęs pro angą apatinės sienelės viduryje, laikomas ištrauktu.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Vienas 2D modelio žingsnis (y nukreipta žemyn, link angos; ne daugiau kaip 2400 žingsnių). Diskas išlekia, kai prie apatinės sienelės 0.43 < x < 0.57; jei išlekia mažiau nei k diskų, eilutė papildoma tolygiai.

Išsamiau

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Tamprus vienodų masių susidūrimas: normalinės greičio dedamosios apsikeičia.

Chaosas · logistinis atvaizdis

PROServeryje

Paskirtis: parodyti, kad visiškai deterministinė sistema gali būti neprognozuojama.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Po 100 įšilimo iteracijų nuo atsitiktinės pradinės reikšmės reikšmės renkamos, kol randama k skirtingų skaičių.

Išsamiau

Kvantinis kolapsas

PROServeryjeEksperimentinis

Paskirtis: priešingos krypties svoris, teikiantis pirmenybę retai traukiamiems skaičiams.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

„Dažnio barjero“ svoris; atsitiktiniai skaičiai imami iš 16 bitų kriptografinių reikšmių buferio.

Išsamiau

Paradoksų sistema

PROServeryjeEksperimentinis

Paskirtis: tiriamosios eilutės, sudarytos remiantis atsitiktinių derinių savybėmis, kurios prieštarauja intuicijai. Paeiliui taikomi penki archetipai:

Minia: aibėse, turinčiose bent 42 skaičius, teikia pirmenybę skaičiams, didesniems už 31 (gimtadieniai baigiasi ties 31): svoris 2.6 virš ribos ir 0.28 žemiau jos, ×1.1 skaičiams, kurie yra 10 kartotiniai, ir tada priverstinai įtraukia bent $\lceil 0.6k \rceil$ skaičių virš ribos. Tokius skaičius renkasi mažiau žmonių, todėl laimėjimą tektų dalytis su mažesniu skaičiumi laimėtojų – laimėjimo tikimybė nesikeičia.
Susidūrimas: pusė eilutės – iš dažniausių skaičių, likusi dalis – iš ilgiausiai nepasirodžiusių.
Sankaupa: turi porą iš eilės einančių skaičių – atsitiktiniuose tiražuose ši savybė daug dažnesnė, nei rodo intuicija:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot – apie 35%, Lotto 7/34 – apie 78%.

Išsamiau

Veidrodis: sujungia į poras $n$ ir $N + 1 - n$ .
Regresija: skaičiai, kurių pastarojo meto dažnis (paskutiniai 10 tiražų) labiausiai skiriasi nuo ilgalaikio dažnio.

3. Matematinis teismas

Teismas peržiūri jau turimą derinį. Prisiekusieji ir modeliai gali pasiūlyti pakeisti vieną skaičių; gynėjai pasisako už kiekvieną pasiūlymą arba prieš jį; Aukščiausiasis teisėjas sprendžia pagal praėjusių tiražų struktūrinį lauką. Skaičiai keičiasi tik tada, kai nusprendžiate jūs, – ir kiekvienas žingsnis užfiksuojamas.

Dvylikos prisiekusiųjų pasirinkimas aplink Teismo emblemą — Prisiekusieji: dvylika personažų, kiekvienas su sava matematine strategija

Bylos eiga

Pasiūlymas. Prisiekusysis arba modelis peržiūri visus galimus pavienius eilutės pakeitimus ir pasiūlo ne daugiau kaip vieną pakeitimą – arba pasiūlo eilutę palikti.
Gynyba. Gynėjai dėl kiekvieno pasiūlymo užima poziciją: pritarimas, prieštaravimas arba protestas. Gynėjas niekada nesiūlo ir netaiko skaičiaus.
Nuosprendis. Aukščiausiasis teisėjas, remdamasis praėjusių tiražų struktūriniu lauku, pasiūlymą priima, pasiūlo alternatyvą arba skaičių palieka.
Sprendimas. Skaičius keičiate tik jūs: priimate pasiūlymą, sekate gynybą, priimate teisėjo nuosprendį, paliekate pradinį derinį arba atšaukiate pakeitimą. Kiekvienas sprendimas išsaugomas kartu su jo autoriumi.

Nuo modelio iki kiekvieno skaičiaus pirmenybės

Kiekvienas modelis paverčiamas kiekvieno skaičiaus santykine pirmenybe $\operatorname{rel}(n)$ , kur 1 reiškia „modelio vidurkį“, kartu su standartine paklaida. Modeliai, apibrėžti aiškiu svorių vektoriumi, yra tikslūs; kiti matuojami juos paleidžiant:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Tiksli santykinė pirmenybė „Karštų numerių“, Markovo, Gauso, Bajeso, „Spragų analizės“, „Kvantinio kolapso“, kvantinio-astralinio modelio ir struktūrinio lauko atveju.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Procedūrinių modelių Monte Karlo pirmenybė: X₁ … X_R yra R = 600 modelio eilučių su fiksuota pradine reikšme (fiziniam modeliui – 120). Konsensusas vietoj to suvidurkina tris paleidimus (žr. jo kortelę).

Devyniolika modelių

Teismas naudoja šešiolika 2 skyriaus generatoriaus metodų ir tris savo modelius. Keturi iš jų istorijos nenaudoja ir užregistruoti kaip neteikiantys pirmenybės jokiems skaičiams („Segmentų aprėptis“, „Atsitiktinis“, fizinis modelis, „Chaosas“); praktiškai „Segmentų aprėptis“ teikia pirmenybę trumpųjų segmentų skaičiams, kai $k$ nėra $N$ daliklis, o „Chaosas“ – intervalo kraštams, kaip parodyta jų kortelėse. Du modeliai yra sudėtiniai (konsensusas ir struktūrinis laukas).

Modelis	Tipas	Pagrindas
Karšti numeriai	svoriai	$c_n + 0.05$
Kombinuota analizė	imties	karštas / vidurinis / šaltas trečdalis
Segmentų aprėptis	imties, be istorijos	po vieną skaičių segmente
Atsitiktinis	imties, tolygus	Fisher–Yates maišymas
Markovo grandinės	svoriai	glodinti perėjimai nuo paskutinio tiražo
Gausas · CRT	svoriai	Gauso funkcija apie $\mu/k$
Intervalinis modelis Δ	imties	tarpų saviranka
Bayes · Dirichlet	svoriai	$c_n + 3$
Spragų analizė	svoriai	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Fizinis modelis	imties, be istorijos	2D diskų simuliacija
Chaosas	imties, be istorijos	logistinis atvaizdis, pasislinkęs į kraštus
Kvantinis kolapsas	svoriai, eksperimentinis	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Paradoksų sistema	imties, eksperimentinis	penki archetipai
Kvantinis-astralinis modelis	svoriai, eksperimentinis	Mėnulio ženklas ir apšviestumas
Rato matrica	imties	porų padengimo schema
Pasaulio karšti	imties	kelių loterijų branduolinis profilis
Pasaulio kombinuoti	imties	kelių loterijų branduolinis profilis
Modelių konsensusas	ansamblis	14 narių modelių
Struktūrinis laukas	sudėtinis	šeši aprašomieji komponentai

Struktūrinis laukas

Serveryje

Laukas yra Aukščiausiojo teisėjo matas: rankiniu būdu pasvertas šešių aprašomųjų komponentų junginys. Dažniai, ryšingumas ir porų padengimas dalijami iš savo didžiausios reikšmės tarp visų skaičių; naujumas ir tipiškumas jau yra intervale $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Skaičiaus n struktūrinio lauko įvertis nuo 0 iki 100.

Išsamiau

kur

$A_n,\ S_n$: dažnis visame lange ir paskutiniuose $\max(3, \min(10, D))$ tiražuose
$G_n$: naujumas, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: porų pakėlimų (lift) $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ suma per visus partnerius $m$ , kur $O_{nm}$ – tiražų, kuriuose yra abu skaičiai, skaičius
$T_n$: vidutinis tiražų, kuriuose yra $n$ , struktūrinis tipiškumas: $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , kur $e$ – lyginių skaičių dalis, o $z_S$ – standartizuota suma
$P_n$: porų padengimas – bendras porų, kuriose dalyvauja $n$ , stebėjimų skaičius

Modelių konsensusas

Serveryje

Keturiolika narių modelių iš dvylikos šeimų kiekvienas sukuria po 10 eilučių; skaičius gauna taškų pagal tai, kiek modelių ir šeimų jį pasirinko, kaip dažnai ir kaip tolygiai:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensuso įvertis; Teismas suvidurkina tris nepriklausomus paleidimus ir jų sklaidą naudoja kaip standartinę paklaidą.

Išsamiau

kur

$M_n,\ F_n$: narių modelių ir modelių šeimų, kurių eilutėse yra $n$ , skaičius
$f_n$: bendras eilučių, kuriose yra $n$ , skaičius
$\operatorname{stab}_n$: vidutinis pasirodymų skaičius vienam $n$ pasirinkusiam nariui modeliui, padalytas iš 10

Kvantinis-astralinis modelis

ServeryjeEksperimentinis

Pramoginis modelis, kuris skaičius sveria pagal Mėnulį tikslinio tiražo dieną, pridėdamas nedidelę struktūrinio lauko dalį:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Kvantinis-astralinis svoris; σ ∈ {0,…,11} – zodiako ženklas, atitinkantis Mėnulio ekliptikos ilgumą tikslinio tiražo dieną, I – apšviestumas procentais.

Išsamiau

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Mėnulio apšviestumas procentais pagal amžių A sinodiniame mėnesyje, kurio trukmė P (dienomis).

Kaip modelis peržiūri eilutę

Kiekvienam galimam pakeitimui $a \to b$ – skaičius $a$ palieka eilutę, skaičius $b$ į ją patenka – modelis apskaičiuoja naudą ir jos triukšmą. Nauda įskaitoma tik tada, jei ji statistiškai aiški; nuostolis įskaitomas visada.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modelio peržiūra. Tikslių svorių modelių SE = 0, todėl jų nauda įskaitoma visada; pakeitimas tinkamas, kai effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Imties modelio pakeitimo standartinė paklaida: bendroji proporcija pagal hipotezę, kad a ir b vienodai tikėtini. Konsensusui SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) pagal tris jo paleidimus; tikslių svorių modelių SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Slenkstis su Bonferronio pataisa visiems k(N−k) galimiems pakeitimams; Eurojackpot: 3.43.

Bazinis $z$	Eurojackpot, 225 pakeitimai	Lotto 7/34, 189 pakeitimai
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Dvylika prisiekusiųjų

Kiekvienas prisiekusysis turi vieną strategiją, savo šaltinius (modelius arba istorijos signalus), minimalų efektą ir reikšmingumo lygmenį. Prisiekusiojo nuosprendis eilutei yra arba „palikti“, arba lygiai vienas pakeitimas; prisiekusieji neprieštarauja ir neprotestuoja – tai gynybos vaidmuo.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Skaitinė pakeitimo nauda pagal prisiekusiojo pasvertus šaltinius; λ = D/(D+40) personažui Eva Lind, kitiems – 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Efektyvioji pakeitimo vertė. Laimi geriausias tinkamas pakeitimas (lygiųjų atveju – mažesnis naujas skaičius, tada ankstesnė pozicija); jei tinkamo nėra, prisiekusysis eilutę palieka.

kur

$\omega_m$: šaltinio $m$ svoris prisiekusiojo apibrėžime
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , kur $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: prisiekusiojo reikšmingumo lygmuo, pataisytas $k(N-k)$ pakeitimams, kaip aukščiau esančioje lentelėje
$\Delta \ell_c$: struktūrinio komponento $c$ logaritminio tikėtinumo pokytis (natais)
$\Delta \Gamma$: bilieto padengimo įverčio pokytis

Iš istorijos apskaičiuojami signalai

Trys prisiekusieji naudoja signalus, nuskaitytus tiesiai iš tiražų, o ne iš generatoriaus. Kai $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Dažnio testas. Esant sąžiningiems tiražams Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), nes vieno tiražo skaičiai neigiamai koreliuoti; padalijus iš tikėtinojo pasirodymų skaičiaus Dp gaunama SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Pakartojamumas. Dažnis K nesikertančių langų po s = ⌊D/K⌋ tiražų; pranašumas turi išlikti pritaikius vienos standartinės paklaidos baudą.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalija. Absoliutusis nuokrypis nuo tikėtinojo pasirodymų skaičiaus; √(1−2/π) – |Z| standartinis nuokrypis, kai Z yra standartinis normalusis dydis.

Struktūra ir padengimas

Struktūriniai komponentai eilutę lygina su praėjusių tiražų profiliu: lyginumas, maži/dideli skaičiai, sankaupos ir tarpai yra kategoriniai su Laplaso glodinimu; suma ir sklaida – Gauso.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Logaritminiai tikėtinumai: ℓ₁ kategorinis (lyginumas, maži/dideli, sankaupos; J kategorijų, n_j praėjusių tiražų kategorijoje j), ℓ₂ Gauso (suma, sklaida), ℓ₃ tarpai tarp gretimų skaičių.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Bilieto padengimas: 𝒫′ – kitų bilieto eilučių porų aibė; antrasis narys skaičiuoja skaičių lauko dešimtis, kurias eilutė paliečia.

Eva Lind · Taikli šaulė

Strategija: ilgalaikis dažnis su Bajeso sutraukimu. Šaltiniai: Bayes 0.8 + „Karšti numeriai“ 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; be reikšmingumo testo (tikslūs svoriai).

Taisyklė: geriausias pakeitimas visada yra rečiausias eilutės skaičius → dažniausias skaičius už jos ribų; jis tinkamas, kai $\Delta \ge 0.12$ .

Išsamiau

Maya Chen · Formos architektė

Strategija: eilutės forma. Šaltiniai: Gausas 0.5 + „Kombinuota analizė“ 0.5; struktūros svoris 2 lyginumui, mažiems/dideliems skaičiams, sumai, sklaidai ir sankaupoms; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Taisyklė: struktūros narys įskaitomas visada, todėl pakeitimas, priartinantis eilutę prie tipinės praėjusių tiražų formos, gali tapti tinkamas vien dėl struktūros.

Išsamiau

Clara Moretti · Anomalijų medžiotoja

Strategija: anomalijos į abi puses. Šaltinis: anomalijos signalas; tarpų struktūra 0.4, įskaitoma tik reikšmingam pakeitimui; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Anomalijos signale vidurkis susiprastina: svarbus tik absoliučiųjų nuokrypių skirtumas.

Išsamiau

Leila Haddad · Pasaulinė stebėtoja

Strategija: pasaulio profilis. Šaltiniai: „Pasaulio karšti“ 0.5 + „Pasaulio kombinuoti“ 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; reikia kitų loterijų duomenų.

Išsamiau

Freya Olsen · Aprėpties inžinierė

Strategija: bilieto padengimas neteikiant pirmenybės skaičiams. Šaltinių nėra; padengimo svoris 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Išsamiau

Nora Blake · Aiškiaregė

Eksperimentinis

Strategija: pramoginė astrologinė sistema tiražo datai. Šaltinis: kvantinis-astralinis modelis; $E_{\min} = 0.05$ ; reikia tikslinio tiražo datos.

Išsamiau

Derek Cole · Grandinių meistras

Strategija: perėjimai nuo paskutinio tiražo. Šaltinis: Markovo grandinės; tarpų struktūra 0.4, įskaitoma visada; $E_{\min} = 0.12$ . Kadangi Markovo svorių suma lygi vienetui, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Išsamiau

Marcus Reed · Pavojaus signalas

Strategija: ilgiausias nebuvimas. Šaltiniai: „Spragų analizė“ 0.8 + „Karšti numeriai“ 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; be reikšmingumo testo.

Išsamiau

Victor Moreau · Loterijos automato fizikas

Strategija: fizinis būgno poslinkis kartotųsi kiekviename laikotarpyje. Šaltinis: pakartojamumas; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Triukšmo grindys neleidžia, kad keturi sėkmingi langai atrodytų reikšmingi.

Išsamiau

Noah Bennett · Budrus skeptikas

Strategija: atmesti gryną atsitiktinumą griežčiausiu lygmeniu. Šaltinis: dažnio testas; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Noah Bennett testo statistika uždaruoju pavidalu.

Išsamiau

Elias Berg · Iliuzionistas prieš srovę

Eksperimentinis

Strategija: prieš minią – retesni skaičiai. Šaltiniai: „Kvantinis kolapsas“ 0.85 + „Paradoksų sistema“ 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Išsamiau

Leo Fischer · Sutarimo dirigentas

Strategija: modelių konsensuso stabilumas. Šaltinis: konsensusas (trys nepriklausomi paleidimai); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Išsamiau

Prisiekusiųjų generavimas

Kai prisiekusieji eilutę ne peržiūri, o generuoja, kiekvienas prisiekusysis pagal savo svorius $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ ištraukia 40 kandidatinių eilučių ir pasilieka geriausią pagal

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Prisiekusiojo balsas. Prisiekusiųjų eilutę sudaro k daugiausia balsų surinkusių skaičių; lygiųjų atveju lemia didesnis normuotas palaikymas, tada mažesnis skaičius.

Šeši gynėjai

Gynėjai siūlomą pakeitimą $n_c \to n_p$ – dabartinį ir siūlomą skaičių, ištrauktus $x_c$ ir $x_p$ kartų per $D$ tiražų – vertina savais signalais. Teigiamos reikšmės palankios pasiūlymui:

Signalas	Apibrėžimas
dažnis	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
aposteriorinis	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, laukas, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struktūra	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilumas	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ per šešis iš eilės einančius laikotarpius

Aposteriorinė tikimybė apskaičiuojama tiksliai, be normaliojo aproksimavimo:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Uždarasis pavidalas Beta aposterioriniams skirstiniams su sveikaisiais parametrais; Beta funkcija naudoja Lanczos log-Gamma.

Pakeitimo sprendimo taisyklė, kur $\bar z$ – gynėjo signalų svertinis vidurkis:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Gynėjo pozicija ψ: S – pritarimas, P – protestas, O – prieštaravimas. χ = 1, kai gynėjo patikros sėkmingos: pritarimui – signalų vienbalsiškumas, antrojo signalo sutapimas ir struktūrinis veto; protestui – tik vienbalsiškumas ir sutapimas.

Thomas Keller · Paskirtasis gynėjas

FREE

Signalai: dažnis + Bayes + struktūrinis laukas, visi turi sutapti; pritarimas nuo 1, protestas nuo −1; reikia 20 tiražų, o esant 5–19 tiražams veikia ribotu režimu su Bayes + aposterioriniu signalu.

Išsamiau

Elena Rossi · Statistikos gynėja

Signalas: dažnis su daugybinių palyginimų pataisa; struktūrinis veto nuo −1; pritarimas ir protestas nuo 1.96; bent 30 tiražų.

Išsamiau

Amelia Grant · Prieš klaidingą užtikrintumą

Signalas: aposteriorinė pranašumo tikimybė; pritarimas, kai $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protestas, kai $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); bent 10 tiražų.

Išsamiau

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Pozicija
30	1	7	0.987	pritarimas
30	4	3	0.354	prieštaravimas
30	5	2	0.128	protestas
100	6	16	0.987	pritarimas

Julien Morel · Struktūros gynėjas

Signalas: bendras šešių struktūrinių logaritminių tikėtinumų pokytis; pritarimas nuo 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nato), protestas nuo 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); bent 20 tiražų.

Išsamiau

Ingrid Falk · Stabilumas laike

Signalas: siūlomo skaičiaus laimėjimai minus pralaimėjimai per šešis iš eilės einančius laikotarpius; turi sutapti su bendruoju dažniu; slenkstis 1.5, taigi reikia bent $W - L \ge 4$ ; bent 30 tiražų.

Išsamiau

Adrian Vega · Pramoginė astrologija

Eksperimentinis

Signalas: kvantinio-astralinio modelio svoriai tikslinio tiražo datai; pritarimas ir protestas nuo 0.5.

Išsamiau

Aukščiausiasis teisėjas

Teisėjas sprendžia dėl ginčijamo skaičiaus pagal struktūrinį lauką $F$ , normuotą pagal jo didžiausią reikšmę: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Skaičius yra silpnas, jei patenka į žemiausius 35% lauko.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ – didėjimo tvarka surikiuotų lauko reikšmių pozicinė statistika; dabartinis skaičius silpnas, kai φ(n_c) < θ. Paraštė m taikoma, kai protestuoja daugiau nei pusė poziciją užėmusių gynėjų.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Nuosprendis V – skaičius, kurį teisėjas palieka toje pozicijoje; taikoma pirmoji tinkanti eilutė. a* – skaičius su didžiausia lauko reikšme už eilutės ribų, kitas nei pasiūlytasis.

Aukščiausiojo teisėjo analizė ir rekomendacija

Visoms eilutėms teisėjas pateikia eilutės įvertį ir siūlo iki $\lfloor k/2 \rfloor$ silpniausių skaičių, esančių žemiau $\theta$ , pakeisti stipriausiais skaičiais už eilutės ribų. Kuriuos pakeitimus taikyti, renkatės jūs. Kai eilučių nėra, teisėjas rekomenduoja: tolygiai atsitiktiniai juodraščiai patobulinami tuo pačiu būdu ir grąžinami su savo kilme.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Aukščiausiojo teisėjo analizės eilutės įvertis.

Sprendimai, paketai ir istorija

Sprendimai: priimti pasiūlymą, priimti gynybos poziciją, priimti teisėjo nuosprendį, palikti pradinį, atšaukti. Skaičiai keičiasi tik tada, kai priimate pasiūlymą, priimate skaičių pakeičiantį teisėjo nuosprendį arba atšaukiate; kiekvienas pakeitimas yra transformacija kilmės įraše.
Masiniai sprendimai: ne daugiau kaip vienas pakeitimas vienam skaičiui. „Priimti visus daugumos pakeitimus“ taiko tik variantus, kuriuos pasirinko daugiau nei pusė pasirinktų prisiekusiųjų; „Taikyti visus pasiūlymus“ kiekvienam skaičiui ima daugumos variantą, o jei jo nėra – daugiausia balsų surinkusį, ir praleidžia lygiąsias.
Paketai: iki 50 eilučių peržiūra ta pačia personažų sudėtimi laikoma vienu bandymu; jau išanalizuotos eilutės praleidžiamos, o nutrauktas paketas tęsiamas pagal tą patį planą.
Istorija: įvykių tipai – prisiekusiųjų peržiūra, modelio peržiūra, pasiūlymas, gynybos peržiūra, teisėjo peržiūra, sprendimas ir transformacija; žurnale saugoma iki 200 įvykių, o transformacijos ir naujausios peržiūros niekada nepašalinamos.

Teismo atskaitomybė

Kiekvienas teiginys įrašomas į prognozių žurnalą prieš jo tiražą ir po jo įvertinamas, palyginti su atsitiktinumu. Teiginiams apie $n_i$ skaičių, kai bazinė tikimybė $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H – pataikymų skaičius. Šaltinis įtraukiamas į reitingą tik turint bent 30 skaičių iš bent 3 tiražų.

4. 3D būgnas: fizikos variklis

3D traukimas yra realaus laiko standžiųjų kūnų simuliacija: kamuoliukai yra kūnai, turintys masę, inerciją, trintį ir atsistatymo koeficientą, juos stumia gravitacija, maišantis rotorius ir oro srautų laukas, o ištrauktas kamuoliukas yra tas, kuris fiziškai įkrenta į išėjimo angą. Tai patikimas fizinis būgno modelis, o ne tikros mašinos įrašas.

SuperEnalotto būgnas su 90 kamuoliukų, maišomų renkantis kamuoliuką — 90 SuperEnalotto kamuoliukų simuliuojamoje kameroje

Variklis ir koordinatės

Fiziką skaičiuoja Rapier 3D (0.14 versija, WebAssembly); vaizdas atvaizduojamas su Three.js (r169). Koordinačių sistema dešininė, $+y$ nukreipta aukštyn, pradžia – kameros centre; rotoriaus ašis yra horizontali $x$ ašis, o $+z$ nukreipta į žiūrovą.

Kamera: sfera, kurios spindulys $R = 3.0$ vieneto, sudaryta kaip trikampių tinklas su į vidų nukreiptomis normalėmis ir apskrita išėjimo anga apačioje (pusė kampo $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Kamuoliukai: sferos, kurių spindulys $r = 0.2$ ir tankis 1; po vieną kamuoliuką kiekvienam skaičiui, nuo 5 iki 90 kamuoliukų.
Rotorius: kinematinis velenas su šešiais svirčių petimis, kurių kapsulės formos mentės parinktos taip, kad sukimosi plokštumoje baigtųsi 0.14 vieneto nuo stiklo, ir mažesnis trijų svirčių rotorius, kurio sukimosi kryptis keičiasi tarp maišymo fazių.
Sklendė: cilindrinis kamštis išėjimo angoje, pašalinamas, kai kamuoliukas gali išriedėti.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Kamuoliuko masė, inercijos momentas ir svoris modelio vienetais.

Mastelis ir Frudo panašumas

Vienas modelio vienetas yra 10 cm: 40 mm kamuoliukas yra 0.4 vieneto, o kamera – 600 mm sfera. Gravitacija sumažinta iki $30$ vienetų/s² vietoj tikrųjų $98.1$ . Gravitacijos ir inercijos lemiamas judėjimas atrodo vienodai, kai Frudo skaičius tas pats, todėl simuliacija atitinka natūralaus dydžio mašiną su lėtesniu laikrodžiu:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Su brūkšneliu pažymėti dydžiai priklauso modeliui. Vienodas Frudo skaičius esant vienodam ilgiui: greičiai keičiasi proporcingai √γ, o laikai – 1/√γ.

Jėgos

Kiekvienam kamuoliukui galioja antrasis Niutono dėsnis su jėgomis, kurias kodas iš tikrųjų taiko:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D – oro pasipriešinimas, F_W – analitinė sienelė, F_S – siurbimas prie angos, F_C – kontaktai su kamuoliukais, rotoriumi ir sklende (skaičiuoja Rapier); τ – atitinkami jėgų momentai. Rapier taip pat taiko nedidelį linijinį ir kampinį slopinimą, o greičiai saugumo sumetimais apriboti iki 22 vienetų/s ir 105 rad/s.

Oro laukas ir kvadratinis pasipriešinimas

Pūstuvas modeliuojamas kaip iš anksto nustatytas oro greičio laukas $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; kiekvieną kamuoliuką veikia kvadratinis pasipriešinimas vietinio oro greičio atžvilgiu. Pasipriešinimo konstanta nustatoma pagal 48 vienetų/s ribinį greitį:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

Ramiame ore krintantis kamuoliukas pasiekia v_t = √(g/k_d) = 48 vienetus/s, tikruoju masteliu – apie 8.7 m/s.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Centrinė kylanti srovė: stipriausia ant ašies prie dugno (102 ties y = −3, 68 centre, 34 viršuje); ρ_h – horizontalus atstumas nuo ašies.

Sūkurys: horizontalus 11 vienetų/s sukimasis apie vertikalią ašį.
Srautas į centrą: už 60% spindulio – iki $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ link centro, kad kamuoliukai nuolat cirkuliuotų, o ne liptų prie stiklo.
Turbulencija: glotnus trimatis reikšmių triukšmas (value noise), kurio amplitudė 58, slenkantis laike; tai fiksuota deterministinė funkcija, o ne atsitiktinių skaičių generatorius.
Gūsiai prieš sąstingį: kamuoliukas, per ilgai užsibuvęs apačioje, viršuje, prie sienelės arba beveik nejudantis, gauna vietinį gūsį, pridedamą prie oro greičio ir vis tiek veikiantį per pasipriešinimą.

Analitinė sferinė sienelė

Be tinklo, stiklas greičių lygmeniu įgyvendinamas kaip tiksli sfera – tai neleidžia prasiskverbti kiaurai (tunelio efektas) ir užtikrina teisingą riedėjimą. Kai išorinė normalė $\hat{\mathbf n}$ , išorinis greitis $v_n$ ir įsiskverbimas $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekuliatyvaus kontakto leidžiamasis greitis v* ir atsistatymo koeficientas e (e_b – kamuoliuko atsistatymo koeficientas; žemiau slenkstinio greičio jis lygus nuliui, kad gulintis kamuoliukas nevirpėtų).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normalinis atsakas, taikomas tik tada, kai v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Kulono trintis sąlyčio taške; s – tangentinis slydimo greitis v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), kur μ_b – kamuoliuko trintis.

Kontaktai tarp kūnų

Kamuoliuko–kamuoliuko, kamuoliuko–rotoriaus ir kamuoliuko–sklendės kontaktus sprendžia Rapier ryšių sprendiklis su nenutrūkstamu kamuoliukų susidūrimų aptikimu. Koeficientai derinami vidurkinant:

Pora	Trintis	Atsistatymas
kamuoliukas – kamuoliukas	0.16	0.55
kamuoliukas – stiklas	0.255	0.415
kamuoliukas – mentė	0.19	0.525
kamuoliukas – petys arba velenas	0.17	0.35
kamuoliukas – sklendė	0.23	0.375

Traukimo metu slopinimas nedidelis (linijinis 0.05, kampinis 0.035), o kamuoliukams nurimstant – stiprus (2.4). Riedėjimo pasipriešinimo parametro nėra: riedėjimas lėtėja tik dėl slopinimo ir kontaktinės trinties.

Laiko žingsnis ir integravimas

Simuliacija juda fiksuotais žingsniais, nepriklausančiais nuo ekrano atnaujinimo dažnio; kiekvienas kadras atlieka tiek fiksuotų žingsnių, kiek reikia realiam laikui, bet ne daugiau kaip penkis:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Fiksuoto žingsnio kaupiklis: Δt_f trukmės kadras atlieka n fiksuotų žingsnių (ne daugiau kaip 5); kiekvienas žingsnis dalijamas į 2 Rapier pažingsnius po h = 1/120 s su 6 sprendiklio iteracijomis.

Pažingsnio viduje variklis pagal jėgas atnaujina greičius, o tada pagal naujus greičius – padėtis; tai pusiau neišreikštinė (simplektinė) Eulerio schema, naudojama impulsiniuose varikliuose, čia parodyta kaip bendrasis principas:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Bendrasis pavidalas: F – veikiančios jėgos, F_c – ryšių (kontaktų) jėgos, kurias randa iteracinis Rapier sprendiklis.

Pačios programėlės jėgos (oras, sienelė, siurbimas) apskaičiuojamos kartą per žingsnį pagal jo pradžios būseną ir išlaikomos abiejuose pažingsniuose. Rotorius yra kinematinis, o jo tikslinė reikšmė atnaujinama kiekviename pažingsnyje:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Eksponentinis rotoriaus greičio artėjimas prie tikslinės reikšmės; maišymas cikliškai eina per 2.4, 2.9, 2.1 ir 2.7 rad/s.

Kaip išrenkamas kamuoliukas

Po 1 s įsibėgėjimo ir 2.6 s maišymo atsidaro sklendė. Kol anga atvira, kylanti srovė virš jos tolygiai išnyksta, centrinė srovė sumažinama iki 62%, o maždaug 2.2 kamuoliuko svorio (po 5 s – apie 4) siurbimas traukia arti angos esančius kamuoliukus:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Siurbimas prie angos (y < −1.6 ir horizontalus atstumas < 0.6); t_c – laikas nuo sklendės atidarymo.

Ištrauktas kamuoliukas yra pirmasis, kurio centras nusileidžia žemiau $y = -3.18$ ; jei tame pačiame žingsnyje tai padaro keli – žemiausiai esantis. Tuo momentu jokio atsitiktinio skaičiaus nenaudojama. Traukimo atsitiktiniai skaičiai yra pradinis kamuoliukų išdėstymas ir nedidelis pradinis greitis bei sukimasis, gaunami iš Web Crypto API (dar kartą, kai įkeliama atskira papildomų skaičių aibė). Tada kamuoliukas išėjimo keliu nukeliauja į stovą; šis judėjimas yra iš anksto suprogramuotas, o ne simuliuojamas.

Atvaizdavimas, simuliacija ir atsitiktinumas

Simuliacija: fiksuoti 1/60 s žingsniai; kokybės nustatymai (ultra, aukšta, vidutinė, žema) keičia tik šešėlius, švytėjimą (bloom), raišką ir tinklų detalumą, bet niekada ne fiziką.
Atvaizdavimas: kiekviename kadre rodomas paskutinis užbaigtas žingsnis; interpoliacijos tarp žingsnių nėra.
Atsitiktinumas: jėgos deterministinės; rezultatas priklauso nuo pradinio išdėstymo, o nuo antrojo kamuoliuko – ir nuo to, kiek laiko įrenginyje trunka ankstesnio kamuoliuko parodymas, todėl tiksliai pakartoti traukimo neįmanoma.

5. Realių tiražų statistika

Analitikos ekranai aprašo istorinius tiražus. Jie atsako į klausimus „kas įvyko“ ir „ar tai atitinka sąžiningą loteriją“, bet niekada – „kas įvyks“.

Dažniai, karšti ir šalti skaičiai

Kiekvienam skaičiui programėlė suskaičiuoja pasirodymus lange ir parodo juos šalia sąžiningos loterijos tikėtinojo pasirodymų skaičiaus; standartinis nuokrypis čia pateikiamas informacijai:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Vieno skaičiaus tikėtinasis pasirodymų skaičius (rodomas programėlėje) ir jo standartinis nuokrypis (informacijai) per D nepriklausomų tiražų.

Karšti ir šalti: penki dažniausi ir penki rečiausi skaičiai, kiekvienas su savo tikėtinuoju pasirodymų skaičiumi (reikia bent 5 tiražų).
Dažnių stulpeliai: raudoni, kai skaičiaus dalis viršija 1.3 karto tikėtiną dalį, mėlyni – kai mažesnė nei 0.7 karto.
Šilumos žemėlapis: spalva pagal min–max normavimą $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Eurojackpot 50 pagrindinių skaičių šilumos žemėlapis, nuspalvintas nuo mėlynos iki raudonos — Šilumos žemėlapis: spalva rodo tik praeities dažnį

Sąžiningumo testas: χ² su pataisa

χ² testas tikrina, ar pasirodymų skaičiai suderinami su vienodomis tikimybėmis. Viename tiraže $k$ skaičių imama be grąžinimo, todėl pasirodymų skaičiai neigiamai koreliuoti; tada paprastoji multinominė statistika būna per maža, ir programėlė ją pataiso:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pirsono statistika su ėmimo be grąžinimo pataisa; reikia bent 10 tiražų.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Reguliarizuotoji viršutinė nepilnoji gama funkcija, apskaičiuojama eilute ir grandinine trupmena.

p reikšmė	Išvada
$p > 0.05$	reikšmingo nuokrypio nėra
$0.01 < p \le 0.05$	ribinis nuokrypis
$p \le 0.01$	statistiškai reikšmingas nuokrypis

Sąžiningumo patikra su pataisytu χ², laisvės laipsniais, p reikšme ir poziciniu Q testu — χ² sąžiningumo testas ir pozicinis auditas

Pozicinis Q testas

Turint bent 30 pilnų tiražų, programėlė dar tikrina kiekvienos surikiuotos pozicijos vidurkį (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). $i$ -asis mažiausias iš $k$ skaičių, ištrauktų iš $1..N$ , turi vidurkį ir kovariaciją

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ – stebėtų pozicijų vidurkių ir μ skirtumų vektorius per m tiražų.

Poros, palyginimai ir patikros

Poros: 12 × 12 matrica, rodanti, kaip dažnai 12 dažniausių skaičių pasirodė kartu (bent 10 tiražų). Tai neapdoroti pasirodymų skaičiai; palyginimui, tikėtinas konkrečios poros pasirodymų skaičius sąžininguose tiražuose yra $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Loterijų palyginimas: aukso prizo tikimybė, kaina, visų derinių nupirkimo kaina.
Matematikos patikra: programėlė iš naujo apskaičiuoja $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ ir palygina su išsaugota konstanta, o analizės lango tiražus tikrina dėl intervalo klaidų, neteisingo kamuoliukų skaičiaus ir pasikartojančių datų.
Prizų lygiai: kiekvieno tiražo oficialios išmokų lentelės. Tiražo vaizdas suvidurkina paskutines 60 tikrų išmokų lentelių; tik loterijai, neturinčiai jokių išmokų duomenų, laimėtojai įvertinami pagal 8 skyriaus prizų lygių tikimybes ir tariamą pardavimų apimtį, todėl tie skaičiai yra iliustratyvūs.

Viso gyvenimo žaidimo simuliacija

50 metų simuliacija naudoja tikimybę bent kartą laimėti aukso prizą per $T$ nepriklausomų bilietų:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Tikimybė bent kartą laimėti aukso prizą per T bilietų; C – aukso prizo derinių skaičius, d – tiražų per savaitę, r – eilučių per tiražą.

6. Kalendorinė analizė

Kalendorinė analizė ieško tiražų datų ir ištrauktų skaičių sutapimų – pavyzdžiui, kai mėnesio diena atsiduria tarp ištrauktų kamuoliukų – ir kiekvieną stebėtą dažnį lygina su dažniu, kurį duotų grynas atsitiktinumas.

Tiražų atranka

Tiražus galima filtruoti pagal metus, mėnesį, tą patį mėnesį visais metais arba datų intervalą, taip pat pagal taisyklių laikotarpį. Dažnių sąrašai (karšti, šalti, ilgiausiai nepasirodę) naudoja neapdorotus pasirodymų skaičius atrankoje; skaičius, negalimas visuose pasirinktuose laikotarpiuose, praleidžiamas, o laikotarpius maišanti atranka pažymima įspėjimu, nes tik naujesniame laikotarpyje galiojantis skaičius klaidingai atrodo „šaltas“. Toliau pateiktos datų taisyklės atsižvelgia į laikotarpius: tiražas taisyklei įskaitomas tik tada, jei bent vienas kandidatas yra galiojantis skaičius pagal paties tiražo taisykles.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Stebėtas datos taisyklės dažnis: C_t – tiražo t kandidatiniai skaičiai, X_t – jo ištraukti skaičiai, Ω_t – pagal jo taisykles galiojantys skaičiai; ℰ – tinkami tiražai.

Dešimt datų taisyklių

Taisyklė	Kandidatiniai skaičiai tiražui, vykusiam DD.MM.YYYY
diena	DD
mėnuo	MM
metai	YYYY mod 100
valanda	tiražo valanda, jei operatorius ją skelbia
metų skaitmenys	skirtingi YYYY skaitmenys
metų skaitmenų suma	YYYY skaitmenų suma
dviženklių metų suma	YYYY mod 100 skaitmenų suma
dienos skaitmenų suma	DD skaitmenų suma
datos skaitmenų suma	visų DD, MM ir YYYY skaitmenų suma
skaitmeninė šaknis	datos skaitmenų suma, suvesta iki vieno skaitmens

Kandidatas, lygus 0, ignoruojamas, o tiražas taisyklei įskaitomas vieną kartą, net jei sutampa keli jo skaičiai.

Atsitiktinis lūkestis

Kai traukiama $k$ skaičių iš $S$ galimų reikšmių, o kandidatinių skaičių aibėje yra $m$ skaičių, tikimybė, kad nebus ištrauktas nė vienas kandidatas, yra hipergeometrinė:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: neištraukiamas nė vienas kandidatas; P≥1: ištraukiamas bent vienas. Kandidatai už tiražo laikotarpio intervalo ribų atmetami.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Tikėtinas sutapimų dažnis r̂ per tinkamus tiražus ℰ, kurių kiekvienas turi savo laikotarpį; pagrindinės ir papildomos aibių P^M ir P^B derinamos kaip nepriklausomos.

Kalendoriniai sutapimai su stebėtais dažniais šalia atsitiktinio lūkesčio — Kalendoriniai sutapimai, palyginti su atsitiktinumu

Kaip interpretuoti dažnius

Poros pateikiamos nuo 30 tiražų, trejetai – nuo 120 (tik bent du kartus pasitaikę deriniai, dešimt dažniausių); esant mažiau nei 100 tiražų, rodomas mažos imties įspėjimas. Esant 100 tiražų, apie 20% dažnio 95% intervalas vis dar yra maždaug $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ procentinio punkto.

7. Istorinis archyvas ir taisyklių laikotarpiai

Loterijos keičia savo taisykles. Tiražas turi prasmę tik kartu su jo datą galiojusiomis taisyklėmis, todėl kiekvienas išsaugotas tiražas turi savo taisyklių versiją.

Taisyklių laikotarpiai

Loterija	Laikotarpiai (pagrindiniai · papildomi)
Lotto (Norvegija)	7/34 + 3 papildomi → 7/34 + 1 papildomas (nuo 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + papildomas ir laimingasis skaičius → Viking skaičius 1–8 (2017) → 1–5 (nuo 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (nuo 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (nuo 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (nuo 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (nuo 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly nuo 1997 m.; SuperStar yra atskiras būgnas ir į modelius neįtraukiamas
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (nuo 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (nuo 19.04.2018)

Suderinamumo taisyklė

Modeliai ir analitika naudoja tik tiražus, palyginamus su dabartinėmis taisyklėmis. Du laikotarpiai lyginami grupė po grupės:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Laikotarpis e palyginamas pagrindiniams skaičiams, kai sutampa jų kiekis ir intervalas (kairėje), o papildomiems – kai sutampa kiekviena papildomų skaičių grupė 𝓑 (dešinėje). Tiražas su palyginamais pagrindiniais skaičiais, bet kitokiomis papildomų skaičių taisyklėmis išlaiko pagrindinius skaičius, o papildomų netenka.

Eurojackpot istorija su dabartinių taisyklių laikotarpio kortele ir tiražais, pažymėtais jų taisyklių versija — Archyvas kiekvieną tiražą pažymi jo taisyklių laikotarpiu

8. Tikimybė ir apribojimai

Kiekvienas oficialus tiražas yra nepriklausomas atsitiktinis eksperimentas. Jokia istorija, modelis, teismas ar simuliacija nepakeičia nė vieno derinio tikimybės.

Aukso prizo tikimybė

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Vienos eilutės aukso prizo tikimybė pagal dabartines taisykles (dešinėje – Eurojackpot); loterijos be žaidėjo renkamo papildomo skaičiaus naudoja tik pirmąjį daugiklį.

Loterija	Taisyklės	Aukso prizo tikimybė
Lotto (Norvegija)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Kiekvienas prizų lygis

Atspėti lygiai $i$ iš $k$ pagrindinių skaičių ir $j$ iš $b$ papildomų skaičių – tai dviejų hipergeometrinių tikimybių sandauga:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Kai papildomas kamuoliukas traukiamas iš to paties būgno (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max), antrasis daugiklis „+1“ atveju yra (k−i)/(N−k).

Eurojackpot prizo lygis	Tikimybė
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Kodėl joks metodas negali pranokti atsitiktinumo

Jei tiražai nepriklausomi ir kiekvienas derinys vienodai tikėtinas, kito tiražo sąlyginė tikimybė esant bet kokiai istorijai yra tokia pati kaip ir be jos, o tikėtinas atspėtų pagrindinių skaičių kiekis yra vienodas kiekvienai eilutei, kad ir kaip ji būtų sudaryta:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H – atspėtų eilutės pagrindinių skaičių kiekis. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 vienai eilutei, taikant bet kurį metodą.

Atidaryti Lotto Simulator