Matemáticas y tecnología

Las matemáticas, la estadística, los algoritmos y la física reales que hay detrás de Lotto Simulator, tomados del código que se ejecuta en la aplicación.

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Cómo leer esta página

Cada fórmula de esta página está copiada de la implementación, no de un folleto. Cuando un componente es una regla determinista o una heurística y no una fórmula, describimos el algoritmo tal como se ejecuta y no le inventamos matemáticas.

Lotto Simulator es un entorno analítico, educativo y de simulación. Genera combinaciones con dieciséis métodos, las somete a un Tribunal Matemático de doce jurados, seis abogados defensores y un Juez Supremo, comprueba si los historiales de sorteos reales son justos, analiza coincidencias de calendario y reproduce un bombo de lotería físico en 3D. Nada de esto cambia la probabilidad de ningún número en un sorteo oficial: la sección 8 explica por qué, con cifras.

Notación utilizada en toda la página

donde

$N$: tamaño del conjunto de números principales (por ejemplo, 50 en Eurojackpot)
$k$: cuántos números principales se extraen y se juegan (5 en Eurojackpot)
$B,\; b$: tamaño del conjunto adicional independiente y cuántos números adicionales se juegan (12 y 2 en Eurojackpot)
$D$: número de sorteos pasados en la ventana de análisis seleccionada
$c_n$: cuántas veces apareció el número $n$ entre los números principales de esos $D$ sorteos
$t = 0, 1, \dots$: índice del sorteo, del más reciente al más antiguo: $t = 0$ es el último sorteo
$\binom{n}{r}$: coeficiente binomial, el número de formas de elegir $r$ elementos entre $n$

1. Arquitectura del sistema

Una aplicación, una sola base de código: la misma aplicación web funciona en navegadores de escritorio y móviles y, sin cambios, dentro de las aplicaciones de iOS y Android (Capacitor WebView). Los cálculos pesados y de pago se ejecutan en el servidor; todo lo que ve el usuario se representa en el dispositivo.

Dispositivo (web, iOS, Android)Interfaz, boleto y conjuntos de trabajo, los cuatro métodos FREE del generador, gráficos de frecuencias, prueba de χ², cálculos de calendario y bombo 3D. Puro aleatorio y el bombo 3D obtienen su aleatoriedad de la Web Crypto API.
Funciones edge (TypeScript, Deno)Los doce métodos PRO del generador, los diecinueve modelos del Tribunal, los doce jurados, los seis abogados, el Juez Supremo, los diseños de rueda y el registro de pronósticos. El Tribunal funciona con flujos aleatorios con semilla y reproducibles.
Base de datos (PostgreSQL)Resultados oficiales de los sorteos con su versión de reglas, tablas de premios, cuentas y derechos de acceso, y el registro de pronósticos de solo adición junto con su evaluación.
Canal de datosTareas programadas recopilan los resultados oficiales, validan cada sorteo frente a las reglas de su época y publican el conjunto de datos con las reglas actuales.

Quién calcula qué

En el navegador: los métodos FREE (Números calientes, Combinado, Cobertura de segmento, Puro aleatorio) y toda la estadística descriptiva. La versión pública elimina físicamente del cliente las implementaciones PRO: sus funciones se sustituyen por stubs, de modo que un resultado PRO solo puede venir del servidor.
En el servidor: todos los métodos PRO, todo el Tribunal Matemático y el Juez Supremo. Una solicitud contiene la lotería, el método, el número de filas (1–50) y la ventana de análisis; el servidor carga los sorteos por su cuenta, así que el cliente no puede alimentarlo con un historial inventado.
Regla de fallo seguro: un modelo del servidor necesita al menos 5 sorteos en la ventana de análisis seleccionada. Con menos, se niega con una respuesta explícita de «historial insuficiente» en lugar de producir filas de la nada.

Cálculo reproducible del Tribunal

Cada jurado, abogado y modelo del Tribunal funciona con su propio flujo pseudoaleatorio, cuya semilla es un hash de la versión del algoritmo, el personaje, la lotería, el historial completo de sorteos y la fecha del sorteo objetivo. Por eso, los mismos datos producen siempre el mismo veredicto, y cualquier cambio en el historial cambia todos los flujos.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Semilla de un cálculo del Tribunal y flujo de números uniformes que se obtiene de ella.

donde

$v$: versión del algoritmo del motor del Tribunal
$\kappa$: clave del personaje o del modelo, por ejemplo el identificador de un jurado
$H$: todos los sorteos de la ventana, con los números principales y adicionales en orden
$g,\; d$: identificador de la lotería y fecha del sorteo objetivo
$h_0$: la base de desplazamiento (offset basis) de FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ calcula el hash del texto $x$ partiendo del estado $h$
$u_i$: el $i$ -ésimo número aleatorio uniforme del flujo

Persistencia y procedencia

Cada combinación lleva un registro de procedencia: su origen (método del generador, jurado, consenso del jurado, rueda, sorteo 3D, Juez Supremo, entrada manual), los números con los que empezó y un registro de eventos de solo adición con revisiones, propuestas, posturas de los abogados, veredictos, decisiones y transformaciones (como máximo 200 eventos). Un registro solo se acepta si, al volver a aplicar sus transformaciones a los números iniciales, se reproduce exactamente la fila; de lo contrario, la fila se muestra con el origen no disponible.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Comprobación de procedencia: la fila actual R_m debe ser igual a la fila inicial R_0 tras aplicar en orden cada sustitución registrada τ₁ … τₘ.

Linaje: cuando una fila se edita a mano, se crea un registro nuevo cuyo padre es el anterior (se conservan hasta cuatro registros previos), de modo que el historial anterior al cambio manual sigue visible.
Registro de pronósticos: cada recomendación (una fila generada, la sustitución de un jurado, la postura de un abogado, un veredicto) se anota en un registro antes del sorteo objetivo y se evalúa automáticamente tras el resultado oficial.

2. Generador principal: dieciséis métodos

El generador ofrece dieciséis opciones. Cuatro métodos FREE se ejecutan en el navegador; doce métodos PRO, en el servidor. Todos eligen $k$ números distintos de $1..N$ más los números adicionales de la lotería; solo se diferencian en cómo ponderan o construyen los números.

El Generador de combinaciones con la cantidad, el método de análisis y los tres filtros predeterminados — El panel del generador: selector de método y filtros predeterminados

Componentes comunes

Los métodos ponderados asignan un peso $w_n \ge 0$ a cada número y luego extraen de forma secuencial sin reemplazamiento: cada elección retira el número y vuelve a normalizar los pesos restantes.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Muestreo ponderado secuencial sin reemplazamiento, utilizado por todos los métodos basados en pesos.

donde

$x_j$: el $j$ -ésimo número elegido para la fila, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: el peso que el método asigna al número $n$

Aleatoriedad: en el navegador, Puro aleatorio y el paso de unicidad usan la Web Crypto API, mientras que Números calientes, Combinado y Cobertura de segmento usan el generador estándar del navegador (Math.random). En el servidor, los métodos obtienen aleatoriedad criptográfica, salvo el Modelo físico (generador estándar) y la semilla de Caos, que mezcla aleatoriedad criptográfica con un temporizador de alta resolución. En el navegador, un entero sin sesgo en $0..M-1$ se obtiene por muestreo de rechazo, de modo que ningún resto sale favorecido:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Muestreo de rechazo: un valor criptográfico x de 32 bits se vuelve a extraer hasta que queda por debajo del mayor múltiplo de M y después se reduce módulo M.

Números adicionales

Los números adicionales (Eurojackpot 2 de 12, EuroMillions 2 de 12, Powerball 1 de 26, Mega Ball 1 de 24, número Viking 1 de 5, Powerball AU 1 de 20) se extraen de su propio conjunto, con independencia de los números principales. Lotto, SuperEnalotto y Lotto Max no tienen número adicional para el jugador: su bola extra la extrae el operador del bombo principal.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Peso w′ⱼ del número adicional j con recuento adicional c′ⱼ para el método μ: freq = Números calientes; rnd, phys, chaos, world = Puro aleatorio, Modelo físico, Caos y métodos Mundiales; todos los demás métodos usan c′ⱼ + 2. Con menos de 5 sorteos, todos los métodos usan pesos uniformes.

Filtros FREE y unicidad

Las filas generadas en el navegador pasan tres filtros activados por defecto: no todos los números pares ni todos impares; la suma dentro de un intervalo; ninguna racha de más de tres números consecutivos. Una fila rechazada se sustituye por una fila aleatoria uniforme que supere los filtros (sus números adicionales se extraen con los pesos bayesianos $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Intervalo de suma predeterminado. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, intervalo 73–183.

Para no entregar dos veces la misma combinación en el mismo dispositivo, cada fila FREE se identifica por el rango lexicográfico de sus números principales entre las $\binom{N}{k}$ combinaciones y se compara con las últimas 20 000 filas emitidas para esa lotería; un rango repetido se modifica mediante intercambios aleatorios y, como último recurso, se toma el siguiente rango no utilizado de una permutación afín aleatoria de todos los rangos. Una fila modificada de este modo no vuelve a pasar por los filtros.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Rango lexicográfico de una combinación y recorrido afín de periodo completo sobre todos los rangos.

Rutas de ejecución FREE y PRO

Ruta	Métodos	Dónde se ejecuta	Filas por ejecución	Historial
FREE	Números calientes, Combinado, Cobertura de segmento, Puro aleatorio	navegador	hasta 5 (hasta 50 para usuarios PRO)	la ventana FREE de sorteos recientes
PRO	los otros doce métodos	servidor	hasta 50	la ventana de análisis seleccionada, al menos 5 sorteos

Números calientes

FREEEn el navegador

Objetivo: favorecer los números que más han aparecido en la ventana de análisis.

w_n = c_n + 0.05

Peso del número n; con menos de 5 sorteos, todos los pesos valen 1.

Detalles avanzados

Combinado

FREEEn el navegador

Objetivo: mezclar números calientes, intermedios y fríos en una proporción fija.

Los números se ordenan por $c_n$ (en caso de empate va primero el menor) y se dividen en tercios de tamaño $\lceil N/3 \rceil$ : calientes, intermedios y fríos. La fila $i$ toma elecciones uniformes de cada tercio:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

La fila i toma h números calientes, mᵢ intermedios y cᵢ fríos; las filas impares y pares intercambian las cuotas de intermedios y fríos.

Detalles avanzados

Cobertura de segmento

FREEEn el navegador

Objetivo: repartir una fila de forma uniforme por todo el rango de números.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Un número uniforme de cada uno de k segmentos consecutivos; el último segmento se queda con el resto.

Detalles avanzados

Puro aleatorio

FREEEn el navegador

Objetivo: la referencia honesta: todos los números son igual de probables.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Una mezcla criptográfica de Fisher–Yates da a todas las combinaciones la misma probabilidad antes del filtrado.

Detalles avanzados

Matriz de rueda

PROServidor

Objetivo: construir varias filas que, juntas, cubran tantas parejas de un pequeño conjunto de números como sea posible: un diseño de cobertura voraz.

El conjunto tiene $\min(N, k+5)$ números tomados alternativamente de los tercios caliente, frío e intermedio. Todas las $\binom{|P|}{k}$ combinaciones del conjunto son candidatas (por encima de 40 000 se usa una muestra aleatoria); en cada paso se añade la candidata con mejor puntuación y se marcan sus parejas como cubiertas:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Puntuación voraz de cobertura de parejas; los empates se deshacen de forma uniformemente aleatoria.

Detalles avanzados

donde

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: las parejas de la fila candidata $R$ y las parejas ya cubiertas por las filas elegidas
$u_n$: cuántas de las filas ya elegidas contienen el número $n$
$[\,\cdot\,]$: vale 1 si se cumple la condición y 0 en caso contrario

Mundial caliente y Mundial combinado

PROServidor

Objetivo: trasladar a la lotería actual el perfil de frecuencias de las nueve loterías disponibles.

Cada número extraído $x$ de cada lotería $g$ se transforma en su posición relativa $q = (x-1)/(N_g - 1)$ y se reparte con un núcleo gaussiano estrecho sobre los números de la lotería actual; cada lotería recibe el mismo peso por sorteo, y la frecuencia propia de la lotería actual se suma una vez más:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Puntuación mundial del número n; X_g son todos los números principales extraídos en la lotería g (hasta 400 sorteos recientes con las reglas actuales, D_g sorteos).

Detalles avanzados

Mundial caliente: $k$ elecciones uniformes entre los $\max(3k, 12)$ números con la puntuación más alta.
Mundial combinado: $\lceil 0.45k \rceil$ del tercio superior, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ del tercio inferior y el resto del tercio intermedio. Los números adicionales son uniformes.

Cadenas de Markov

PROServidor

Objetivo: ponderar los números según la frecuencia con que siguieron a los números del sorteo anterior.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Probabilidad de transición de primer orden con suavizado de Laplace, promediada sobre el último sorteo L.

Detalles avanzados

donde

$T(a \to b)$: cuántas veces apareció el número $b$ en el sorteo inmediatamente posterior a un sorteo que contenía $a$
$L$: los números principales del último sorteo

Gauss · teorema central del límite

PROServidor

Objetivo: construir filas cuya suma sea típica. La suma de $k$ números extraídos sin reemplazamiento tiene

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Media y varianza de la suma de la fila en un muestreo sin reemplazamiento (se sustituyen por los valores empíricos cuando hay al menos 5 sumas).

Detalles avanzados

Cada número se pondera con una gaussiana centrada en el valor medio por posición y se extraen hasta 40 filas candidatas; gana aquella cuya suma está más cerca de $\mu$ (la búsqueda se detiene antes si queda a menos de $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Peso por número del método Gauss.

Modelo de intervalo Δ

PROServidor

Objetivo: imitar la separación entre números vecinos en los sorteos reales.

De los últimos 120 sorteos recoge el número más pequeño de cada sorteo y todas las diferencias entre números vecinos ordenados. Una fila se construye como un inicio aleatorio más diferencias aleatorias; una fila que sobrepasa $N$ se rechaza (hasta 300 intentos y, después, una fila uniforme):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Bootstrap empírico de los primeros números y de las diferencias; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) es el sorteo t ordenado.

Detalles avanzados

Bayes · Dirichlet

PROServidor

Objetivo: frecuencia con contracción hacia la distribución uniforme.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Media a posteriori de una distribución a priori simétrica Dirichlet(α) actualizada con los recuentos observados; el método muestrea con pesos c_n + 3.

Detalles avanzados

Análisis de ausencias

PROServidor

Objetivo: favorecer los números que llevan mucho tiempo sin salir.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n es el índice del sorteo más reciente que contiene n (0 = el último sorteo); un número que no ha salido nunca obtiene D + ḡ.

Detalles avanzados

Modelo físico del bombo

PROServidor

Objetivo: dejar que una simulación 2D simplificada decida el orden de salida.

$N$ discos de radio $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ se mueven en un cuadrado unidad con ráfagas de aire aleatorias, una deriva constante hacia la salida, amortiguamiento y choques elásticos de masas iguales; el disco que abandona el cuadrado por la salida situada en el centro de la pared inferior es el extraído.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Un paso del modelo 2D (y apunta hacia abajo, hacia la salida; como máximo 2400 pasos). Un disco sale cuando 0.43 < x < 0.57 en la pared inferior; si salen menos de k discos, la fila se completa de forma uniforme.

Detalles avanzados

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Choque elástico de masas iguales: se intercambian las componentes normales de la velocidad.

Caos · aplicación logística

PROServidor

Objetivo: demostrar que un sistema totalmente determinista puede ser impredecible.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Tras 100 iteraciones de calentamiento a partir de una semilla aleatoria, se recogen valores hasta encontrar k números distintos.

Detalles avanzados

Colapso cuántico

PROServidorExperimental

Objetivo: un peso a contracorriente que favorece los números que salen poco.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Peso de «barrera de frecuencia»; los números aleatorios proceden de un búfer de valores criptográficos de 16 bits.

Detalles avanzados

Sistema de paradojas

PROServidorExperimental

Objetivo: filas de investigación basadas en propiedades contraintuitivas de las combinaciones aleatorias. Se usan cinco arquetipos por turnos:

Multitud: prefiere los números mayores que 31 en conjuntos de al menos 42 números (los cumpleaños terminan en el 31), con peso 2.6 por encima del corte y 0.28 por debajo, ×1.1 para los múltiplos de 10, y luego obliga a que al menos $\lceil 0.6k \rceil$ números estén por encima del corte. Menos gente juega esos números, así que un premio se repartiría entre menos personas; la probabilidad de ganar no cambia.
Choque: la mitad de la fila sale de los números más frecuentes y el resto, de los que llevan más tiempo ausentes.
Racimo: contiene una pareja de números consecutivos, una propiedad mucho más frecuente en los sorteos aleatorios de lo que sugiere la intuición:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot, alrededor del 35%; Lotto 7/34, alrededor del 78%.

Detalles avanzados

Espejo: empareja $n$ y $N + 1 - n$ .
Regresión: los números cuya tasa reciente (últimos 10 sorteos) más se aleja de su tasa a largo plazo.

3. El Tribunal Matemático

El Tribunal revisa una combinación que ya tienes. Los jurados y los modelos pueden proponer sustituir un número; los abogados defensores argumentan a favor o en contra de cada propuesta; el Juez Supremo resuelve a partir de un campo estructural de sorteos pasados. Los números solo cambian cuando tú lo decides, y cada paso queda registrado.

Selección de los doce jurados alrededor del emblema del Tribunal — El jurado: doce personajes, cada uno con su propia estrategia matemática

El orden de un caso

Propuesta. Un jurado o un modelo examina todos los intercambios posibles de un solo número en la fila y propone como máximo una sustitución, o bien propone mantener la fila.
Defensa. Los abogados toman postura sobre cada propuesta: apoyo, objeción o protesta. Un abogado nunca propone ni aplica un número.
Veredicto. El Juez Supremo acepta la propuesta, ofrece una alternativa o mantiene el número, basándose en el campo estructural de los sorteos pasados.
Decisión. Solo tú cambias los números: aceptar una propuesta, seguir a la defensa, aceptar al Juez, mantener el original o revertir. Cada decisión se guarda junto con su autor.

De un modelo a una preferencia por número

Cada modelo se reduce a una preferencia relativa $\operatorname{rel}(n)$ para cada número, donde 1 significa «la media del modelo», junto con un error estándar. Los modelos definidos por un vector de pesos explícito son exactos; los demás se miden ejecutándolos:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Preferencia relativa exacta de Números calientes, Markov, Gauss, Bayes, Análisis de ausencias, Colapso cuántico, Cuántico-astral y el Campo estructural.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Preferencia por Monte Carlo de los modelos procedimentales: X₁ … X_R son R = 600 filas del modelo generadas con semilla (120 para el modelo físico). El Consenso, en cambio, promedia tres ejecuciones (véase su ficha).

Los diecinueve modelos

El Tribunal usa los dieciséis métodos del generador de la sección 2 más tres modelos propios. Cuatro de ellos no usan historial y figuran como modelos sin preferencia por ningún número (Cobertura de segmento, Puro aleatorio, Modelo físico, Caos); en la práctica, Cobertura de segmento favorece los números de los segmentos cortos cuando $k$ no divide a $N$ , y Caos favorece los extremos del rango, como muestran sus fichas. Dos modelos son compuestos (Consenso y Campo estructural).

Modelo	Tipo	Base
Números calientes	pesos	$c_n + 0.05$
Combinado	muestreado	tercios caliente / intermedio / frío
Cobertura de segmento	muestreado, sin historial	un número por segmento
Puro aleatorio	muestreado, uniforme	mezcla de Fisher–Yates
Cadenas de Markov	pesos	transiciones suavizadas desde el último sorteo
Gauss · TCL	pesos	gaussiana en torno a $\mu/k$
Modelo de intervalo Δ	muestreado	bootstrap de las diferencias
Bayes · Dirichlet	pesos	$c_n + 3$
Análisis de ausencias	pesos	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Modelo físico	muestreado, sin historial	simulación de discos en 2D
Caos	muestreado, sin historial	aplicación logística, sesgada hacia los extremos
Colapso cuántico	pesos, experimental	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Sistema de paradojas	muestreado, experimental	cinco arquetipos
Cuántico-astral	pesos, experimental	signo e iluminación de la Luna
Matriz de rueda	muestreado	diseño de cobertura de parejas
Mundial caliente	muestreado	perfil por núcleo entre loterías
Mundial combinado	muestreado	perfil por núcleo entre loterías
Consenso de modelos	conjunto	14 modelos miembros
Campo estructural	compuesto	seis componentes descriptivos

Campo estructural

Servidor

El campo es la medida del Juez Supremo: una combinación, con pesos fijados a mano, de seis componentes descriptivos. Las frecuencias, la conectividad y la cobertura de parejas se dividen por su máximo sobre todos los números; la antigüedad y la tipicidad ya están en $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Puntuación del campo estructural del número n, de 0 a 100.

Detalles avanzados

donde

$A_n,\ S_n$: frecuencia en toda la ventana y en los últimos $\max(3, \min(10, D))$ sorteos
$G_n$: antigüedad, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: suma de los lifts de pareja $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ sobre todos los compañeros $m$ , donde $O_{nm}$ es el número de sorteos que contienen ambos
$T_n$: tipicidad estructural media de los sorteos que contienen $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , donde $e$ es la proporción de números pares y $z_S$ la suma estandarizada
$P_n$: cobertura de parejas, el número total de observaciones de parejas en las que interviene $n$

Consenso de modelos

Servidor

Catorce modelos miembros de doce familias producen 10 filas cada uno; un número puntúa según cuántos modelos y familias lo eligieron, con qué frecuencia y con qué regularidad:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Puntuación de consenso; el Tribunal promedia tres ejecuciones independientes y usa su dispersión como error estándar.

Detalles avanzados

donde

$M_n,\ F_n$: número de modelos miembros y de familias de modelos cuyas filas contienen $n$
$f_n$: número total de filas que contienen $n$
$\operatorname{stab}_n$: número medio de apariciones por cada modelo miembro que eligió $n$ , dividido por 10

Modelo cuántico-astral

ServidorExperimental

Un modelo de entretenimiento que pondera los números según la Luna en la fecha del sorteo objetivo, más una pequeña parte del campo estructural:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Peso cuántico-astral; σ ∈ {0,…,11} es el signo zodiacal de la longitud eclíptica de la Luna en la fecha del sorteo objetivo, I la iluminación en porcentaje.

Detalles avanzados

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Iluminación de la Luna en porcentaje a partir de la edad A dentro del mes sinódico de duración P (días).

Cómo revisa un modelo una fila

Para cada intercambio posible $a \to b$ (el número $a$ sale de la fila y el número $b$ entra), el modelo calcula la ganancia y su ruido. Una ganancia solo cuenta si es estadísticamente clara; una pérdida cuenta siempre.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Revisión por un modelo. Los modelos de pesos exactos tienen SE = 0, así que sus ganancias cuentan siempre; el intercambio se admite cuando effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Error estándar de un intercambio para un modelo muestreado: la proporción combinada bajo la hipótesis de que a y b son igual de probables. Para el Consenso, SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) sobre sus tres ejecuciones; los modelos de pesos exactos tienen SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Umbral con corrección de Bonferroni sobre los k(N−k) intercambios posibles; Eurojackpot: 3.43.

$z$ base	Eurojackpot, 225 intercambios	Lotto 7/34, 189 intercambios
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Los doce jurados

Cada jurado tiene una estrategia, sus propias fuentes (modelos o señales del historial), un efecto mínimo y un nivel de significación. El veredicto de un jurado sobre una fila es «mantener» o exactamente una sustitución; los jurados no objetan ni protestan: ese es el papel de la defensa.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Ganancia numérica de un intercambio a partir de las fuentes ponderadas del jurado; λ = D/(D+40) para Eva Lind, 1 en los demás casos.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Valor efectivo de un intercambio. Gana el mejor intercambio admisible (en caso de empate, el número nuevo más pequeño y luego la posición anterior); si no hay ninguno, el jurado mantiene la fila.

donde

$\omega_m$: peso de la fuente $m$ en la definición del jurado
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , con $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: el nivel de significación del jurado corregido para $k(N-k)$ intercambios, como en la tabla anterior
$\Delta \ell_c$: variación de la log-verosimilitud del componente estructural $c$ (en nats)
$\Delta \Gamma$: variación de la puntuación de cobertura del boleto

Señales calculadas a partir del historial

Tres jurados usan señales leídas directamente de los sorteos en lugar de un generador. Con $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Prueba de frecuencia. Con sorteos justos, Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), porque los números de un mismo sorteo están correlacionados negativamente; dividiendo por el recuento esperado Dp se obtiene SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Repetibilidad. Frecuencia en K ventanas disjuntas de s = ⌊D/K⌋ sorteos; la ventaja debe resistir una penalización de un error estándar.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalía. Desviación absoluta respecto al recuento esperado; √(1−2/π) es la desviación típica de |Z| para una normal estándar Z.

Estructura y cobertura

Los componentes estructurales comparan una fila con el perfil de los sorteos pasados: paridad, bajos/altos, racimos y diferencias son categóricos con suavizado de Laplace; la suma y la amplitud son gaussianas.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-verosimilitudes: ℓ₁ categórica (paridad, bajos/altos, racimos; J categorías, n_j sorteos pasados en la categoría j), ℓ₂ gaussiana (suma, amplitud), ℓ₃ diferencias entre números vecinos.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Cobertura del boleto: 𝒫′ es el conjunto de parejas de las demás filas del boleto; el segundo término cuenta las decenas del campo numérico que toca la fila.

Eva Lind · Tiradora de élite

Estrategia: frecuencia a largo plazo con contracción bayesiana. Fuentes: Bayes 0.8 + Números calientes 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; sin prueba de significación (pesos exactos).

Regla: el mejor intercambio es siempre el número menos frecuente de la fila → el número más frecuente fuera de ella; se admite cuando $\Delta \ge 0.12$ .

Detalles avanzados

Maya Chen · Arquitecta de la forma

Estrategia: la forma de la fila. Fuentes: Gauss 0.5 + Combinado 0.5; peso estructural 2 en paridad, bajos/altos, suma, amplitud y racimos; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regla: el término estructural cuenta siempre, así que un intercambio que acerca la fila a la forma típica de los sorteos pasados puede admitirse solo por la estructura.

Detalles avanzados

Clara Moretti · Cazadora de anomalías

Estrategia: anomalías en cualquier dirección. Fuente: la señal de anomalía; estructura de diferencias 0.4, que solo cuenta en un intercambio significativo; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

En la señal de anomalía la media se cancela: solo importa la diferencia entre las desviaciones absolutas.

Detalles avanzados

Leila Haddad · Observadora global

Estrategia: el perfil mundial. Fuentes: Mundial caliente 0.5 + Mundial combinado 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; necesita datos de las demás loterías.

Detalles avanzados

Freya Olsen · Ingeniera de cobertura

Estrategia: cobertura del boleto sin preferencia por ningún número. Sin fuentes; peso de cobertura 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Detalles avanzados

Nora Blake · Clarividente

Experimental

Estrategia: el sistema astral de entretenimiento para la fecha del sorteo. Fuente: Cuántico-astral; $E_{\min} = 0.05$ ; necesita una fecha de sorteo objetivo.

Detalles avanzados

Derek Cole · Maestro de las cadenas

Estrategia: transiciones desde el último sorteo. Fuente: Cadenas de Markov; estructura de diferencias 0.4, que cuenta siempre; $E_{\min} = 0.12$ . Como los pesos de Markov suman uno, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Detalles avanzados

Marcus Reed · Señal de alarma

Estrategia: la ausencia más larga. Fuentes: Análisis de ausencias 0.8 + Números calientes 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; sin prueba de significación.

Detalles avanzados

Victor Moreau · Físico del bombo

Estrategia: un sesgo físico del bombo se repetiría en todos los periodos. Fuente: repetibilidad; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

El suelo de ruido evita que cuatro ventanas afortunadas parezcan significativas.

Detalles avanzados

Noah Bennett · Escéptico vigilante

Estrategia: rechazar el puro azar al nivel más estricto. Fuente: prueba de frecuencia; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Forma cerrada del estadístico de contraste de Noah.

Detalles avanzados

Elias Berg · Mago a contracorriente

Experimental

Estrategia: contra la multitud, números más raros. Fuentes: Colapso cuántico 0.85 + Sistema de paradojas 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Detalles avanzados

Leo Fischer · Director del consenso

Estrategia: la estabilidad del consenso de modelos. Fuente: Consenso (tres ejecuciones independientes); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Detalles avanzados

Generación por el jurado

Cuando el jurado genera una fila en lugar de revisarla, cada jurado extrae 40 filas candidatas con sus propios pesos $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ y se queda con la mejor según

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

La papeleta de un jurado. La fila del jurado toma los k números con más papeletas; en caso de empate gana el mayor apoyo normalizado y, después, el número más pequeño.

Los seis abogados defensores

Los abogados evalúan un intercambio propuesto $n_c \to n_p$ (el número actual y el propuesto, extraídos $x_c$ y $x_p$ veces en $D$ sorteos) con sus propias señales. Los valores positivos favorecen la propuesta:

Señal	Definición
frecuencia	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
a posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, campo, astral	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
estructura	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
estabilidad	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ en seis periodos consecutivos

La probabilidad a posteriori se calcula de forma exacta, sin aproximación normal:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Forma cerrada para distribuciones a posteriori Beta con parámetro entero; la función Beta usa una log-Gamma de Lanczos.

Regla de decisión sobre la sustitución, donde $\bar z$ es la media ponderada de las señales del abogado:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Postura ψ de un abogado: S apoyo, P protesta, O objeción. χ = 1 cuando se superan las comprobaciones del abogado: para el apoyo, unanimidad de las señales, acuerdo de una segunda señal y el veto estructural; para la protesta, solo unanimidad y acuerdo.

Thomas Keller · Abogado de oficio

FREE

Señales: frecuencia + Bayes + campo estructural, que deben coincidir todas; apoyo a partir de 1, protesta a partir de −1; necesita 20 sorteos y, con entre 5 y 19 sorteos, funciona en un modo limitado con Bayes + a posteriori.

Detalles avanzados

Elena Rossi · Abogada estadística

Señal: frecuencia, corregida por comparaciones múltiples; veto estructural en −1; apoyo y protesta a partir de 1.96; al menos 30 sorteos.

Detalles avanzados

Amelia Grant · Contra la falsa confianza

Señal: probabilidad a posteriori de superioridad; apoyo con $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protesta con $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); al menos 10 sorteos.

Detalles avanzados

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Postura
30	1	7	0.987	apoyo
30	4	3	0.354	objeción
30	5	2	0.128	protesta
100	6	16	0.987	apoyo

Julien Morel · Abogado de la estructura

Señal: variación total de las seis log-verosimilitudes estructurales; apoyo a partir de 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), protesta a partir de 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); al menos 20 sorteos.

Detalles avanzados

Ingrid Falk · Estabilidad en el tiempo

Señal: victorias menos derrotas del número propuesto en seis periodos consecutivos; debe coincidir con la frecuencia global; umbral 1.5, es decir, al menos $W - L \ge 4$ ; al menos 30 sorteos.

Detalles avanzados

Adrian Vega · Astrología de entretenimiento

Experimental

Señal: los pesos cuántico-astrales para la fecha del sorteo objetivo; apoyo y protesta a partir de 0.5.

Detalles avanzados

El Juez Supremo

El Juez resuelve sobre un número en disputa usando el campo estructural $F$ , normalizado respecto a su máximo: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Un número es débil si se encuentra en el 35% inferior del campo.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ es un estadístico de orden de los valores del campo ordenados de forma ascendente; el número actual es débil cuando φ(n_c) < θ. El margen m se aplica cuando protestan más de la mitad de los abogados que han tomado postura.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

El veredicto V es el número que el Juez mantiene en la posición; se aplica la primera línea que se cumple. a* es el número con el campo más alto fuera de la fila y distinto de la propuesta.

Análisis y recomendación del Juez Supremo

Para filas completas, el Juez informa de una puntuación de la fila y sugiere sustituir hasta $\lfloor k/2 \rfloor$ de los números más débiles por debajo de $\theta$ por los números más fuertes fuera de la fila. Tú eliges qué intercambios aplicar. Si no hay filas, el Juez recomienda: borradores aleatorios uniformes se mejoran del mismo modo y se devuelven con su procedencia.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Puntuación de fila del análisis del Juez Supremo.

Decisiones, lotes e historial

Decisiones: aceptar la propuesta, aceptar la defensa, aceptar al Juez, mantener el original, revertir. Los números solo cambian cuando aceptas una propuesta, aceptas un veredicto del Juez que sustituye el número o reviertes; cada cambio es una transformación en el registro de procedencia.
Decisiones en bloque: como máximo una sustitución por número. «Aceptar todas las sustituciones mayoritarias» aplica solo las opciones elegidas por más de la mitad de los jurados seleccionados; «Aplicar todas las propuestas» toma, para cada número, la opción mayoritaria o, si no la hay, la más votada, y omite los empates.
Lotes: una revisión de hasta 50 filas por la misma alineación de personajes cuenta como un solo intento; las filas ya analizadas se omiten y un lote interrumpido se reanuda con el mismo plan.
Historial: los tipos de evento son revisión del jurado, revisión de un modelo, propuesta, revisión de la defensa, revisión del Juez, decisión y transformación; el registro guarda hasta 200 eventos y nunca descarta una transformación ni las revisiones más recientes.

El Tribunal rinde cuentas

Cada afirmación se anota en el registro de pronósticos antes de su sorteo y después se puntúa frente al azar. Para afirmaciones sobre $n_i$ números con probabilidad base $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H es el número de aciertos. Una fuente solo entra en el ranking con al menos 30 números en al menos 3 sorteos.

4. El bombo 3D: motor físico

El sorteo 3D es una simulación de sólidos rígidos en tiempo real: las bolas son cuerpos con masa, inercia, fricción y restitución, impulsados por la gravedad, un rotor agitador y un campo de aire, y la bola extraída es la que cae físicamente por la salida. Es un modelo físico creíble de un bombo, no la grabación de una máquina real.

Bombo de SuperEnalotto con 90 bolas mezclándose mientras se selecciona una bola — 90 bolas de SuperEnalotto en la cámara simulada

Motor y coordenadas

La física se ejecuta en Rapier 3D (versión 0.14, WebAssembly); la representación gráfica usa Three.js (r169). El sistema de referencia es dextrógiro, con $+y$ hacia arriba y el origen en el centro de la cámara; el eje del rotor es el eje horizontal $x$ y $+z$ apunta hacia el observador.

Cámara: una esfera de radio $R = 3.0$ unidades, construida como una malla de triángulos con normales hacia el interior y una salida circular en la parte inferior (semiángulo $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Bolas: esferas de radio $r = 0.2$ y densidad 1; una bola por número, de 5 a 90 bolas.
Rotor: un eje cinemático con seis brazos cuyas palas en forma de cápsula están dimensionadas para detenerse a 0.14 unidades del cristal en su plano de giro, más un rotor más pequeño de tres brazos cuyo sentido se alterna entre fases de mezcla.
Compuerta: un tapón cilíndrico en la salida que se retira cuando una bola puede salir.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Masa, momento de inercia y peso de una bola en unidades del modelo.

Escala y semejanza de Froude

Una unidad del modelo equivale a 10 cm: una bola de 40 mm mide 0.4 unidades y la cámara es una esfera de 600 mm. La gravedad se reduce a $30$ unidades/s² en lugar de los $98.1$ reales. Un movimiento dominado por la gravedad y la inercia tiene el mismo aspecto cuando el número de Froude es el mismo, así que la simulación corresponde a una máquina de tamaño real con un reloj más lento:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Las magnitudes con prima pertenecen al modelo. Igual número de Froude con igual longitud: las velocidades escalan con √γ y los tiempos con 1/√γ.

Fuerzas

Cada bola obedece la segunda ley de Newton con las fuerzas que el código aplica realmente:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D arrastre del aire, F_W pared analítica, F_S succión en la salida, F_C contactos con bolas, rotor y compuerta (calculados por Rapier); τ los pares correspondientes. Rapier aplica además un pequeño amortiguamiento lineal y angular, y las velocidades se limitan a 22 unidades/s y 105 rad/s como red de seguridad.

Campo de aire y arrastre cuadrático

El soplador se modela como un campo prescrito de velocidad del aire $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; cada bola experimenta un arrastre cuadrático hacia la velocidad local del aire. La constante de arrastre se fija mediante una velocidad terminal de 48 unidades/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

En aire en reposo, una bola que cae alcanza v_t = √(g/k_d) = 48 unidades/s, unos 8.7 m/s a escala real.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Corriente ascendente central: máxima en el eje cerca del fondo (102 en y = −3, 68 en el centro, 34 en la parte superior); ρ_h es la distancia horizontal al eje.

Remolino: una rotación horizontal de 11 unidades/s alrededor del eje vertical.
Flujo hacia el interior: más allá del 60% del radio, hasta $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ hacia el centro, para que las bolas sigan circulando en lugar de pegarse al cristal.
Turbulencia: ruido de valor tridimensional suave, de amplitud 58, que deriva en el tiempo; es una función determinista fija, no un generador de números aleatorios.
Ráfagas antiestancamiento: una bola que pasa demasiado tiempo en el fondo, en la parte superior, junto a la pared o casi inmóvil recibe una ráfaga local que se suma a la velocidad del aire y que también actúa a través del arrastre.

Pared esférica analítica

Además de la malla, el cristal se impone como una esfera exacta a nivel de velocidades, lo que evita el efecto túnel y produce una rodadura correcta. Con la normal exterior $\hat{\mathbf n}$ , la velocidad hacia fuera $v_n$ y la penetración $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Margen de contacto especulativo v* y restitución e (e_b es la restitución de la bola; vale cero por debajo de la velocidad de holgura para que una bola en reposo no vibre).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Respuesta normal, aplicada solo si v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Fricción de Coulomb en el punto de contacto; s es la velocidad de deslizamiento tangencial v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), con μ_b la fricción de la bola.

Contactos entre cuerpos

Los contactos bola–bola, bola–rotor y bola–compuerta los resuelve el solucionador de restricciones de Rapier, con detección continua de colisiones en las bolas. Los coeficientes se combinan promediando:

Par	Fricción	Restitución
bola – bola	0.16	0.55
bola – cristal	0.255	0.415
bola – pala	0.19	0.525
bola – brazo o eje	0.17	0.35
bola – compuerta	0.23	0.375

El amortiguamiento es pequeño durante el sorteo (lineal 0.05, angular 0.035) y fuerte mientras las bolas se asientan (2.4). No hay parámetro de resistencia a la rodadura: la rodadura solo se frena por el amortiguamiento y la fricción de contacto.

Paso de tiempo e integración

La simulación avanza en pasos fijos, independientes de la frecuencia de refresco de la pantalla; cada fotograma ejecuta tantos pasos fijos como exige el tiempo real, con un máximo de cinco:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Acumulador de paso fijo: un fotograma de duración Δt_f ejecuta n pasos fijos (como máximo 5); cada paso se divide en 2 subpasos de Rapier de h = 1/120 s con 6 iteraciones del solucionador.

Dentro de un subpaso, el motor actualiza las velocidades a partir de las fuerzas y después las posiciones a partir de las nuevas velocidades: es el esquema de Euler semiimplícito (simpléctico) que usan los motores basados en impulsos, mostrado aquí como principio general:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Forma general: F son las fuerzas aplicadas y F_c las fuerzas de restricción (de contacto) que halla el solucionador iterativo de Rapier.

Las fuerzas propias de la aplicación (aire, pared, succión) se calculan una vez por paso a partir del estado al inicio del paso y se mantienen durante ambos subpasos. El rotor es cinemático y su objetivo se actualiza en cada subpaso:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Aproximación exponencial de la velocidad del rotor a su objetivo; la mezcla recorre cíclicamente 2.4, 2.9, 2.1 y 2.7 rad/s.

Cómo se selecciona una bola

Tras 1 s de arranque y 2.6 s de mezcla, la compuerta se abre. Mientras la salida está abierta, la corriente ascendente sobre ella se desvanece suavemente, el chorro central se reduce al 62% y una succión de unas 2.2 veces el peso de una bola (unas 4 a partir de los 5 s) atrae las bolas cercanas a la salida:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Succión cerca de la salida (y < −1.6 y distancia horizontal < 0.6); t_c es el tiempo transcurrido desde que se abrió la compuerta.

La bola extraída es la primera cuyo centro cae por debajo de $y = -3.18$ ; si lo hacen varias en el mismo paso, la más baja. En ese momento no se consulta ningún número aleatorio. Los números aleatorios de un sorteo son la colocación inicial de las bolas y una pequeña velocidad y rotación iniciales, tomadas de la Web Crypto API (de nuevo cuando se carga un conjunto adicional independiente). Después, la bola recorre la trayectoria de salida hasta el soporte; ese movimiento está programado, no simulado.

Representación, simulación y aleatoriedad

Simulación: pasos fijos de 1/60 s; los ajustes de calidad (ultra, alta, media, baja) solo cambian las sombras, el resplandor (bloom), la resolución y el detalle de las mallas, nunca la física.
Representación: cada fotograma muestra el último paso completado; no hay interpolación entre pasos.
Aleatoriedad: las fuerzas son deterministas; el resultado depende de la colocación inicial y, a partir de la segunda bola, también de cuánto tarda en el dispositivo la presentación de la bola anterior, así que un sorteo no puede reproducirse exactamente.

5. Estadística de los sorteos reales

Las pantallas de análisis describen los sorteos históricos. Responden a «qué ocurrió» y a «¿es esto compatible con una lotería justa?», nunca a «qué ocurrirá».

Frecuencias, números calientes y fríos

Para cada número, la aplicación cuenta sus apariciones en la ventana y las muestra junto al recuento esperado en una lotería justa; la desviación típica se da aquí como referencia:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Recuento esperado (mostrado en la aplicación) y su desviación típica (referencia) para un número en D sorteos independientes.

Calientes y fríos: los cinco números más y menos frecuentes, cada uno con su recuento esperado (se necesitan al menos 5 sorteos).
Barras de frecuencia: en rojo cuando la proporción de un número supera 1.3 veces la proporción esperada, en azul por debajo de 0.7 veces.
Mapa de calor: color según la normalización mín–máx $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Mapa de calor de Eurojackpot con los 50 números principales coloreados del azul al rojo — Mapa de calor: el color solo muestra la frecuencia pasada

Prueba de equidad: χ² con corrección

La prueba de χ² comprueba si los recuentos son compatibles con probabilidades iguales. En un sorteo, los $k$ números se extraen sin reemplazamiento, lo que hace que los recuentos estén correlacionados negativamente; el estadístico multinomial simple resulta entonces demasiado pequeño, y la aplicación lo corrige:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Estadístico de Pearson con la corrección por extracción sin reemplazamiento; se necesitan al menos 10 sorteos.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Función gamma incompleta superior regularizada, calculada mediante una serie y una fracción continua.

Valor p	Veredicto
$p > 0.05$	sin desviación significativa
$0.01 < p \le 0.05$	desviación en el límite
$p \le 0.01$	desviación estadísticamente significativa

Prueba Q posicional

Con al menos 30 sorteos completos, la aplicación también contrasta la media de cada posición ordenada (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). El $i$ -ésimo menor de $k$ números extraídos de $1..N$ tiene media y covarianza

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ es el vector de diferencias entre las medias posicionales observadas y μ en m sorteos.

Parejas, comparaciones y comprobaciones

Parejas: una matriz de 12 × 12 con la frecuencia con que los 12 números más frecuentes aparecieron juntos (al menos 10 sorteos). Son recuentos brutos; como referencia, el recuento esperado de una pareja dada en sorteos justos es $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Comparación de loterías: probabilidad del bote, precio y coste de comprar todas las combinaciones.
Comprobación matemática: la aplicación vuelve a calcular $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ y lo compara con la constante almacenada, y revisa los sorteos de la ventana de análisis en busca de errores de rango, cantidades incorrectas de bolas y fechas duplicadas.
Categorías de premios: tablas oficiales de premios por sorteo. La imagen del sorteo promedia las últimas 60 tablas de premios reales; solo para una lotería sin ningún dato de premios estima los acertantes a partir de las probabilidades por categoría de la sección 8 y de un volumen de ventas supuesto, así que esas cifras son ilustrativas.

Simular toda una vida de juego

La simulación de 50 años usa la probabilidad de obtener al menos un bote en $T$ boletos independientes:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Probabilidad de al menos un bote en T boletos; C es el número de combinaciones del bote, d los sorteos por semana y r las filas por sorteo.

6. Análisis por calendario

El análisis por calendario busca coincidencias entre las fechas de los sorteos y los números extraídos (por ejemplo, que el día del mes aparezca entre las bolas) y compara cada tasa observada con la que produciría el puro azar.

Selección de sorteos

Los sorteos pueden filtrarse por año, por mes, por el mismo mes en todos los años o por un intervalo de fechas, y también por época de reglas. Las listas de frecuencias (calientes, fríos, ausentes durante más tiempo) usan recuentos brutos de la selección; un número imposible en todas las épocas seleccionadas se omite, y una selección que mezcla épocas se marca con un aviso, porque un número válido solo en la época más reciente parece falsamente «frío». Las reglas de fecha de abajo tienen en cuenta la época: un sorteo cuenta para una regla solo si al menos un candidato es un número válido según las reglas de ese mismo sorteo.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Tasa observada de una regla de fecha: C_t son los números candidatos del sorteo t, X_t sus números extraídos, Ω_t los números válidos según sus reglas; ℰ son los sorteos elegibles.

Diez reglas de fecha

Regla	Números candidatos para un sorteo del DD.MM.YYYY
día	DD
mes	MM
año	YYYY mod 100
hora	la hora del sorteo, cuando el operador la publica
cifras del año	las cifras distintas de YYYY
suma de las cifras del año	suma de las cifras de YYYY
suma del año de dos cifras	suma de las cifras de YYYY mod 100
suma de las cifras del día	suma de las cifras de DD
suma de las cifras de la fecha	suma de todas las cifras de DD, MM y YYYY
raíz digital	la suma de las cifras de la fecha reducida a una sola cifra

Un candidato igual a 0 se ignora, y un sorteo cuenta una sola vez para una regla aunque coincidan varios de sus números.

Expectativa aleatoria

Para un sorteo de $k$ números entre $S$ valores posibles y un conjunto de $m$ números candidatos, la probabilidad de que no salga ningún candidato es hipergeométrica:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: no sale ningún candidato; P≥1: sale al menos uno. Los candidatos fuera del rango de la época del sorteo se descartan.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Tasa de coincidencia esperada r̂ sobre los sorteos elegibles ℰ, cada uno con su propia época; P^M y P^B, para el conjunto principal y el adicional, se combinan como independientes.

Coincidencias de calendario con las tasas observadas junto a la expectativa aleatoria — Coincidencias de calendario comparadas con el azar

Interpretación de las tasas

Las parejas se muestran a partir de 30 sorteos y los tríos a partir de 120 (solo combinaciones vistas al menos dos veces, las diez más frecuentes); por debajo de 100 sorteos se muestra un aviso de muestra pequeña. Con 100 sorteos, una tasa cercana al 20% sigue teniendo una banda del 95% de unos $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ puntos porcentuales.

7. Archivo histórico y épocas de reglas

Las loterías cambian sus reglas. Un sorteo solo tiene sentido junto con las reglas vigentes en su fecha, por lo que cada sorteo almacenado lleva su versión de reglas.

Épocas de reglas

Lotería	Épocas (principales · adicionales)
Lotto (Noruega)	7/34 + 3 complementarios → 7/34 + 1 complementario (desde el 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + complementario y número de la suerte → número Viking 1–8 (2017) → 1–5 (desde el 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (desde el 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (desde el 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (desde el 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (desde el 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly desde 1997; SuperStar es un bombo independiente y queda excluido de los modelos
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (desde el 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (desde el 19.04.2018)

Regla de compatibilidad

Los modelos y los análisis solo usan sorteos comparables con las reglas actuales. Dos épocas se comparan grupo por grupo:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

La época e es comparable para los números principales cuando coinciden la cantidad y el rango (izquierda), y para los números adicionales cuando coincide cada grupo adicional 𝓑 (derecha). Un sorteo con números principales comparables pero reglas adicionales distintas conserva sus números principales y descarta los adicionales.

Historial de Eurojackpot con la ficha de la época de reglas actual y los sorteos marcados con su versión de reglas — El archivo marca cada sorteo con su época de reglas

8. Probabilidad y limitaciones

Cada sorteo oficial es un experimento aleatorio independiente. Ningún historial, modelo, tribunal o simulación cambia la probabilidad de ninguna combinación.

Probabilidad del bote

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Probabilidad de bote de una fila con las reglas actuales (a la derecha, Eurojackpot); las loterías sin número adicional para el jugador solo usan el primer factor.

Lotería	Reglas	Probabilidad del bote
Lotto (Noruega)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Todas las categorías de premios

Acertar exactamente $i$ de los $k$ números principales y $j$ de los $b$ números adicionales es el producto de dos probabilidades hipergeométricas:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Para una bola extra extraída del mismo bombo (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max), el segundo factor es (k−i)/(N−k) para «+1».

Categoría de Eurojackpot	Probabilidad
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Por qué ningún método puede superar al azar

Si los sorteos son independientes y todas las combinaciones son igual de probables, la probabilidad condicionada del próximo sorteo dado cualquier historial es la misma que sin él, y el número esperado de aciertos en los números principales es el mismo para cualquier fila, se haya generado como se haya generado:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H es el número de aciertos en los números principales de una fila. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 por fila para cualquier método.

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