Математика і технології

Справжня математика, статистика, алгоритми та фізика, на яких побудовано Lotto Simulator, — узяті безпосередньо з коду, що працює в застосунку.

Відкрити Lotto Simulator

Як читати цю сторінку

Кожну формулу нижче взято з реалізації, а не з рекламного буклета. Якщо компонент є детермінованим правилом або евристикою, а не формулою, ми описуємо алгоритм саме так, як він виконується, і не вигадуємо для нього математики.

Lotto Simulator — аналітичне, освітнє й симуляційне середовище. Він генерує комбінації шістнадцятьма методами, розглядає їх у Математичному суді з дванадцяти присяжних, шести адвокатів захисту та Верховного судді, перевіряє реальну історію тиражів на чесність, аналізує календарні збіги й розігрує тираж у фізичній моделі 3D-лототрону. Ніщо з цього не змінює ймовірності жодного числа в офіційному тиражі — чому саме, з цифрами пояснює розділ 8.

Позначення

де

$N$: обсяг основного набору чисел (наприклад, 50 в Eurojackpot)
$k$: скільки основних чисел випадає в тиражі й позначається в ряду (5 в Eurojackpot)
$B,\; b$: обсяг окремого бонусного набору та кількість бонусних чисел у ряду (12 і 2 в Eurojackpot)
$D$: кількість минулих тиражів у вибраному вікні аналізу
$c_n$: скільки разів число $n$ випало серед основних чисел цих $D$ тиражів
$t = 0, 1, \dots$: номер тиражу з відліком від останнього: $t = 0$ — найсвіжіший тираж
$\binom{n}{r}$: біноміальний коефіцієнт, кількість способів вибрати $r$ елементів з $n$

1. Архітектура системи

Один застосунок, одна кодова база: той самий вебзастосунок працює в настільних і мобільних браузерах і без змін — усередині застосунків для iOS та Android (Capacitor WebView). Важкі й платні обчислення виконуються на сервері; усе, що бачить користувач, відмальовується на пристрої.

Пристрій (веб, iOS, Android)Інтерфейс, квиток і робочі набори, чотири FREE-методи генератора, графіки частот, тест χ², календарна математика, 3D-лототрон. Рівноймовірний метод і 3D-лототрон беруть випадковість з Web Crypto API.
Edge-функції (TypeScript, Deno)Дванадцять PRO-методів генератора, усі дев'ятнадцять моделей Суду, дванадцять присяжних, шість адвокатів, Верховний суддя, побудова колісних систем, реєстр прогнозів. Суд працює на відтворюваних псевдовипадкових потоках із заданим зерном.
База даних (PostgreSQL)Офіційні результати тиражів із версією правил, таблиці виплат, облікові записи й права доступу, реєстр прогнозів із журналом лише на додавання та результати його перевірки.
Конвеєр данихЗавдання за розкладом збирають офіційні результати, перевіряють кожен тираж за правилами його епохи та публікують набір даних за поточними правилами.

Хто що обчислює

У браузері: FREE-методи (Гарячі числа, Комбінований, Сегментне охоплення, Рівноймовірний) і вся описова статистика. Публічна збірка фізично вилучає реалізації PRO з клієнта: їхні функції замінено заглушками, тож PRO-результат може надійти лише із сервера.
На сервері: усі PRO-методи, увесь Математичний суд і Верховний суддя. Запит містить лотерею, метод, кількість рядів (1–50) і вікно аналізу; тиражі сервер завантажує сам, тому клієнт не може підсунути йому вигадану історію.
Правило відмови (fail-closed): серверній моделі потрібно щонайменше 5 тиражів у вибраному вікні аналізу. Якщо їх менше, вона відмовляє з явною відповіддю «недостатньо історії», а не будує ряди з нічого.

Відтворюваність обчислень Суду

Кожен присяжний, адвокат і модель усередині Суду працює на власному псевдовипадковому потоці; його зерно — хеш від версії алгоритму, персонажа, лотереї, повної історії тиражів і дати цільового тиражу. Тому ті самі дані завжди дають той самий вердикт, а будь-яка зміна історії змінює всі потоки.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Зерно обчислення Суду та породжений ним потік рівномірно розподілених чисел.

де

$v$: версія алгоритму рушія Суду
$\kappa$: ключ персонажа або моделі, наприклад ідентифікатор присяжного
$H$: усі тиражі вікна: основні та бонусні числа по порядку
$g,\; d$: ідентифікатор лотереї та дата цільового тиражу
$h_0$: початкове значення (offset basis) FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ хешує текст $x$ , починаючи зі стану $h$
$u_i$: $i$ -те рівномірно розподілене випадкове число потоку

Зберігання та походження

Кожна комбінація має запис про походження: джерело (метод генератора, присяжний, консенсус присяжних, колісна матриця, 3D-розіграш, Верховний суддя, ручне введення), початкові числа та журнал подій, до якого записи лише додаються: розгляди, пропозиції, позиції адвокатів, вердикти, рішення й перетворення (не більше 200 подій). Запис приймається, лише якщо повторне застосування його перетворень до початкових чисел точно відтворює ряд; інакше ряд позначається як ряд із недоступним джерелом.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Перевірка походження: поточний ряд R_m має збігатися з початковим рядом R_0 після послідовного застосування всіх записаних замін τ₁ … τₘ.

Родовід: коли ряд редагують вручну, створюється новий запис, батьківським для якого стає попередній (зберігається до чотирьох давніших записів), тож історія до ручної зміни залишається видимою.
Реєстр прогнозів: кожна рекомендація (згенерований ряд, заміна від присяжного, позиція адвоката, вердикт) записується до реєстру до цільового тиражу й автоматично оцінюється після публікації офіційного результату.

2. Основний генератор: шістнадцять методів

Генератор пропонує шістнадцять варіантів. Чотири FREE-методи працюють у браузері, дванадцять PRO-методів — на сервері. Усі вони вибирають $k$ різних чисел з $1..N$ плюс бонусні числа лотереї й відрізняються лише тим, як числам призначаються ваги або як будується ряд.

Генератор лотерейних рядків: кількість рядів, метод аналізу та три типові фільтри — Панель генератора: вибір методу й типові фільтри

Спільні складники

Зважені методи призначають кожному числу вагу $w_n \ge 0$ , а потім вибирають числа послідовно без повернення: кожен вибір вилучає число й перенормовує ваги решти.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Послідовна зважена вибірка без повернення; її використовують усі методи, що ґрунтуються на вагах.

де

$x_j$: $j$ -те число, вибране до ряду, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: вага числа $n$ у цьому методі

Джерела випадковості: у браузері Рівноймовірний метод і крок забезпечення унікальності використовують Web Crypto API, а Гарячі числа, Комбінований і Сегментне охоплення — стандартний генератор браузера (Math.random). На сервері методи беруть криптографічну випадковість; винятки — Фізична модель (стандартний генератор) і зерно Хаосу, яке змішує криптографічну випадковість із показами таймера високої роздільності. У браузері незміщене ціле число з $0..M-1$ отримують вибіркою з відхиленням, тому жоден залишок не має переваги:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Вибірка з відхиленням: 32-бітне криптографічне значення x генерується заново, доки не стане меншим за найбільше кратне M, після чого береться залишок від ділення на M.

Бонусні числа

Бонусні числа (Eurojackpot 2 з 12, EuroMillions 2 з 12, Powerball 1 з 26, Mega Ball 1 з 24, число Вікінга 1 з 5, Powerball AU 1 з 20) вибираються з власного набору, незалежно від основних чисел. У Lotto, SuperEnalotto та Lotto Max гравець не має бонусного числа: додаткову кулю оператор витягає з основного барабана.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Вага w′ⱼ бонусного числа j з частотою c′ⱼ для методу μ: freq — Гарячі числа; rnd, phys, chaos, world — Рівноймовірний, Фізична модель, Хаос і світові методи; усі інші методи використовують c′ⱼ + 2. Якщо тиражів менше 5, усі методи використовують рівні ваги.

FREE-фільтри та унікальність

Ряди, побудовані в браузері, проходять три фільтри, увімкнені за замовчуванням: числа не мають бути всі парні або всі непарні; сума має лежати в заданому діапазоні; не допускається серія довша за три послідовні числа. Відхилений ряд замінюється рівномірно випадковим рядом, що проходить фільтри (його бонусні числа вибираються з баєсівськими вагами $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Типовий діапазон суми. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, діапазон 73–183.

Щоб той самий пристрій не видав одну комбінацію двічі, кожен FREE-ряд ідентифікується лексикографічним номером його основних чисел серед усіх $\binom{N}{k}$ комбінацій і порівнюється з останніми 20 000 рядів, виданими для цієї лотереї; номер, що повторився, змінюється випадковими замінами чисел, а в крайньому разі береться наступний невикористаний номер із випадкової афінної перестановки всіх номерів. Змінений у такий спосіб ряд повторно через фільтри не перевіряється.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Лексикографічний номер комбінації та афінний обхід усіх номерів із повним періодом.

Шляхи виконання FREE і PRO

Шлях	Методи	Де виконується	Рядів за запуск	Історія
FREE	Гарячі числа, Комбінований, Сегментне охоплення, Рівноймовірний	браузер	до 5 (до 50 для користувачів PRO)	FREE-вікно останніх тиражів
PRO	решта дванадцять методів	сервер	до 50	вибране вікно аналізу, щонайменше 5 тиражів

Гарячі числа

FREEУ браузері

Призначення: надати перевагу числам, які найчастіше випадали у вікні аналізу.

w_n = c_n + 0.05

Вага числа n; якщо тиражів менше 5, усі ваги дорівнюють 1.

Технічні подробиці

Комбінований

FREEУ браузері

Призначення: змішати гарячі, середні й холодні числа у фіксованій пропорції.

Числа сортуються за $c_n$ (за рівності першим іде менше число) і діляться на третини розміром $\lceil N/3 \rceil$ : гарячу, середню та холодну. Ряд $i$ отримує рівномірно вибрані числа з кожної третини:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Ряд i бере h гарячих, mᵢ середніх і cᵢ холодних чисел; у непарних і парних рядів частки середніх і холодних міняються місцями.

Технічні подробиці

Сегментне охоплення

FREEУ браузері

Призначення: рівномірно розподілити ряд по всьому діапазону чисел.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

По одному рівномірно вибраному числу з кожного з k послідовних сегментів; останній сегмент забирає залишок.

Технічні подробиці

Рівноймовірний

FREEУ браузері

Призначення: чесна точка відліку — усі числа рівноймовірні.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Криптографічне перемішування Fisher–Yates дає всім комбінаціям однакову ймовірність до фільтрації.

Технічні подробиці

Колісна матриця

PROСервер

Призначення: побудувати кілька рядів, які разом покривають якомога більше пар із невеликого набору чисел, — жадібна побудова покриття (covering design).

Набір складається з $\min(N, k+5)$ чисел, узятих почергово з гарячої, холодної та середньої третин. Кандидатами є всі $\binom{|P|}{k}$ комбінацій набору (якщо їх понад 40 000, використовується випадкова вибірка); на кожному кроці додається кандидат із найкращою оцінкою, а його пари позначаються як покриті:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Оцінка жадібного покриття пар; за рівності вибір робиться рівномірно випадково.

Технічні подробиці

де

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: пари ряду-кандидата $R$ і пари, уже покриті вибраними рядами
$u_n$: скільки вже вибраних рядів містять число $n$
$[\,\cdot\,]$: дорівнює 1, якщо умову виконано, і 0 в іншому разі

Світовий гарячий і Світовий комбінований

PROСервер

Призначення: перенести частотний профіль усіх дев'яти підтримуваних лотерей на поточну.

Кожне число $x$ , що випало в кожній лотереї $g$ , переводиться у відносну позицію $q = (x-1)/(N_g - 1)$ і розмивається вузьким гауссовим ядром по числах поточної лотереї; кожна лотерея отримує однакову вагу на тираж, а власна частота поточної лотереї додається зверху ще раз:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Світова оцінка числа n; X_g — усі основні числа, що випали в лотереї g (до 400 останніх тиражів за поточними правилами, разом D_g тиражів).

Технічні подробиці

Світовий гарячий: $k$ рівномірно вибраних чисел із $\max(3k, 12)$ чисел з найвищою оцінкою.
Світовий комбінований: $\lceil 0.45k \rceil$ з верхньої третини, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ з нижньої третини, решта із середньої. Бонусні числа вибираються рівномірно.

Ланцюги Маркова

PROСервер

Призначення: зважити числа за тим, як часто вони йшли слідом за числами попереднього тиражу.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Імовірність переходу першого порядку зі згладжуванням Лапласа, усереднена за останнім тиражем L.

Технічні подробиці

де

$T(a \to b)$: скільки разів число $b$ випадало в тиражі, що йде одразу за тиражем, який містить $a$
$L$: основні числа останнього тиражу

Гаусс · центральна гранична теорема

PROСервер

Призначення: будувати ряди з типовою сумою. Сума $k$ чисел, вибраних без повернення, має

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Математичне сподівання та дисперсія суми ряду за вибірки без повернення (замінюються емпіричними значеннями, якщо накопичено щонайменше 5 сум).

Технічні подробиці

Кожне число зважується гауссіаною з центром у середньому значенні на одну позицію, і будується до 40 рядів-кандидатів; перемагає той, чия сума найближча до $\mu$ (пошук зупиняється достроково, якщо відхилення не перевищує $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Вага числа в методі Гаусса.

Інтервальна модель Δ

PROСервер

Призначення: імітувати відстані між сусідніми числами в реальних тиражах.

За останніми 120 тиражами метод збирає найменше число кожного тиражу та всі різниці між сусідніми числами відсортованого тиражу. Ряд будується як випадковий початок плюс випадкові різниці; ряд, що виходить за $N$ , відкидається (до 300 спроб, потім береться рівномірний ряд):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Емпіричний бутстреп перших чисел і проміжків; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) — відсортований тираж t.

Технічні подробиці

Байєс · Діріхле

PROСервер

Призначення: частота зі стягуванням до рівномірного розподілу.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Апостеріорне середнє за симетричного апріорного розподілу Діріхле(α), оновленого спостережуваними частотами; метод робить вибірку з вагами c_n + 3.

Технічні подробиці

Gap-аналіз

PROСервер

Призначення: надати перевагу числам, які давно не випадали.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n — номер найсвіжішого тиражу, що містить n (0 — останній тираж); число, яке жодного разу не випадало, отримує D + ḡ.

Технічні подробиці

Фізична модель лототрону

PROСервер

Призначення: довірити порядок виходу куль спрощеній двовимірній симуляції.

$N$ дисків радіуса $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ рухаються в одиничному квадраті під дією випадкових поривів повітря, сталого зносу до вихідного отвору, згасання та пружних зіткнень рівних мас; диск, що залишив квадрат через отвір посередині нижньої стінки, вважається таким, що випав.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Один крок двовимірної моделі (вісь y спрямована вниз, до виходу; не більше 2400 кроків). Диск виходить, якщо 0.43 < x < 0.57 біля нижньої стінки; якщо вийшло менше k дисків, ряд доповнюється рівномірно.

Технічні подробиці

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Пружне зіткнення рівних мас: нормальні складові швидкостей обмінюються.

Хаос · логістичне відображення

PROСервер

Призначення: показати, що повністю детермінована система може бути непередбачуваною.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Після 100 ітерацій прогрівання від випадкового зерна значення збираються, доки не набереться k різних чисел.

Технічні подробиці

Квантовий колапс

PROСерверЕксперимент

Призначення: контрарна вага, що надає перевагу числам, які рідко випадають.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Вага «частотного бар'єра»; випадкові числа беруться з буфера 16-бітних криптографічних значень.

Технічні подробиці

Система парадоксів

PROСерверЕксперимент

Призначення: дослідницькі ряди, побудовані на контрінтуїтивних властивостях випадкових комбінацій. По черзі використовуються п'ять архетипів:

Натовп: надає перевагу числам понад 31 у наборах щонайменше з 42 чисел (дні народження закінчуються на 31): вага 2.6 вище межі й 0.28 нижче, ×1.1 для чисел, кратних 10, а потім примусово включає щонайменше $\lceil 0.6k \rceil$ чисел вище межі. Такі числа позначають рідше, тож виграш довелося б ділити з меншою кількістю людей — шанс виграти від цього не змінюється.
Зіткнення: половина ряду — з найчастіших чисел, решта — з тих, що найдовше не випадали.
Кластер: ряд містить пару послідовних чисел — властивість, яка у випадкових тиражах трапляється значно частіше, ніж підказує інтуїція:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot — близько 35%, Lotto 7/34 — близько 78%.

Технічні подробиці

Дзеркало: пари $n$ і $N + 1 - n$ .
Регресія: числа, у яких нещодавня частота (останні 10 тиражів) найсильніше відрізняється від довгострокової.

3. Математичний суд

Суд розглядає вже готову комбінацію. Присяжні та моделі можуть запропонувати замінити одне число; адвокати захисту висловлюються за чи проти кожної пропозиції; Верховний суддя ухвалює рішення за структурним полем минулих тиражів. Числа змінюються лише за рішенням користувача — і кожен крок записується.

Вибір дванадцяти присяжних навколо емблеми Суду — Присяжні: дванадцять персонажів, кожен зі своєю математичною стратегією

Порядок розгляду справи

Пропозиція. Присяжний або модель перебирає всі можливі одиничні заміни в ряду й пропонує щонайбільше одну заміну — або пропонує залишити ряд як є.
Захист. Адвокати займають позицію щодо кожної пропозиції: підтримка, заперечення або протест. Адвокат ніколи не пропонує й не застосовує число.
Вердикт. Верховний суддя приймає пропозицію, пропонує альтернативу або залишає число, спираючись на структурне поле минулих тиражів.
Рішення. Змінювати числа може лише користувач: прийняти пропозицію, піти за захистом, прийняти вердикт судді, залишити початкове число або скасувати зміну. Кожне рішення зберігається разом з його автором.

Від моделі до переваги для кожного числа

Кожна модель зводиться до відносної переваги $\operatorname{rel}(n)$ для кожного числа (1 означає «середнє за моделлю») разом зі стандартною похибкою. Моделі, задані явним вектором ваг, дають точні значення; решту вимірюють прогоном:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Точна відносна перевага для Гарячих чисел, Маркова, Гаусса, Байєса, Gap-аналізу, Квантового колапсу, Квантово-астральної моделі та Структурного поля.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Перевага процедурних моделей методом Монте-Карло: X₁ … X_R — це R = 600 рядів моделі із заданим зерном (120 для фізичної моделі). Консенсус натомість усереднює три прогони (див. його картку).

Дев'ятнадцять моделей

Суд використовує шістнадцять методів генератора з розділу 2 і ще три власні моделі. Чотири з них не використовують історію й зареєстровані як такі, що не надають переваги жодним числам (Сегментне охоплення, Рівноймовірний, Фізична модель, Хаос); насправді Сегментне охоплення надає перевагу числам коротких сегментів, коли $k$ не ділить $N$ , а Хаос — краям діапазону, що видно з їхніх карток. Дві моделі складені (Консенсус і Структурне поле).

Модель	Тип	Основа
Гарячі числа	ваги	$c_n + 0.05$
Комбінований	вибірка	гаряча / середня / холодна третини
Сегментне охоплення	вибірка, без історії	одне число на сегмент
Рівноймовірний	вибірка, рівномірна	перемішування Fisher–Yates
Ланцюги Маркова	ваги	згладжені переходи від останнього тиражу
Гаусс · ЦГТ	ваги	гауссіана навколо $\mu/k$
Інтервальна модель Δ	вибірка	бутстреп проміжків
Байєс · Діріхле	ваги	$c_n + 3$
Gap-аналіз	ваги	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Фізична модель	вибірка, без історії	двовимірна симуляція дисків
Хаос	вибірка, без історії	логістичне відображення, зміщення до країв
Квантовий колапс	ваги, експеримент	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Система парадоксів	вибірка, експеримент	п'ять архетипів
Квантово-астральна модель	ваги, експеримент	знак Місяця й освітленість
Колісна матриця	вибірка	схема покриття пар
Світовий гарячий	вибірка	ядерний профіль за всіма лотереями
Світовий комбінований	вибірка	ядерний профіль за всіма лотереями
Консенсус моделей	ансамбль	14 моделей-учасниць
Структурне поле	складена	шість описових компонентів

Структурне поле

Сервер

Поле — мірило Верховного судді: складений показник із шести описових компонентів із вагами, заданими вручну. Частоти, зв'язність і покриття пар діляться на свій максимум за всіма числами; давність і типовість уже лежать у $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Оцінка числа n за структурним полем, від 0 до 100.

Технічні подробиці

де

$A_n,\ S_n$: частота в усьому вікні та в останніх $\max(3, \min(10, D))$ тиражах
$G_n$: давність, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: сума ліфтів пар $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ за всіма партнерами $m$ , де $O_{nm}$ — кількість тиражів, що містять обидва числа
$T_n$: середня структурна типовість тиражів, що містять $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , де $e$ — частка парних чисел, а $z_S$ — стандартизована сума
$P_n$: покриття пар — загальна кількість спостережень пар за участю $n$

Консенсус моделей

Сервер

Чотирнадцять моделей-учасниць із дванадцяти сімейств видають по 10 рядів; число набирає бали залежно від того, скільки моделей і сімейств його вибрали, як часто й наскільки рівномірно:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Оцінка консенсусу; Суд усереднює три незалежні прогони й використовує їхній розкид як стандартну похибку.

Технічні подробиці

де

$M_n,\ F_n$: кількість моделей-учасниць і сімейств моделей, у рядах яких є $n$
$f_n$: загальна кількість рядів, що містять $n$
$\operatorname{stab}_n$: середня кількість появ у розрахунку на одну модель-учасницю, що вибрала $n$ , поділена на 10

Квантово-астральна модель

СерверЕксперимент

Розважальна модель: зважує числа за Місяцем на дату цільового тиражу й додає невелику частку структурного поля:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Квантово-астральна вага; σ ∈ {0,…,11} — знак зодіаку за екліптичною довготою Місяця на дату цільового тиражу, I — освітленість у відсотках.

Технічні подробиці

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Освітленість Місяця у відсотках за віком A в синодичному місяці тривалістю P (у добах).

Як модель розглядає ряд

Для кожної можливої заміни $a \to b$ — число $a$ виходить із ряду, число $b$ входить — модель обчислює приріст і його шум. Приріст зараховується, лише якщо він статистично значущий; погіршення зараховується завжди.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Розгляд моделлю. У моделей із точними вагами SE = 0, тож їхній приріст зараховується завжди; заміна проходить, якщо effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Стандартна похибка заміни для вибіркової моделі: об'єднана частка за гіпотези, що a і b рівноймовірні. Для Консенсусу SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) за трьома прогонами; у моделей із точними вагами SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Поріг із поправкою Бонферроні на всі k(N−k) можливих замін; Eurojackpot: 3.43.

Базове $z$	Eurojackpot, 225 замін	Lotto 7/34, 189 замін
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Дванадцять присяжних

Кожен присяжний має одну стратегію, власні джерела (моделі або сигнали історії), мінімальний ефект і рівень значущості. Вердикт присяжного щодо ряду — або «залишити», або рівно одна заміна; присяжні не заперечують і не протестують — це роль захисту.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Числовий приріст заміни за зваженими джерелами присяжного; λ = D/(D+40) для Eva Lind, для решти 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Ефективна цінність заміни. Перемагає найкраща із замін, що пройшли (за рівності — з меншим новим числом, потім із ранішою позицією); якщо таких немає, присяжний залишає ряд.

де

$\omega_m$: вага джерела $m$ у визначенні присяжного
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , де $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: рівень значущості присяжного з поправкою на $k(N-k)$ замін, як у таблиці вище
$\Delta \ell_c$: зміна логарифма правдоподібності структурного компонента $c$ (у натах)
$\Delta \Gamma$: зміна оцінки покриття квитка

Сигнали, обчислені з історії

Троє присяжних використовують сигнали, зчитані безпосередньо з тиражів, а не з генератора. За $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Тест частоти. За чесних тиражів Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), оскільки числа одного тиражу від'ємно корельовані; ділення на очікувану частоту Dp дає SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Повторюваність. Частота в K вікнах, що не перетинаються, по s = ⌊D/K⌋ тиражів; перевага має витримати штраф в одну стандартну похибку.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Аномалія. Абсолютне відхилення від очікуваної частоти; √(1−2/π) — стандартне відхилення |Z| для стандартної нормальної величини Z.

Структура та покриття

Структурні компоненти порівнюють ряд із профілем минулих тиражів: парність, співвідношення малих і великих чисел, кластери й проміжки — категоріальні ознаки зі згладжуванням Лапласа; сума й розмах — гауссові.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Логарифми правдоподібності: ℓ₁ — категоріальний (парність, малі/великі, кластери; J категорій, n_j минулих тиражів у категорії j), ℓ₂ — гауссів (сума, розмах), ℓ₃ — проміжки між сусідніми числами.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Покриття квитка: 𝒫′ — множина пар інших рядів квитка; другий доданок рахує, скільки десятків числового поля зачіпає ряд.

Eva Lind · Влучна стрільчиня

Стратегія: довгострокова частота з баєсівським стягуванням. Джерела: Байєс 0.8 + Гарячі числа 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; без тесту значущості (точні ваги).

Правило: найкраща заміна — завжди найрідкісніше число ряду → найчастіше число поза рядом; вона проходить, якщо $\Delta \ge 0.12$ .

Технічні подробиці

Maya Chen · Архітекторка форми

Стратегія: форма ряду. Джерела: Гаусс 0.5 + Комбінований 0.5; вага структури 2 для парності, малих/великих, суми, розмаху й кластерів; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Правило: структурний доданок враховується завжди, тому заміна, що наближає ряд до типової форми минулих тиражів, може пройти лише завдяки структурі.

Технічні подробиці

Clara Moretti · Мисливиця за аномаліями

Стратегія: аномалії в обидва боки. Джерело: сигнал аномалії; структура проміжків з вагою 0.4 враховується лише для значущої заміни; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Для сигналу аномалії середнє скорочується: важить лише різниця абсолютних відхилень.

Технічні подробиці

Leila Haddad · Глобальна спостерігачка

Стратегія: світовий профіль. Джерела: Світовий гарячий 0.5 + Світовий комбінований 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; потрібні дані інших лотерей.

Технічні подробиці

Freya Olsen · Інженерка покриття

Стратегія: покриття квитка без переваги для будь-яких чисел. Джерел немає; вага покриття 2; $E_{\min} = 0.20$ .

Технічні подробиці

Nora Blake · Ясновидиця

Експеримент

Стратегія: розважальна астросистема для дати тиражу. Джерело: Квантово-астральна модель; $E_{\min} = 0.05$ ; потрібна дата цільового тиражу.

Технічні подробиці

Derek Cole · Майстер ланцюжків

Стратегія: переходи від останнього тиражу. Джерело: Ланцюги Маркова; структура проміжків з вагою 0.4 враховується завжди; $E_{\min} = 0.12$ . Оскільки ваги Маркова в сумі дають одиницю, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

Технічні подробиці

Marcus Reed · Сигнал тривоги

Стратегія: найдовша відсутність. Джерела: Gap-аналіз 0.8 + Гарячі числа 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; без тесту значущості.

Технічні подробиці

Victor Moreau · Фізик лототрону

Стратегія: фізичне зміщення барабана повторювалося б у кожному періоді. Джерело: повторюваність; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Нижня межа шуму не дає чотирьом вдалим вікнам здаватися значущими.

Технічні подробиці

Noah Bennett · Пильний скептик

Стратегія: відкинути чисту випадковість на найсуворішому рівні. Джерело: тест частоти; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Статистика тесту Noah Bennett у явному вигляді.

Технічні подробиці

Elias Berg · Фокусник проти течії

Експеримент

Стратегія: проти натовпу — рідкісніші числа. Джерела: Квантовий колапс 0.85 + Система парадоксів 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

Технічні подробиці

Leo Fischer · Диригент консенсусу

Стратегія: стійкість консенсусу моделей. Джерело: Консенсус (три незалежні прогони); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Технічні подробиці

Генерація присяжними

Коли присяжні не розглядають ряд, а генерують його, кожен присяжний будує 40 рядів-кандидатів за своїми вагами $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ і залишає найкращий за критерієм

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Бюлетень присяжного. Ряд присяжних складають k чисел, що набрали найбільше бюлетенів; за рівності перемагає вища нормована підтримка, потім менше число.

Шість адвокатів захисту

Адвокати оцінюють запропоновану заміну $n_c \to n_p$ — поточне й запропоноване числа, що випали $x_c$ і $x_p$ разів за $D$ тиражів, — за власними сигналами. Додатні значення свідчать на користь пропозиції:

Сигнал	Визначення
частота	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
апостеріорний	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Байєс, поле, астро	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
структура	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
стійкість	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ за шість послідовних періодів

Апостеріорна ймовірність обчислюється точно, без нормального наближення:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Явна формула для апостеріорних бета-розподілів із цілочисловим параметром; бета-функція обчислюється через логарифм гамма-функції в наближенні Lanczos.

Правило рішення про заміну, де $\bar z$ — зважене середнє сигналів адвоката:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Позиція ψ адвоката: S — підтримка, P — протест, O — заперечення. χ = 1, якщо перевірки адвоката пройдено: для підтримки — одностайність сигналів, згода другого сигналу та відсутність структурного вето; для протесту — лише одностайність і згода.

Простими словами Заперечення означає «доказів недостатньо»; протест — «докази свідчать на користь поточного числа». Коли адвокати роблять поправку на множинні порівняння,

z_{\mathrm{sup}} = \Phi^{-1}(1 - (1 - \Phi(z))/M)

, де

M = k(N-k)

для пропозиції, знайденої перебором усіх замін (будь-яка пропозиція присяжних або моделі),

M = N-k-1

для альтернативи судді та

M = N-k

у разі прямого розгляду ряду без пропозиції. Поріг протесту ніколи не коригується.

Thomas Keller · Призначений адвокат

FREE

Сигнали: частота + Байєс + структурне поле, усі мають узгоджуватися; підтримка від 1, протест від −1; потрібно 20 тиражів, а за 5–19 тиражів адвокат працює в обмеженому режимі: Байєс + апостеріорна ймовірність.

Технічні подробиці

Elena Rossi · Статистичний адвокат

Сигнал: частота з поправкою на множинні порівняння; структурне вето за −1; підтримка й протест за 1.96; щонайменше 30 тиражів.

Технічні подробиці

Amelia Grant · Проти хибної впевненості

Сигнал: апостеріорна ймовірність переваги; підтримка за $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), протест за $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); щонайменше 10 тиражів.

Технічні подробиці

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Позиція
30	1	7	0.987	підтримка
30	4	3	0.354	заперечення
30	5	2	0.128	протест
100	6	16	0.987	підтримка

Julien Morel · Адвокат структури

Сигнал: сумарна зміна шести структурних логарифмів правдоподібності; підтримка за 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ ната), протест за 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); щонайменше 20 тиражів.

Технічні подробиці

Ingrid Falk · Стійкість у часі

Сигнал: кількість перемог мінус кількість поразок запропонованого числа за шість послідовних періодів; має узгоджуватися із загальною частотою; поріг 1.5, тобто потрібно щонайменше $W - L \ge 4$ ; щонайменше 30 тиражів.

Технічні подробиці

Adrian Vega · Астрологія для розваги

Експеримент

Сигнал: квантово-астральні ваги для дати цільового тиражу; підтримка й протест за 0.5.

Технічні подробиці

Верховний суддя

Суддя ухвалює рішення щодо спірного числа на основі структурного поля $F$ , нормованого на максимум: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Число вважається слабким, якщо потрапляє до нижніх 35% поля.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ — порядкова статистика значень поля, відсортованих за зростанням; поточне число слабке, якщо φ(n_c) < θ. Запас m застосовується, коли протестують понад половину адвокатів, що зайняли позицію.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Вердикт V — число, яке суддя залишає на цій позиції; застосовується перший відповідний рядок. a* — число з найбільшим значенням поля поза рядом, відмінне від запропонованого.

Аналіз і рекомендація Верховного судді

Для цілих рядів суддя видає оцінку ряду й пропонує замінити до $\lfloor k/2 \rfloor$ найслабших чисел нижче $\theta$ найсильнішими числами поза рядом. Які заміни застосувати, вирішує користувач. Якщо рядів немає, суддя дає рекомендацію: рівномірно випадкові чорнові ряди поліпшуються тим самим способом і повертаються разом із записом про походження.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Оцінка ряду в аналізі Верховного судді.

Рішення, пакети та історія

Рішення: прийняти пропозицію, прийняти позицію захисту, прийняти вердикт судді, залишити початкове, скасувати. Числа змінюються лише тоді, коли користувач приймає пропозицію, приймає вердикт судді, що замінює число, або скасовує зміну; кожна зміна — це перетворення в записі про походження.
Масові рішення: щонайбільше одна заміна на число. «Прийняти всі заміни більшості» застосовує лише варіанти, вибрані більш ніж половиною відібраних присяжних; «Застосувати всі пропозиції» бере для кожного числа варіант більшості, а якщо його немає — варіант із найбільшою кількістю голосів і пропускає випадки рівності.
Пакети: розгляд до 50 рядів тим самим складом персонажів вважається однією спробою; уже проаналізовані ряди пропускаються, а перерваний пакет відновлюється за тим самим планом.
Історія: типи подій — розгляд присяжними, розгляд моделлю, пропозиція, розгляд захистом, розгляд суддею, рішення та перетворення; журнал зберігає до 200 подій і ніколи не видаляє перетворень та останніх розглядів.

Суд відповідає за прогнози

Кожне твердження записується до реєстру прогнозів до свого тиражу, а після нього порівнюється з випадковістю. Для тверджень про $n_i$ чисел із базовою ймовірністю $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H — кількість влучань. Джерело потрапляє до рейтингу, лише якщо набрано щонайменше 30 чисел не менше ніж за 3 тиражі.

4. 3D-лототрон: фізичний рушій

3D-розіграш — це моделювання динаміки твердих тіл у реальному часі: кулі — тіла з масою, моментом інерції, тертям і коефіцієнтом відновлення, на які діють сила тяжіння, ротор-мішалка та поле повітряного потоку, а такою, що випала, вважається куля, яка фізично провалилася у вихідний отвір. Це правдоподібна фізична модель лототрону, а не запис роботи реальної машини.

Лототрон SuperEnalotto: 90 куль перемішуються, поки вибирається чергова куля — 90 куль SuperEnalotto в модельованій камері

Рушій і система координат

Фізика рахується в Rapier 3D (версія 0.14, WebAssembly), відмальовування — у Three.js (r169). Світова система координат права: вісь $+y$ спрямована вгору, початок координат — у центрі камери; вісь ротора — горизонтальна вісь $x$ , а $+z$ спрямована до глядача.

Камера: сфера радіуса $R = 3.0$ одиниці, побудована як трикутна сітка з нормалями всередину та круглим вихідним отвором унизу (півкут $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Кулі: сфери радіуса $r = 0.2$ із густиною 1; по одній кулі на число, від 5 до 90 куль.
Ротор: кінематичний вал із шістьма спицями, лопаті-капсули яких підібрано так, щоб у площині обертання вони не діставали до скла на 0.14 одиниці, плюс менший тріспицевий ротор, напрям обертання якого чергується від однієї фази перемішування до іншої.
Заслінка: циліндрична пробка у вихідному отворі; її прибирають, коли кулі дозволено вийти.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Маса, момент інерції та вага кулі в одиницях моделі.

Масштаб і подібність за Фрудом

Одна одиниця моделі — 10 см: куля діаметром 40 мм має розмір 0.4 одиниці, а камера — сфера діаметром 600 мм. Прискорення вільного падіння зменшено до $30$ одиниць/с² замість реальних $98.1$ . Рух, у якому визначальну роль відіграють тяжіння та інерція, виглядає однаково за однакового числа Фруда, тому симуляція відповідає машині натурального розміру, у якої сповільнено годинник:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Величини зі штрихом належать до моделі. Рівність чисел Фруда за рівних довжин: швидкості масштабуються як √γ, а часи — як 1/√γ.

Сили

Кожна куля підкоряється другому закону Ньютона з тими силами, які справді прикладає код:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D — аеродинамічний опір, F_W — аналітична стінка, F_S — всмоктування біля вихідного отвору, F_C — контакти з кулями, ротором і заслінкою (обчислюються Rapier); τ — відповідні моменти сил. Rapier також застосовує невелике лінійне й кутове демпфування, а швидкості для страховки обмежено 22 одиницями/с і 105 рад/с.

Поле повітряного потоку та квадратичний опір

Повітродувку моделюють заданим полем швидкості повітря $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; на кожну кулю діє квадратичний опір відносно локальної швидкості повітря. Коефіцієнт опору задається граничною швидкістю 48 одиниць/с:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

У нерухомому повітрі куля, що падає, досягає швидкості v_t = √(g/k_d) = 48 одиниць/с — близько 8.7 м/с у натуральному масштабі.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Центральний висхідний потік: найсильніший на осі біля дна (102 при y = −3, 68 у центрі, 34 угорі); ρ_h — горизонтальна відстань від осі.

Закручування: горизонтальне обертання зі швидкістю 11 одиниць/с навколо вертикальної осі.
Потік до центру: далі за 60% радіуса — до $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ у бік центру, щоб кулі й далі циркулювали, а не притискалися до скла.
Турбулентність: гладкий тривимірний шум значень (value noise) з амплітудою 58, що дрейфує в часі; це фіксована детермінована функція, а не генератор випадкових чисел.
Пориви проти застрягання: куля, яка надто довго перебуває біля дна, угорі, біля стінки або майже нерухома, отримує локальний порив, що додається до швидкості повітря й так само діє через опір.

Аналітична сферична стінка

Поверх сітки скло реалізовано як точну сферу на рівні швидкостей: це унеможливлює тунелювання й дає правильне кочення. За зовнішньої нормалі $\hat{\mathbf n}$ , швидкості назовні $v_n$ і глибини проникнення $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Допуск спекулятивного контакту v* і коефіцієнт відновлення e (e_b — коефіцієнт відновлення кулі; нижче порогової швидкості він дорівнює нулю, щоб куля в спокої не деренчала).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Нормальна реакція; застосовується, лише якщо v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Кулонівське тертя в точці контакту; s — швидкість ковзання по дотичній v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35), де μ_b — коефіцієнт тертя кулі.

Контакти між тілами

Контакти куля–куля, куля–ротор і куля–заслінка розв'язує розв'язувач обмежень Rapier із неперервним виявленням зіткнень для куль. Коефіцієнти пари отримують усередненням:

Пара	Тертя	Відновлення
куля – куля	0.16	0.55
куля – скло	0.255	0.415
куля – лопать	0.19	0.525
куля – спиця або вал	0.17	0.35
куля – заслінка	0.23	0.375

Демпфування мале під час розіграшу (лінійне 0.05, кутове 0.035) і велике, поки кулі заспокоюються (2.4). Параметра опору коченню немає: кочення сповільнюється лише завдяки демпфуванню й тертю в контактах.

Крок за часом та інтегрування

Симуляція просувається фіксованими кроками, що не залежать від частоти оновлення екрана; у кожному кадрі виконується стільки фіксованих кроків, скільки вимагає реальний час, але не більше п'яти:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Акумулятор фіксованого кроку: кадр тривалістю Δt_f виконує n фіксованих кроків (не більше 5); кожен крок ділиться на 2 підкроки Rapier по h = 1/120 с із 6 ітераціями розв'язувача.

У межах підкроку рушій спершу оновлює швидкості за силами, а потім положення за новими швидкостями — це напівнеявна (симплектична) схема Ейлера, прийнята в імпульсних рушіях; тут її показано як загальний принцип:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Загальний вигляд: F — прикладені сили, F_c — сили обмежень (контактів), знайдені ітераційним розв'язувачем Rapier.

Власні сили застосунку (повітря, стінка, всмоктування) обчислюються один раз за крок за станом на його початок і зберігаються на обох підкроках. Ротор кінематичний, і його ціль оновлюється на кожному підкроці:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Експоненційне наближення швидкості ротора до цільової; під час перемішування цільова швидкість циклічно набуває значень 2.4, 2.9, 2.1 і 2.7 рад/с.

Як вибирається куля

Після 1 с розгону й 2.6 с перемішування заслінка відкривається. Поки отвір відкритий, висхідний потік над ним плавно згасає, центральний струмінь слабшає до 62%, а всмоктування силою близько 2.2 ваги кулі (близько 4 через 5 с) притягує кулі, що опинилися поруч з отвором:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Всмоктування біля вихідного отвору (y < −1.6 і горизонтальна відстань < 0.6); t_c — час від моменту відкриття заслінки.

Такою, що випала, вважається перша куля, центр якої опустився нижче $y = -3.18$ ; якщо таких за один крок кілька — найнижча. У цю мить жодне випадкове число не використовується. Випадкові числа розіграшу — це початкове розміщення куль і невеликі початкові швидкість та обертання, узяті з Web Crypto API (ще раз — під час завантаження окремого бонусного набору). Далі куля рухається вихідним шляхом до стійки; цей рух задано сценарієм, а не модельовано.

Відмальовування, симуляція та випадковість

Симуляція: фіксовані кроки по 1/60 с; пресети якості (ультра, високий, середній, низький) змінюють лише тіні, світіння (bloom), роздільність і деталізацію сіток, але ніколи не фізику.
Відмальовування: кожен кадр показує останній завершений крок; інтерполяції між кроками немає.
Випадковість: сили детерміновані; результат залежить від початкового розміщення, а починаючи з другої кулі — ще й від того, скільки часу на пристрої займає показ попередньої кулі, тому розіграш неможливо відтворити точно.

5. Статистика реальних тиражів

Екрани аналітики описують минулі тиражі. Вони відповідають на запитання «що сталося» і «чи узгоджується це з чесною лотереєю», але ніколи — на запитання «що станеться».

Частоти, гарячі та холодні числа

Для кожного числа застосунок підраховує випадіння у вікні й показує їх поруч з очікуваною частотою в чесній лотереї; стандартне відхилення наведено тут для довідки:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Очікувана частота (показується в застосунку) та її стандартне відхилення (для довідки) для одного числа за D незалежних тиражів.

Гарячі й холодні: п'ять найчастіших і п'ять найрідкісніших чисел, кожне зі своєю очікуваною частотою (потрібно щонайменше 5 тиражів).
Стовпці частот: червоні, коли частка числа перевищує очікувану більш ніж в 1.3 раза, сині — коли вона нижча за 0.7 очікуваної.
Теплова карта: колір за min–max-нормуванням $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Теплова карта Eurojackpot: 50 основних чисел пофарбовано від синього до червоного — Теплова карта: колір відображає лише минулу частоту

Тест чесності: χ² з поправкою

Тест χ² перевіряє, чи узгоджуються частоти з рівними ймовірностями. В одному тиражі $k$ чисел вибираються без повернення, через що частоти від'ємно корельовані; звичайна поліноміальна статистика тоді виходить заниженою, і застосунок її коригує:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Статистика Пірсона з поправкою на вибірку без повернення; потрібно щонайменше 10 тиражів.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Регуляризована верхня неповна гамма-функція, що обчислюється через ряд і ланцюговий дріб.

p-значення	Висновок
$p > 0.05$	значущого відхилення немає
$0.01 < p \le 0.05$	межове відхилення
$p \le 0.01$	статистично значуще відхилення

Позиційний Q-тест

Якщо є щонайменше 30 повних тиражів, застосунок також перевіряє середнє значення кожної позиції у відсортованому тиражі (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). $i$ -те за зростанням із $k$ чисел, вибраних з $1..N$ , має математичне сподівання та коваріацію

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ — вектор різниць між спостережуваними середніми за позиціями та μ за m тиражів.

Пари, порівняння та перевірки

Пари: матриця 12 × 12, що показує, як часто 12 найчастіших чисел випадали разом (потрібно щонайменше 10 тиражів). Це сирі лічильники; для довідки: очікувана кількість спільних випадінь конкретної пари в чесних тиражах дорівнює $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Порівняння лотерей: шанси на джекпот, ціна квитка, вартість купівлі всіх комбінацій.
Перевірка математики: застосунок перераховує $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ і порівнює результат зі збереженою константою, а також перевіряє тиражі вікна аналізу на вихід за діапазон, неправильну кількість куль і дати, що повторюються.
Призові категорії: офіційні таблиці виплат для кожного тиражу. Картина тиражу усереднює 60 останніх реальних таблиць виплат; лише для лотереї, щодо якої даних про виплати немає взагалі, кількість переможців оцінюється за ймовірностями категорій із розділу 8 і припущеним обсягом продажів, тому такі цифри мають ілюстративний характер.

Симуляція гри завдовжки в життя

50-річна симуляція використовує ймовірність хоча б одного джекпоту в $T$ незалежних квитках:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Імовірність хоча б одного джекпоту в T квитках; C — кількість джекпотних комбінацій, d — кількість тиражів на тиждень, r — кількість рядів на тираж.

6. Календарний аналіз

Календарний аналіз шукає збіги між датами тиражів і числами, що випали, — наприклад, коли число місяця опиняється серед куль, — і порівнює кожну спостережувану частоту з тією, яку дала б чиста випадковість.

Відбір тиражів

Тиражі можна фільтрувати за роком, місяцем, тим самим місяцем за всі роки або діапазоном дат, а також за епохою правил. Частотні списки (гарячі, холодні, ті, що найдовше не випадали) використовують сирі лічильники за вибіркою; число, неможливе в усіх вибраних епохах, вилучається, а вибірка, що змішує епохи, позначається попередженням, бо число, допустиме лише в новій епосі, виглядає хибно «холодним». Описані нижче правила дат ураховують епохи: тираж зараховується для правила, лише якщо хоча б один кандидат є допустимим числом за правилами самого цього тиражу.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Спостережувана частота правила дати: C_t — числа-кандидати тиражу t, X_t — числа, що в ньому випали, Ω_t — допустимі числа за його правилами; ℰ — придатні тиражі.

Десять правил дат

Правило	Числа-кандидати для тиражу від ДД.ММ.РРРР
день	ДД
місяць	ММ
рік	РРРР mod 100
година	година тиражу, якщо оператор її публікує
цифри року	різні цифри РРРР
сума цифр року	сума цифр РРРР
сума цифр двозначного року	сума цифр РРРР mod 100
сума цифр дня	сума цифр ДД
сума цифр дати	сума всіх цифр ДД, ММ і РРРР
цифровий корінь	сума цифр дати, зведена до однієї цифри

Кандидат, що дорівнює 0, ігнорується, а тираж зараховується для правила один раз, навіть якщо збігаються кілька його чисел.

Випадкове очікування

Для тиражу з $k$ чисел із $S$ можливих значень і набору з $m$ чисел-кандидатів імовірність того, що не випаде жоден кандидат, задається гіпергеометричним розподілом:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀ — не випав жоден кандидат; P≥1 — випав хоча б один. Кандидати поза діапазоном епохи тиражу відкидаються.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Очікувана частота збігів r̂ за придатними тиражами ℰ, кожен зі своєю епохою; P^M і P^B для основного й бонусного наборів об'єднуються як незалежні.

Календарні збіги: спостережувані частоти поруч із випадковим очікуванням — Календарні збіги в порівнянні з випадковістю

Як читати частоти

Пари виводяться починаючи з 30 тиражів, трійки — зі 120 (лише комбінації, що трапилися щонайменше двічі, десять найчастіших); якщо тиражів менше 100, показується попередження про малу вибірку. Навіть за 100 тиражів частота близько 20% має 95%-вий інтервал приблизно $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ відсоткового пункту.

7. Історичний архів та епохи правил

Лотереї змінюють правила. Тираж має сенс лише разом із правилами, що діяли на його дату, тому кожен збережений тираж зберігає версію своїх правил.

Епохи правил

Лотерея	Епохи (основні · бонусні)
Lotto (Норвегія)	7/34 + 3 додаткові → 7/34 + 1 додаткове (з 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + додаткове та щасливе число → число Вікінга 1–8 (2017) → 1–5 (з 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (з 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (з 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (з 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (з 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly з 1997 року; SuperStar — окремий барабан, у моделях не використовується
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (з 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (з 19.04.2018)

Правило сумісності

Моделі та аналітика використовують лише тиражі, порівнянні з сьогоднішніми правилами. Дві епохи порівнюються за групами чисел:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Епоха e порівнянна за основними числами, якщо збігаються кількість і діапазон (ліворуч), і за бонусними — якщо збігається кожна бонусна група 𝓑 (праворуч). У тиражу з порівнянними основними числами, але іншими бонусними правилами основні числа зберігаються, а бонусні відкидаються.

Історія Eurojackpot із карткою епохи поточних правил і тиражами, позначеними версією правил — Архів позначає кожен тираж епохою його правил

8. Імовірність та обмеження

Кожен офіційний тираж — незалежний випадковий експеримент. Жодна історія, модель, суд чи симуляція не змінює ймовірності жодної комбінації.

Імовірність джекпоту

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Імовірність джекпоту для одного ряду за поточними правилами (праворуч — Eurojackpot); для лотерей без бонусного числа в гравця використовується лише перший множник.

Лотерея	Правила	Шанси на джекпот
Lotto (Норвегія)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Усі призові категорії

Імовірність угадати рівно $i$ з $k$ основних чисел і $j$ з $b$ бонусних — добуток двох гіпергеометричних імовірностей:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Для додаткової кулі з того самого барабана (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) другий множник для «+1» дорівнює (k−i)/(N−k).

Категорія Eurojackpot	Шанси
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Чому жоден метод не може обіграти випадковість

Якщо тиражі незалежні й усі комбінації рівноймовірні, умовна ймовірність наступного тиражу за будь-якої історії та сама, що й без неї, а очікувана кількість угаданих основних чисел однакова для будь-якого ряду, хоч би як його отримали:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H — кількість угаданих основних чисел ряду. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 на ряд для будь-якого методу.

Відкрити Lotto Simulator