Mathematik & Technologie

Die echte Mathematik, Statistik, Algorithmik und Physik hinter Lotto Simulator – direkt aus dem Code, der in der App läuft.

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So lesen Sie diese Seite

Jede Formel auf dieser Seite stammt aus der Implementierung, nicht aus einem Werbeprospekt. Wo eine Komponente eine deterministische Regel oder eine Heuristik ist und keine Formel, beschreiben wir den Algorithmus genau so, wie er läuft, und erfinden keine Mathematik dazu.

Lotto Simulator ist eine analytische, didaktische und Simulationsumgebung. Die App erzeugt Kombinationen mit sechzehn Methoden, lässt sie von einem Mathematischen Gericht aus zwölf Geschworenen, sechs Verteidigern und einem Obersten Richter prüfen, testet echte Ziehungshistorien auf Fairness, analysiert Kalenderübereinstimmungen und führt Ziehungen in einer physikalischen 3D-Lostrommel vor. Nichts davon ändert die Wahrscheinlichkeit irgendeiner Zahl bei einer offiziellen Ziehung – Abschnitt 8 erklärt mit konkreten Zahlen, warum.

Durchgehend verwendete Notation

wobei

$N$: Größe des Pools der Hauptzahlen (zum Beispiel 50 beim Eurojackpot)
$k$: Anzahl der gezogenen und gespielten Hauptzahlen (5 beim Eurojackpot)
$B,\; b$: Größe des separaten Bonuszahlen-Pools und Anzahl der gespielten Bonuszahlen (12 und 2 beim Eurojackpot)
$D$: Anzahl der vergangenen Ziehungen im gewählten Analysefenster
$c_n$: wie oft die Zahl $n$ unter den Hauptzahlen dieser $D$ Ziehungen vorkam
$t = 0, 1, \dots$: Index der Ziehung, die neueste zuerst: $t = 0$ ist die letzte Ziehung
$\binom{n}{r}$: Binomialkoeffizient, die Anzahl der Möglichkeiten, $r$ Elemente aus $n$ auszuwählen

1. Systemarchitektur

Eine Anwendung, eine Codebasis: Dieselbe Web-App läuft in Desktop- und Mobilbrowsern und unverändert in den iOS- und Android-Apps (Capacitor WebView). Rechenintensive und kostenpflichtige Berechnungen laufen auf dem Server; alles, was Sie sehen, wird auf dem Gerät dargestellt.

Gerät (Web, iOS, Android)Oberfläche, Spielschein und Arbeitssätze, die vier FREE-Methoden des Generators, Häufigkeitsdiagramme, χ²-Test, Kalendermathematik, 3D-Trommel. Reiner Zufall und die 3D-Trommel beziehen ihren Zufall aus der Web Crypto API.
Edge-Funktionen (TypeScript, Deno)Die zwölf PRO-Methoden des Generators, alle neunzehn Modelle des Gerichts, die zwölf Geschworenen, sechs Verteidiger, der Oberste Richter, Systemspiele (Radmatrix), das Prognoseregister. Das Gericht arbeitet mit geseedeten, reproduzierbaren Zufallsströmen.
Datenbank (PostgreSQL)Offizielle Ziehungsergebnisse mit ihrer Regelversion, Gewinnquotentabellen, Konten und Berechtigungen, das nur erweiterbare Prognoseregister und seine Auswertung.
DatenpipelineGeplante Jobs erfassen offizielle Ergebnisse, prüfen jede Ziehung gegen die Regeln ihrer Ära und veröffentlichen den Datensatz nach aktuellen Regeln.

Wer was berechnet

Im Browser: die FREE-Methoden (Heiße Zahlen, Kombiniert, Segmentabdeckung, Reiner Zufall) und die gesamte deskriptive Statistik. Der öffentliche Build entfernt die PRO-Implementierungen physisch aus dem Client: Ihre Funktionen werden durch Platzhalter ersetzt, sodass ein PRO-Ergebnis nur vom Server stammen kann.
Auf dem Server: jede PRO-Methode, das gesamte Mathematische Gericht und der Oberste Richter. Eine Anfrage enthält die Lotterie, die Methode, die Anzahl der Reihen (1–50) und das Analysefenster; der Server lädt die Ziehungen selbst, sodass der Client ihm keine erfundene Historie unterschieben kann.
Fail-closed-Regel: Ein Servermodell braucht mindestens 5 Ziehungen im gewählten Analysefenster. Bei weniger lehnt es mit der ausdrücklichen Antwort „unzureichende Historie“ ab, statt Reihen aus dem Nichts zu erzeugen.

Reproduzierbare Berechnung im Gericht

Jeder Geschworene, jeder Verteidiger und jedes Modell im Gericht läuft auf einem eigenen Pseudozufallsstrom, dessen Seed ein Hash aus Algorithmusversion, Persona, Lotterie, vollständiger Ziehungshistorie und Datum der Zielziehung ist. Dieselben Daten ergeben daher immer dasselbe Urteil, und jede Änderung der Historie verändert jeden Strom.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Seed einer Berechnung im Gericht und der daraus erzeugte Strom gleichverteilter Zahlen.

wobei

$v$: Algorithmusversion der Gerichts-Engine
$\kappa$: Schlüssel der Persona oder des Modells, zum Beispiel die Kennung eines Geschworenen
$H$: alle Ziehungen des Fensters, Haupt- und Bonuszahlen in Reihenfolge
$g,\; d$: Kennung der Lotterie und Datum der Zielziehung
$h_0$: die FNV-1a-Offset-Basis; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ hasht den Text $x$ ausgehend vom Zustand $h$
$u_i$: die $i$ -te gleichverteilte Zufallszahl des Stroms

Speicherung und Herkunft

Jede Kombination trägt einen Herkunftsnachweis: ihre Quelle (Generatormethode, Geschworener, Konsens der Jury, Systemspiel, 3D-Ziehung, Oberster Richter, manuelle Eingabe), die Zahlen, mit denen sie begann, und ein nur erweiterbares Ereignisprotokoll aus Prüfungen, Vorschlägen, Positionen der Verteidigung, Urteilen, Entscheidungen und Transformationen (höchstens 200 Ereignisse). Ein Nachweis wird nur akzeptiert, wenn das erneute Anwenden seiner Transformationen auf die Anfangszahlen die Reihe exakt reproduziert; andernfalls wird die Reihe mit nicht verfügbarer Quelle angezeigt.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Herkunftsprüfung: Die aktuelle Reihe R_m muss der Anfangsreihe R_0 entsprechen, auf die jede protokollierte Ersetzung τ₁ … τₘ der Reihe nach angewendet wurde.

Abstammung: Wird eine Reihe von Hand bearbeitet, entsteht ein neuer Nachweis, dessen Elternteil der vorherige ist (bis zu vier frühere Nachweise bleiben erhalten), sodass die Historie vor der manuellen Änderung sichtbar bleibt.
Prognoseregister: Jede Empfehlung (eine erzeugte Reihe, die Ersetzung durch einen Geschworenen, die Position eines Verteidigers, ein Urteil) wird vor der Zielziehung in ein Register geschrieben und nach dem offiziellen Ergebnis automatisch ausgewertet.

2. Hauptgenerator: sechzehn Methoden

Der Generator bietet sechzehn Verfahren zur Auswahl. Vier FREE-Methoden laufen im Browser, zwölf PRO-Methoden auf dem Server. Alle wählen $k$ verschiedene Zahlen aus $1..N$ sowie die Bonuszahlen der Lotterie; sie unterscheiden sich nur darin, wie die Zahlen gewichtet oder konstruiert werden.

Der Seriengenerator mit Anzahl, Analysemethode und den drei Standardfiltern — Das Generator-Panel: Methodenauswahl und Standardfilter

Gemeinsame Bausteine

Gewichtete Methoden ordnen jeder Zahl ein Gewicht $w_n \ge 0$ zu und ziehen dann nacheinander ohne Zurücklegen: Jede Auswahl entfernt die Zahl und normiert die verbleibenden Gewichte neu.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Sequenzielle gewichtete Stichprobe ohne Zurücklegen, verwendet von jeder gewichtsbasierten Methode.

wobei

$x_j$: die $j$ -te für die Reihe gewählte Zahl, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: das Gewicht der Zahl $n$ in der jeweiligen Methode

Zufall: Im Browser verwenden Reiner Zufall und der Eindeutigkeitsschritt die Web Crypto API, während Heiße Zahlen, Kombiniert und Segmentabdeckung den Standardgenerator des Browsers (Math.random) nutzen. Auf dem Server ziehen die Methoden aus kryptografischem Zufall, mit Ausnahme des Physikalischen Modells (Standardgenerator) und des Chaos-Seeds, der kryptografischen Zufall mit einem hochauflösenden Timer mischt. Im Browser wird eine unverzerrte ganze Zahl in $0..M-1$ per Verwerfungsmethode (Rejection Sampling) gewonnen, sodass kein Rest bevorzugt wird:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Verwerfungsmethode: Ein kryptografischer 32-Bit-Wert x wird so lange neu gezogen, bis er unter dem größten Vielfachen von M liegt, und dann modulo M reduziert.

Bonuszahlen

Bonuszahlen (Eurojackpot 2 aus 12, EuroMillions 2 aus 12, Powerball 1 aus 26, Mega Ball 1 aus 24, Vikingzahl 1 aus 5, Powerball AU 1 aus 20) werden aus einem eigenen Pool gezogen, unabhängig von den Hauptzahlen. Lotto, SuperEnalotto und Lotto Max haben keine Bonuszahl für den Spieler: Ihre Zusatzzahl zieht der Veranstalter aus der Haupttrommel.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Gewicht w′ⱼ der Bonuszahl j mit Bonushäufigkeit c′ⱼ für die Methode μ: freq = Heiße Zahlen; rnd, phys, chaos, world = Reiner Zufall, Physikalisches Modell, Chaos, Welt-Methoden; alle anderen Methoden verwenden c′ⱼ + 2. Bei weniger als 5 Ziehungen verwendet jede Methode gleiche Gewichte.

FREE-Filter und Eindeutigkeit

Im Browser erzeugte Reihen durchlaufen drei standardmäßig aktivierte Filter: nicht alle Zahlen gerade oder alle ungerade; die Summe innerhalb eines Bereichs; keine Folge von mehr als drei aufeinanderfolgenden Zahlen. Eine abgelehnte Reihe wird durch eine gleichverteilt zufällige Reihe ersetzt, die die Filter besteht (ihre Bonuszahlen werden mit den Bayes-Gewichten $c'_j + 2$ gezogen).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Standard-Summenbereich. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, Bereich 73–183.

Damit auf demselben Gerät nicht zweimal dieselbe Kombination ausgegeben wird, wird jede FREE-Reihe über den lexikografischen Rang ihrer Hauptzahlen unter allen $\binom{N}{k}$ Kombinationen identifiziert und mit den letzten 20 000 für diese Lotterie ausgegebenen Reihen verglichen; ein wiederholter Rang wird durch zufällige Vertauschungen verändert, und als letzter Ausweg wird der nächste unbenutzte Rang aus einer zufälligen affinen Permutation aller Ränge genommen. Eine so veränderte Reihe wird nicht erneut gegen die Filter geprüft.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Lexikografischer Rang einer Kombination und der affine Durchlauf mit voller Periode über alle Ränge.

FREE- und PRO-Ausführungswege

Weg	Methoden	Ausführungsort	Reihen pro Durchlauf	Historie
FREE	Heiße Zahlen, Kombiniert, Segmentabdeckung, Reiner Zufall	Browser	bis zu 5 (bis zu 50 für PRO-Nutzer)	das FREE-Fenster der letzten Ziehungen
PRO	die zwölf übrigen Methoden	Server	bis zu 50	das gewählte Analysefenster, mindestens 5 Ziehungen

Heiße Zahlen

FREEIm Browser

Zweck: die Zahlen bevorzugen, die im Analysefenster am häufigsten vorkamen.

w_n = c_n + 0.05

Gewicht der Zahl n; bei weniger als 5 Ziehungen sind alle Gewichte gleich 1.

Weitere Details

Kombiniert

FREEIm Browser

Zweck: heiße, mittlere und kalte Zahlen in einem festen Verhältnis mischen.

Die Zahlen werden nach $c_n$ sortiert (bei Gleichstand kommt die kleinere Zahl zuerst) und in Drittel der Größe $\lceil N/3 \rceil$ aufgeteilt: heiß, mittel, kalt. Reihe $i$ wählt gleichverteilt aus jedem Drittel:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

Reihe i nimmt h heiße, mᵢ mittlere und cᵢ kalte Zahlen; ungerade und gerade Reihen tauschen die Anteile von mittleren und kalten Zahlen.

Weitere Details

Segmentabdeckung

FREEIm Browser

Zweck: eine Reihe gleichmäßig über den Zahlenbereich verteilen.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Eine gleichverteilte Zahl aus jedem von k aufeinanderfolgenden Segmenten; das letzte Segment nimmt den Rest auf.

Weitere Details

Reiner Zufall

FREEIm Browser

Zweck: die ehrliche Referenz – jede Zahl gleich wahrscheinlich.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Ein kryptografisches Fisher–Yates-Mischen gibt vor dem Filtern jeder Kombination dieselbe Wahrscheinlichkeit.

Weitere Details

Radmatrix

PROServer

Zweck: mehrere Reihen bilden, die zusammen möglichst viele Paare eines kleinen Zahlenpools abdecken – ein gieriges Überdeckungsdesign.

Der Pool umfasst $\min(N, k+5)$ Zahlen, abwechselnd aus dem heißen, kalten und mittleren Drittel entnommen. Alle $\binom{|P|}{k}$ Kombinationen des Pools sind Kandidaten (über 40 000 wird eine Zufallsstichprobe verwendet); jeder Schritt fügt den Kandidaten mit der besten Bewertung hinzu und markiert seine Paare als abgedeckt:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Gierige Bewertung der Paarabdeckung; Gleichstände werden gleichverteilt zufällig aufgelöst.

Weitere Details

wobei

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: die Paare der Kandidatenreihe $R$ und die bereits durch die gewählten Reihen abgedeckten Paare
$u_n$: wie viele bereits gewählte Reihen die Zahl $n$ enthalten
$[\,\cdot\,]$: gleich 1, wenn die Bedingung erfüllt ist, sonst 0

Weltweit heiß und Weltweit kombiniert

PROServer

Zweck: das Häufigkeitsprofil aller neun unterstützten Lotterien auf die aktuelle übertragen.

Jede gezogene Zahl $x$ jeder Lotterie $g$ wird auf ihre relative Position $q = (x-1)/(N_g - 1)$ abgebildet und mit einem schmalen Gauß-Kern auf die Zahlen der aktuellen Lotterie verteilt; jede Lotterie erhält pro Ziehung dasselbe Gewicht, und die eigene Häufigkeit der aktuellen Lotterie wird noch einmal obendrauf addiert:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Weltbewertung der Zahl n; X_g sind alle in Lotterie g gezogenen Hauptzahlen (bis zu 400 jüngste Ziehungen nach aktuellen Regeln, D_g Ziehungen).

Weitere Details

Weltweit heiß: $k$ gleichverteilte Auswahlen aus den $\max(3k, 12)$ Zahlen mit der höchsten Bewertung.
Weltweit kombiniert: $\lceil 0.45k \rceil$ aus dem oberen Drittel, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ aus dem unteren Drittel, der Rest aus der Mitte. Bonuszahlen sind gleichverteilt.

Markov-Ketten

PROServer

Zweck: Zahlen danach gewichten, wie oft sie auf die Zahlen der vorherigen Ziehung folgten.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Laplace-geglättete Übergangswahrscheinlichkeit erster Ordnung, gemittelt über die letzte Ziehung L.

Weitere Details

wobei

$T(a \to b)$: wie oft die Zahl $b$ in der Ziehung direkt nach einer Ziehung mit $a$ vorkam
$L$: die Hauptzahlen der letzten Ziehung

Gauß · zentraler Grenzwertsatz

PROServer

Zweck: Reihen mit typischer Summe bilden. Die Summe von $k$ ohne Zurücklegen gezogenen Zahlen hat

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Erwartungswert und Varianz der Reihensumme beim Ziehen ohne Zurücklegen (ersetzt durch die empirischen Werte, sobald mindestens 5 Summen vorliegen).

Weitere Details

Jede Zahl wird mit einer Gauß-Kurve um den Durchschnittswert pro Position gewichtet, und bis zu 40 Kandidatenreihen werden gezogen; es gewinnt diejenige, deren Summe $\mu$ am nächsten liegt (die Suche endet vorzeitig innerhalb von $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Gewicht pro Zahl in der Gauß-Methode.

Intervallmodell Δ

PROServer

Zweck: die Abstände zwischen benachbarten Zahlen in echten Ziehungen nachahmen.

Aus den letzten 120 Ziehungen sammelt die Methode die kleinste Zahl jeder Ziehung und alle Differenzen zwischen benachbarten sortierten Zahlen. Eine Reihe entsteht aus einem zufälligen Start plus zufälligen Differenzen; eine Reihe, die über $N$ hinausläuft, wird verworfen (bis zu 300 Versuche, danach eine gleichverteilte Reihe):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Empirisches Bootstrap der ersten Zahlen und der Abstände; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) ist die sortierte Ziehung t.

Weitere Details

Bayes · Dirichlet

PROServer

Zweck: Häufigkeit mit Schrumpfung in Richtung Gleichverteilung.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

A-posteriori-Erwartungswert einer symmetrischen Dirichlet(α)-A-priori-Verteilung, aktualisiert mit den beobachteten Häufigkeiten; die Methode zieht mit den Gewichten c_n + 3.

Weitere Details

Lückenanalyse

PROServer

Zweck: Zahlen bevorzugen, die lange nicht gezogen wurden.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n ist der Index der neuesten Ziehung, die n enthält (0 = die letzte Ziehung); eine nie gesehene Zahl erhält D + ḡ.

Weitere Details

Physikalisches Modell der Trommel

PROServer

Zweck: eine vereinfachte 2D-Simulation über die Reihenfolge des Austritts entscheiden lassen.

$N$ Scheiben mit Radius $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ bewegen sich in einem Einheitsquadrat mit zufälligen Luftstößen, einer konstanten Drift zum Auslass, Dämpfung und elastischen Stößen gleicher Massen; eine Scheibe, die den Auslass in der Mitte der Unterkante verlässt, gilt als gezogen.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Ein Schritt des 2D-Modells (y zeigt nach unten, zum Auslass; höchstens 2400 Schritte). Eine Scheibe tritt aus, wenn an der Unterkante 0.43 < x < 0.57 gilt; treten weniger als k Scheiben aus, wird die Reihe gleichverteilt ergänzt.

Weitere Details

\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Elastischer Stoß gleicher Massen: Die Normalkomponenten der Geschwindigkeiten werden ausgetauscht.

Chaos · logistische Abbildung

PROServer

Zweck: zeigen, dass ein vollständig deterministisches System unvorhersagbar sein kann.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Nach 100 Einschwing-Iterationen ab einem zufälligen Startwert werden Werte gesammelt, bis k verschiedene Zahlen gefunden sind.

Weitere Details

Quantenkollaps

PROServerExperimentell

Zweck: ein konträres Gewicht, das selten gezogene Zahlen bevorzugt.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Gewicht der „Häufigkeitsbarriere“; die Zufallszahlen stammen aus einem Puffer kryptografischer 16-Bit-Werte.

Weitere Details

System der Paradoxien

PROServerExperimentell

Zweck: Forschungsreihen, die auf kontraintuitiven Eigenschaften zufälliger Kombinationen beruhen. Fünf Archetypen kommen abwechselnd zum Einsatz:

Masse: bevorzugt Zahlen über 31 in Pools mit mindestens 42 Zahlen (Geburtstage enden bei 31), Gewicht 2.6 oberhalb der Grenze und 0.28 darunter, ×1.1 für Vielfache von 10, und erzwingt dann mindestens $\lceil 0.6k \rceil$ Zahlen oberhalb der Grenze. Weniger Menschen spielen solche Zahlen, ein Gewinn müsste also mit weniger Personen geteilt werden – die Gewinnchance bleibt unverändert.
Gegensatz: die Hälfte der Reihe aus den häufigsten Zahlen, der Rest aus den am längsten ausgebliebenen.
Cluster: enthält ein Paar aufeinanderfolgender Zahlen – eine Eigenschaft, die in Zufallsziehungen weit häufiger ist, als die Intuition vermuten lässt:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot etwa 35%, Lotto 7/34 etwa 78%.

Weitere Details

Spiegel: bildet Paare aus $n$ und $N + 1 - n$ .
Regression: die Zahlen, deren jüngste Rate (letzte 10 Ziehungen) am stärksten von ihrer langfristigen Rate abweicht.

3. Das Mathematische Gericht

Das Gericht prüft eine Kombination, die Sie bereits haben. Geschworene und Modelle können vorschlagen, eine Zahl zu ersetzen; Verteidiger argumentieren für oder gegen jeden Vorschlag; der Oberste Richter entscheidet anhand eines Strukturfelds vergangener Ziehungen. Zahlen ändern sich nur, wenn Sie es entscheiden – und jeder Schritt wird protokolliert.

Auswahl der zwölf Geschworenen rund um das Emblem des Gerichts — Die Jury: zwölf Personas, jede mit ihrer eigenen mathematischen Strategie

Der Ablauf eines Verfahrens

Vorschlag. Ein Geschworener oder ein Modell prüft jeden möglichen Einzeltausch in der Reihe und schlägt höchstens eine Ersetzung vor – oder schlägt vor, die Reihe beizubehalten.
Verteidigung. Die Verteidiger beziehen zu jedem Vorschlag Position: Unterstützung, Einwand oder Protest. Ein Verteidiger schlägt nie eine Zahl vor und setzt auch keine ein.
Urteil. Der Oberste Richter nimmt den Vorschlag an, bietet eine Alternative an oder behält die Zahl bei – auf Grundlage des Strukturfelds vergangener Ziehungen.
Entscheidung. Nur Sie ändern Zahlen: einen Vorschlag annehmen, der Verteidigung folgen, dem Richter folgen, das Original behalten oder zurücksetzen. Jede Entscheidung wird mit ihrem Urheber gespeichert.

Vom Modell zur Präferenz pro Zahl

Jedes Modell wird auf eine relative Präferenz $\operatorname{rel}(n)$ für jede Zahl reduziert, wobei 1 „der Durchschnitt des Modells“ bedeutet, zusammen mit einem Standardfehler. Modelle, die durch einen expliziten Gewichtsvektor definiert sind, sind exakt; die übrigen werden gemessen, indem man sie ausführt:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Exakte relative Präferenz von Heiße Zahlen, Markov, Gauß, Bayes, Lückenanalyse, Quantenkollaps, Quanten-Astral und dem Strukturfeld.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Monte-Carlo-Präferenz prozeduraler Modelle: X₁ … X_R sind R = 600 geseedete Reihen des Modells (120 beim physikalischen Modell). Der Konsens mittelt stattdessen drei Durchläufe (siehe seine Karte).

Die neunzehn Modelle

Das Gericht verwendet die sechzehn Generatormethoden aus Abschnitt 2 sowie drei eigene Modelle. Vier davon nutzen keine Historie und sind als Modelle ohne Zahlenpräferenz registriert (Segmentabdeckung, Reiner Zufall, Physikalisches Modell, Chaos); in der Praxis bevorzugt die Segmentabdeckung die Zahlen kurzer Segmente, wenn $k$ kein Teiler von $N$ ist, und Chaos bevorzugt die Ränder des Bereichs, wie ihre Karten zeigen. Zwei Modelle sind zusammengesetzt (Konsens und Strukturfeld).

Modell	Typ	Grundlage
Heiße Zahlen	Gewichte	$c_n + 0.05$
Kombiniert	Stichprobe	heißes / mittleres / kaltes Drittel
Segmentabdeckung	Stichprobe, ohne Historie	eine Zahl pro Segment
Reiner Zufall	Stichprobe, gleichverteilt	Fisher–Yates-Mischen
Markov-Ketten	Gewichte	geglättete Übergänge ab der letzten Ziehung
Gauß · ZGS	Gewichte	Gauß-Kurve um $\mu/k$
Intervallmodell Δ	Stichprobe	Bootstrap der Abstände
Bayes · Dirichlet	Gewichte	$c_n + 3$
Lückenanalyse	Gewichte	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Physikalisches Modell	Stichprobe, ohne Historie	2D-Scheibensimulation
Chaos	Stichprobe, ohne Historie	logistische Abbildung, randlastig
Quantenkollaps	Gewichte, experimentell	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
System der Paradoxien	Stichprobe, experimentell	fünf Archetypen
Quanten-Astral	Gewichte, experimentell	Mondzeichen und Beleuchtungsgrad
Radmatrix	Stichprobe	Paarabdeckungsdesign
Weltweit heiß	Stichprobe	lotterieübergreifendes Kernprofil
Weltweit kombiniert	Stichprobe	lotterieübergreifendes Kernprofil
Modellkonsens	Ensemble	14 Mitgliedsmodelle
Strukturfeld	zusammengesetzt	sechs deskriptive Komponenten

Strukturfeld

Server

Das Feld ist das Maß des Obersten Richters: eine von Hand gewichtete Zusammensetzung aus sechs deskriptiven Komponenten. Häufigkeiten, Konnektivität und Paarabdeckung werden durch ihr Maximum über alle Zahlen geteilt; Aktualität und Typizität liegen bereits in $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Strukturfeld-Bewertung der Zahl n, von 0 bis 100.

Weitere Details

wobei

$A_n,\ S_n$: Häufigkeit im gesamten Fenster und in den letzten $\max(3, \min(10, D))$ Ziehungen
$G_n$: Aktualität, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: Summe der Paar-Lifts $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ über alle Partner $m$ , wobei $O_{nm}$ die Anzahl der Ziehungen ist, die beide enthalten
$T_n$: mittlere strukturelle Typizität der Ziehungen, die $n$ enthalten: $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , mit $e$ als Anteil gerader Zahlen und $z_S$ als standardisierter Summe
$P_n$: Paarabdeckung, die Gesamtzahl der Paarbeobachtungen mit $n$

Modellkonsens

Server

Vierzehn Mitgliedsmodelle aus zwölf Familien erzeugen je 10 Reihen; eine Zahl punktet danach, wie viele Modelle und Familien sie gewählt haben, wie oft und wie gleichmäßig:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Konsensbewertung; das Gericht mittelt drei unabhängige Durchläufe und verwendet ihre Streuung als Standardfehler.

Weitere Details

wobei

$M_n,\ F_n$: Anzahl der Mitgliedsmodelle und der Modellfamilien, deren Reihen $n$ enthalten
$f_n$: Gesamtzahl der Reihen, die $n$ enthalten
$\operatorname{stab}_n$: mittlere Anzahl der Vorkommen pro Mitgliedsmodell, das $n$ gewählt hat, geteilt durch 10

Quanten-Astral-Modell

ServerExperimentell

Ein Unterhaltungsmodell, das Zahlen nach dem Mond am Datum der Zielziehung gewichtet, plus einem kleinen Anteil des Strukturfelds:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Quanten-Astral-Gewicht; σ ∈ {0,…,11} ist das Tierkreiszeichen der ekliptikalen Länge des Mondes am Datum der Zielziehung, I der Beleuchtungsgrad in Prozent.

Weitere Details

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Beleuchtungsgrad des Mondes in Prozent aus dem Alter A im synodischen Monat der Länge P (Tage).

Wie ein Modell eine Reihe prüft

Für jeden möglichen Tausch $a \to b$ – die Zahl $a$ verlässt die Reihe, die Zahl $b$ kommt hinein – berechnet das Modell den Gewinn und dessen Rauschen. Ein Gewinn zählt nur, wenn er statistisch eindeutig ist; ein Verlust zählt immer.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Modellprüfung. Exakte Gewichtsmodelle haben SE = 0, ihre Gewinne zählen also immer; der Tausch qualifiziert sich bei effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Standardfehler eines Tauschs bei einem stichprobenbasierten Modell: der gepoolte Anteil unter der Hypothese, dass a und b gleich wahrscheinlich sind. Für den Konsens gilt SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) über seine drei Durchläufe; exakte Gewichtsmodelle haben SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Bonferroni-korrigierte Schwelle über alle k(N−k) möglichen Tausche; Eurojackpot: 3.43.

Basis- $z$	Eurojackpot, 225 Tausche	Lotto 7/34, 189 Tausche
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

Die zwölf Geschworenen

Jeder Geschworene hat eine Strategie, eigene Quellen (Modelle oder Signale aus der Historie), einen Mindesteffekt und ein Signifikanzniveau. Das Urteil eines Geschworenen über eine Reihe lautet entweder „beibehalten“ oder genau eine Ersetzung; Geschworene erheben weder Einwände noch Proteste – das ist die Rolle der Verteidigung.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Numerischer Gewinn eines Tauschs aus den gewichteten Quellen des Geschworenen; λ = D/(D+40) bei Eva Lind, sonst 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Effektiver Wert eines Tauschs. Der beste qualifizierte Tausch gewinnt (bei Gleichstand: kleinere neue Zahl, dann frühere Position); gibt es keinen, behält der Geschworene die Reihe bei.

wobei

$\omega_m$: Gewicht der Quelle $m$ in der Definition des Geschworenen
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , mit $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: das Signifikanzniveau des Geschworenen, korrigiert für $k(N-k)$ Tausche, wie in der Tabelle oben
$\Delta \ell_c$: Änderung der Log-Likelihood der Strukturkomponente $c$ (nats)
$\Delta \Gamma$: Änderung der Abdeckungsbewertung des Spielscheins

Aus der Historie berechnete Signale

Drei Geschworene verwenden Signale, die direkt aus den Ziehungen gelesen werden statt aus einem Generator. Mit $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Häufigkeitstest. Bei fairen Ziehungen gilt Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), weil die Zahlen einer Ziehung negativ korreliert sind; Division durch die erwartete Häufigkeit Dp ergibt SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Wiederholbarkeit. Häufigkeit in K disjunkten Fenstern zu je s = ⌊D/K⌋ Ziehungen; der Vorteil muss einen Abzug von einem Standardfehler überstehen.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalie. Absolute Abweichung von der erwarteten Häufigkeit; √(1−2/π) ist die Standardabweichung von |Z| für eine standardnormalverteilte Größe Z.

Struktur und Abdeckung

Strukturkomponenten vergleichen eine Reihe mit dem Profil vergangener Ziehungen: Parität, niedrig/hoch, Cluster und Abstände sind kategorial mit Laplace-Glättung; Summe und Spannweite sind gaußverteilt.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-Likelihoods: ℓ₁ kategorial (Parität, niedrig/hoch, Cluster; J Kategorien, n_j vergangene Ziehungen in Kategorie j), ℓ₂ gaußsch (Summe, Spannweite), ℓ₃ Abstände zwischen benachbarten Zahlen.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Abdeckung des Spielscheins: 𝒫′ ist die Menge der Paare der übrigen Reihen des Spielscheins; der zweite Term zählt die Dekaden des Zahlenfelds, die die Reihe berührt.

Eva Lind · Meisterschützin

Strategie: langfristige Häufigkeit mit Bayes'scher Schrumpfung. Quellen: Bayes 0.8 + Heiße Zahlen 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; kein Signifikanztest (exakte Gewichte).

Regel: Der beste Tausch ist immer die seltenste Zahl der Reihe → die häufigste Zahl außerhalb der Reihe; er qualifiziert sich bei $\Delta \ge 0.12$ .

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Maya Chen · Architektin der Form

Strategie: die Form der Reihe. Quellen: Gauß 0.5 + Kombiniert 0.5; Strukturgewicht 2 auf Parität, niedrig/hoch, Summe, Spannweite und Cluster; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regel: Der Strukturterm zählt immer, sodass sich ein Tausch, der die Reihe näher an die typische Form vergangener Ziehungen bringt, allein über die Struktur qualifizieren kann.

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Clara Moretti · Anomalienjägerin

Strategie: Anomalien in beide Richtungen. Quelle: das Anomaliesignal; Abstandsstruktur 0.4, nur bei einem signifikanten Tausch gezählt; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Beim Anomaliesignal kürzt sich der Mittelwert heraus: Nur die Differenz der absoluten Abweichungen zählt.

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Leila Haddad · Globale Beobachterin

Strategie: das Weltprofil. Quellen: Weltweit heiß 0.5 + Weltweit kombiniert 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; benötigt Daten der anderen Lotterien.

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Freya Olsen · Abdeckungsingenieurin

Strategie: Abdeckung des Spielscheins ohne Zahlenpräferenz. Keine Quellen; Abdeckungsgewicht 2; $E_{\min} = 0.20$ .

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Nora Blake · Hellseherin

Experimentell

Strategie: das Unterhaltungs-Astrosystem für das Ziehungsdatum. Quelle: Quanten-Astral; $E_{\min} = 0.05$ ; benötigt ein Datum der Zielziehung.

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Derek Cole · Meister der Ketten

Strategie: Übergänge ab der letzten Ziehung. Quelle: Markov-Ketten; Abstandsstruktur 0.4, immer gezählt; $E_{\min} = 0.12$ . Da sich die Markov-Gewichte zu eins summieren, gilt $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

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Marcus Reed · Alarmsignal

Strategie: das längste Ausbleiben. Quellen: Lückenanalyse 0.8 + Heiße Zahlen 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; kein Signifikanztest.

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Victor Moreau · Trommelphysiker

Strategie: Eine physikalische Verzerrung der Trommel würde sich in jedem Zeitraum wiederholen. Quelle: Wiederholbarkeit; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

Die Rauschuntergrenze verhindert, dass vier glückliche Fenster signifikant aussehen.

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Noah Bennett · Wachsamer Skeptiker

Strategie: reinen Zufall auf dem strengsten Niveau verwerfen. Quelle: Häufigkeitstest; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Geschlossene Form von Noahs Teststatistik.

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Elias Berg · Konträrer Zauberer

Experimentell

Strategie: gegen die Masse – seltenere Zahlen. Quellen: Quantenkollaps 0.85 + System der Paradoxien 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

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Leo Fischer · Dirigent des Konsenses

Strategie: die Stabilität des Modellkonsenses. Quelle: Konsens (drei unabhängige Durchläufe); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

Weitere Details

Reihenerzeugung durch die Jury

Wenn die Jury eine Reihe erzeugt, statt eine zu prüfen, zieht jeder Geschworene 40 Kandidatenreihen mit seinen eigenen Gewichten $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ und behält die beste nach

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

Der Stimmzettel eines Geschworenen. Die Reihe der Jury besteht aus den k Zahlen mit den meisten Stimmen; bei Gleichstand entscheidet die höhere normierte Unterstützung, dann die kleinere Zahl.

Die sechs Verteidiger

Die Verteidiger bewerten einen vorgeschlagenen Tausch $n_c \to n_p$ – die aktuelle und die vorgeschlagene Zahl, gezogen $x_c$ - bzw. $x_p$ -mal in $D$ Ziehungen – mit ihren eigenen Signalen. Positive Werte sprechen für den Vorschlag:

Signal	Definition
Häufigkeit	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
A-posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, Feld, Astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
Struktur	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
Stabilität	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ über sechs aufeinanderfolgende Zeiträume

Die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit wird exakt berechnet, ohne Normalapproximation:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Geschlossene Form für Beta-A-posteriori-Verteilungen mit ganzzahligem Parameter; die Betafunktion verwendet ein Lanczos-Log-Gamma.

Entscheidungsregel für die Ersetzung, mit $\bar z$ als gewichtetem Mittel der Signale des Verteidigers:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Position ψ eines Verteidigers: S Unterstützung, P Protest, O Einwand. χ = 1, wenn die Prüfungen des Verteidigers bestanden sind: für Unterstützung – Einstimmigkeit der Signale, Übereinstimmung eines zweiten Signals und das strukturelle Veto; für Protest – nur Einstimmigkeit und Übereinstimmung.

Thomas Keller · Bestellter Verteidiger

FREE

Signale: Häufigkeit + Bayes + Strukturfeld, alle müssen übereinstimmen; Unterstützung ab 1, Protest ab −1; benötigt 20 Ziehungen und arbeitet bei 5 bis 19 Ziehungen in einem eingeschränkten Modus mit Bayes + A-posteriori.

Weitere Details

Elena Rossi · Statistik-Anwältin

Signal: Häufigkeit, korrigiert für multiple Vergleiche; strukturelles Veto bei −1; Unterstützung und Protest ab 1.96; mindestens 30 Ziehungen.

Weitere Details

Amelia Grant · Gegen falsche Gewissheit

Signal: A-posteriori-Wahrscheinlichkeit der Überlegenheit; Unterstützung ab $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), Protest ab $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); mindestens 10 Ziehungen.

Weitere Details

$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Position
30	1	7	0.987	Unterstützung
30	4	3	0.354	Einwand
30	5	2	0.128	Protest
100	6	16	0.987	Unterstützung

Julien Morel · Strukturanwalt

Signal: Gesamtänderung der sechs strukturellen Log-Likelihoods; Unterstützung ab 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nats), Protest ab 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); mindestens 20 Ziehungen.

Weitere Details

Ingrid Falk · Zeitliche Stabilität

Signal: Siege minus Niederlagen der vorgeschlagenen Zahl über sechs aufeinanderfolgende Zeiträume; muss mit der Gesamthäufigkeit übereinstimmen; Schwelle 1.5, also mindestens $W - L \ge 4$ ; mindestens 30 Ziehungen.

Weitere Details

Adrian Vega · Unterhaltungsastrologie

Experimentell

Signal: die Quanten-Astral-Gewichte für das Datum der Zielziehung; Unterstützung und Protest ab 0.5.

Weitere Details

Der Oberste Richter

Der Richter entscheidet über eine strittige Zahl anhand des Strukturfelds $F$ , normiert auf sein Maximum: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Eine Zahl ist schwach, wenn sie in den untersten 35% des Felds liegt.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ ist eine Ordnungsstatistik der aufsteigend sortierten Feldwerte; die aktuelle Zahl ist schwach, wenn φ(n_c) < θ. Die Marge m gilt, wenn mehr als die Hälfte der Verteidiger mit einer Position protestiert.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Das Urteil V ist die Zahl, die der Richter an der Position belässt; es gilt die erste zutreffende Zeile. a* ist die Zahl mit dem höchsten Feldwert außerhalb der Reihe, die nicht der Vorschlag ist.

Analyse und Empfehlung des Obersten Richters

Für ganze Reihen gibt der Richter eine Reihenbewertung aus und schlägt vor, bis zu $\lfloor k/2 \rfloor$ der schwächsten Zahlen unter $\theta$ durch die stärksten Zahlen außerhalb der Reihe zu ersetzen. Sie wählen, welche Tausche angewendet werden. Gibt es keine Reihen, gibt der Richter Empfehlungen: Gleichverteilt zufällige Entwürfe werden auf dieselbe Weise verbessert und mit ihrer Herkunft zurückgegeben.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Reihenbewertung der Analyse des Obersten Richters.

Entscheidungen, Stapel und Historie

Entscheidungen: Vorschlag annehmen, Verteidigung annehmen, Richter annehmen, Original behalten, zurücksetzen. Zahlen ändern sich nur, wenn Sie einen Vorschlag annehmen, ein Urteil des Richters annehmen, das die Zahl ersetzt, oder zurücksetzen; jede Änderung ist eine Transformation im Herkunftsnachweis.
Sammelentscheidungen: höchstens eine Ersetzung pro Zahl. „Alle Mehrheitsersetzungen annehmen“ übernimmt nur Optionen, die von mehr als der Hälfte der ausgewählten Geschworenen gewählt wurden; „Alle Vorschläge anwenden“ nimmt für jede Zahl die Mehrheitsoption oder sonst die mit den meisten Stimmen und überspringt Gleichstände.
Stapel: Eine Prüfung von bis zu 50 Reihen durch dieselbe Besetzung von Personas zählt als ein Versuch; bereits analysierte Reihen werden übersprungen, und ein unterbrochener Stapel wird mit demselben Plan fortgesetzt.
Historie: Die Ereignistypen sind Jury-Prüfung, Modellprüfung, Vorschlag, Prüfung durch die Verteidigung, Prüfung durch den Richter, Entscheidung und Transformation; das Protokoll speichert bis zu 200 Ereignisse und verwirft nie eine Transformation oder die neuesten Prüfungen.

Das Gericht auf dem Prüfstand

Jede Aussage wird vor ihrer Ziehung in das Prognoseregister geschrieben und danach gegen den Zufall bewertet. Für Aussagen über $n_i$ Zahlen mit der Grundchance $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H ist die Anzahl der Treffer. Eine Quelle wird erst ab mindestens 30 Zahlen über mindestens 3 Ziehungen in die Rangliste aufgenommen.

4. Die 3D-Trommel: Physik-Engine

Die 3D-Ziehung ist eine Echtzeitsimulation starrer Körper: Die Kugeln sind Körper mit Masse, Trägheit, Reibung und Stoßzahl, angetrieben von der Schwerkraft, einem Rührrotor und einem Luftfeld, und gezogen wird die Kugel, die physikalisch durch den Auslass fällt. Es ist ein glaubwürdiges physikalisches Modell einer Trommel, keine Aufzeichnung einer echten Maschine.

SuperEnalotto-Trommel mit 90 Kugeln, die gemischt werden, während eine Kugel ausgewählt wird — 90 SuperEnalotto-Kugeln in der simulierten Kammer

Engine und Koordinaten

Die Physik läuft in Rapier 3D (Version 0.14, WebAssembly); das Rendering übernimmt Three.js (r169). Die Welt ist rechtshändig mit $+y$ nach oben und dem Ursprung im Mittelpunkt der Kammer; die Rotorachse ist die horizontale $x$ -Achse, und $+z$ zeigt zum Betrachter.

Kammer: eine Sphäre mit Radius $R = 3.0$ Einheiten, aufgebaut als Dreiecksnetz mit nach innen gerichteten Normalen und einem kreisförmigen Auslass unten (halber Öffnungswinkel $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Kugeln: kugelförmige Körper mit Radius $r = 0.2$ und Dichte 1; eine Kugel pro Zahl, von 5 bis 90 Kugeln.
Rotor: eine kinematische Welle mit sechs Armen, deren kapselförmige Paddel so bemessen sind, dass sie in ihrer Rotationsebene 0.14 Einheiten vor dem Glas enden, dazu ein kleinerer dreiarmiger Rotor, dessen Drehrichtung zwischen den Mischphasen wechselt.
Schieber: ein zylindrischer Stopfen im Auslass, der entfernt wird, wenn eine Kugel austreten darf.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Masse, Trägheitsmoment und Gewicht einer Kugel in Modelleinheiten.

Maßstab und Froude-Ähnlichkeit

Eine Modelleinheit entspricht 10 cm: Eine 40-mm-Kugel misst 0.4 Einheiten, und die Kammer ist eine Sphäre mit 600 mm Durchmesser. Die Schwerkraft ist auf $30$ Einheiten/s² statt der realen $98.1$ reduziert. Eine von Schwerkraft und Trägheit dominierte Bewegung sieht bei gleicher Froude-Zahl gleich aus, daher entspricht die Simulation einer Maschine in Originalgröße mit langsamer laufender Uhr:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Gestrichene Größen gehören zum Modell. Gleiche Froude-Zahl bei gleicher Länge: Geschwindigkeiten skalieren mit √γ, Zeiten mit 1/√γ.

Kräfte

Jede Kugel gehorcht dem zweiten Newtonschen Gesetz mit den Kräften, die der Code tatsächlich anwendet:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D Luftwiderstand, F_W analytische Wand, F_S Sog am Auslass, F_C Kontakte mit Kugeln, Rotor und Schieber (von Rapier berechnet); τ die zugehörigen Drehmomente. Rapier wendet zusätzlich eine kleine lineare und Winkeldämpfung an, und die Geschwindigkeiten sind als Sicherheitsnetz auf 22 Einheiten/s und 105 rad/s begrenzt.

Luftfeld und quadratischer Luftwiderstand

Das Gebläse wird als vorgegebenes Luftgeschwindigkeitsfeld $\mathbf u(\mathbf x, t)$ modelliert; jede Kugel erfährt einen quadratischen Luftwiderstand in Richtung der lokalen Luftgeschwindigkeit. Die Widerstandskonstante ist durch eine Endgeschwindigkeit von 48 Einheiten/s festgelegt:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

In ruhender Luft erreicht eine fallende Kugel v_t = √(g/k_d) = 48 Einheiten/s, etwa 8.7 m/s im realen Maßstab.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Zentraler Aufwind: am stärksten auf der Achse nahe dem Boden (102 bei y = −3, 68 im Zentrum, 34 oben); ρ_h ist der horizontale Abstand von der Achse.

Wirbel: eine horizontale Rotation von 11 Einheiten/s um die vertikale Achse.
Einwärtsströmung: jenseits von 60% des Radius bis zu $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ in Richtung Zentrum, damit die Kugeln weiter zirkulieren, statt am Glas zu kleben.
Turbulenz: glattes dreidimensionales Value Noise der Amplitude 58, das sich mit der Zeit verschiebt; es ist eine feste deterministische Funktion, kein Zufallszahlengenerator.
Böen gegen Stillstand: Eine Kugel, die zu lange am Boden, oben, an der Wand oder nahezu bewegungslos verharrt, erhält eine lokale Böe zur Luftgeschwindigkeit hinzu, die weiterhin über den Luftwiderstand wirkt.

Analytische Kugelwand

Zusätzlich zum Netz wird das Glas auf Geschwindigkeitsebene als exakte Kugel erzwungen; das verhindert Tunneling und sorgt für korrektes Rollen. Mit der nach außen gerichteten Normalen $\hat{\mathbf n}$ , der nach außen gerichteten Geschwindigkeit $v_n$ und der Eindringtiefe $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Spekulativer Kontaktspielraum v* und Stoßzahl e (e_b ist die Stoßzahl der Kugel; null unterhalb der Schlupfgeschwindigkeit, damit eine ruhende Kugel nicht vibriert).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Normalantwort, nur angewendet, wenn v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Coulomb-Reibung am Kontaktpunkt; s ist die tangentiale Schlupfgeschwindigkeit v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35) mit μ_b als Reibung der Kugel.

Kontakte zwischen Körpern

Die Kontakte Kugel–Kugel, Kugel–Rotor und Kugel–Schieber löst der Constraint-Solver von Rapier mit kontinuierlicher Kollisionserkennung an den Kugeln. Die Koeffizienten werden durch Mittelung kombiniert:

Paar	Reibung	Stoßzahl
Kugel – Kugel	0.16	0.55
Kugel – Glas	0.255	0.415
Kugel – Paddel	0.19	0.525
Kugel – Arm oder Welle	0.17	0.35
Kugel – Schieber	0.23	0.375

Die Dämpfung ist während der Ziehung gering (linear 0.05, Winkel 0.035) und stark, während sich die Kugeln setzen (2.4). Es gibt keinen Parameter für Rollwiderstand: Das Rollen verlangsamt sich nur durch Dämpfung und Kontaktreibung.

Zeitschritte und Integration

Die Simulation schreitet in festen Schritten voran, unabhängig von der Bildwiederholrate des Bildschirms; jeder Frame führt so viele feste Schritte aus, wie die Echtzeit erfordert, höchstens fünf:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Akkumulator mit festem Zeitschritt: Ein Frame der Dauer Δt_f führt n feste Schritte aus (höchstens 5); jeder Schritt wird in 2 Rapier-Teilschritte von h = 1/120 s mit 6 Solver-Iterationen unterteilt.

Innerhalb eines Teilschritts aktualisiert die Engine zuerst die Geschwindigkeiten aus den Kräften und dann die Positionen aus den neuen Geschwindigkeiten – das semi-implizite (symplektische) Euler-Verfahren impulsbasierter Engines, hier als allgemeines Prinzip dargestellt:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Allgemeine Form: F sind die angewandten Kräfte, F_c die Zwangskräfte (Kontaktkräfte), die der iterative Solver von Rapier ermittelt.

Die eigenen Kräfte der Anwendung (Luft, Wand, Sog) werden einmal pro Schritt aus dem Zustand zu dessen Beginn berechnet und über beide Teilschritte konstant gehalten. Der Rotor ist kinematisch und erhält in jedem Teilschritt einen neuen Sollwert:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Exponentielle Annäherung der Rotordrehzahl an ihren Sollwert; die Mischung durchläuft 2.4, 2.9, 2.1 und 2.7 rad/s.

Wie eine Kugel ausgewählt wird

Nach 1 s Anlauf und 2.6 s Mischen öffnet sich der Schieber. Solange der Auslass offen ist, bricht der Aufwind darüber sanft zusammen, der zentrale Strahl wird auf 62% reduziert, und ein Sog von etwa 2.2 Kugelgewichten (etwa 4 nach 5 s) zieht Kugeln in der Nähe des Auslasses an:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Sog nahe dem Auslass (y < −1.6 und horizontaler Abstand < 0.6); t_c ist die Zeit seit dem Öffnen des Schiebers.

Gezogen ist die erste Kugel, deren Mittelpunkt unter $y = -3.18$ fällt; tun dies mehrere im selben Schritt, die tiefste. In diesem Moment wird keine Zufallszahl abgefragt. Die Zufallszahlen einer Ziehung sind die Anfangsplatzierung der Kugeln sowie eine kleine Anfangsgeschwindigkeit und Rotation, entnommen aus der Web Crypto API (erneut, wenn ein separater Bonuspool geladen wird). Danach läuft die Kugel auf der Austrittsbahn zum Ablagegestell; diese Bewegung ist geskriptet, nicht simuliert.

Rendering, Simulation und Zufall

Simulation: feste Schritte von 1/60 s; die Qualitätsstufen (ultra, hoch, mittel, niedrig) ändern nur Schatten, Bloom, Auflösung und Netzdetail, nie die Physik.
Rendering: Jeder Frame zeigt den zuletzt abgeschlossenen Schritt; zwischen den Schritten wird nicht interpoliert.
Zufall: Die Kräfte sind deterministisch; das Ergebnis hängt von der Anfangsplatzierung ab und ab der zweiten Kugel auch davon, wie lange die Präsentation der vorherigen Kugel auf dem Gerät dauert, sodass sich eine Ziehung nicht exakt wiederholen lässt.

5. Statistik echter Ziehungen

Die Analysebildschirme beschreiben historische Ziehungen. Sie beantworten „was ist passiert“ und „ist das mit einer fairen Lotterie vereinbar“, nie „was wird passieren“.

Häufigkeiten, heiß und kalt

Für jede Zahl zählt die App die Vorkommen im Fenster und zeigt sie neben der erwarteten Häufigkeit einer fairen Lotterie; die Standardabweichung ist hier zur Orientierung angegeben:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Erwartete Häufigkeit (in der App angezeigt) und ihre Standardabweichung (zur Orientierung) für eine Zahl über D unabhängige Ziehungen.

Heiß und kalt: die fünf häufigsten und seltensten Zahlen, jeweils mit ihrer erwarteten Häufigkeit (mindestens 5 Ziehungen erforderlich).
Häufigkeitsbalken: rot, wenn der Anteil einer Zahl das 1.3-Fache des erwarteten Anteils übersteigt, blau unter dem 0.7-Fachen.
Heatmap: Farbe nach Min-Max-Normierung $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Eurojackpot-Heatmap der 50 Hauptzahlen, eingefärbt von Blau bis Rot — Heatmap: Die Farbe zeigt nur die vergangene Häufigkeit

Fairnesstest: χ² mit Korrektur

Der χ²-Test prüft, ob die Häufigkeiten mit gleichen Wahrscheinlichkeiten vereinbar sind. In einer Ziehung werden die $k$ Zahlen ohne Zurücklegen gezogen, wodurch die Häufigkeiten negativ korreliert sind; die einfache Multinomialstatistik ist dann zu klein, und die App korrigiert sie:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Pearson-Statistik mit der Korrektur für Ziehen ohne Zurücklegen; mindestens 10 Ziehungen erforderlich.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Regularisierte obere unvollständige Gammafunktion, berechnet über Reihe und Kettenbruch.

p-Wert	Ergebnis
$p > 0.05$	keine signifikante Abweichung
$0.01 < p \le 0.05$	grenzwertige Abweichung
$p \le 0.01$	statistisch signifikante Abweichung

Fairnessprüfung mit korrigiertem χ², Freiheitsgraden, p-Wert und positionsbezogenem Q-Test — χ²-Fairnesstest und Positionsprüfung

Positionsbezogener Q-Test

Ab 30 vollständigen Ziehungen testet die App außerdem den Mittelwert jeder sortierten Position (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). Die $i$ -kleinste von $k$ aus $1..N$ gezogenen Zahlen hat Erwartungswert und Kovarianz

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ ist der Vektor der Differenzen zwischen den beobachteten Positionsmitteln und μ über m Ziehungen.

Paare, Vergleiche und Prüfungen

Paare: eine 12 × 12-Matrix, wie oft die 12 häufigsten Zahlen gemeinsam vorkamen (mindestens 10 Ziehungen). Das sind Rohzählungen; zur Orientierung: Die erwartete Häufigkeit eines bestimmten Paares bei fairen Ziehungen beträgt $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Vergleich der Lotterien: Jackpot-Chancen, Preis, die Kosten für den Kauf aller Kombinationen.
Mathematische Prüfung: Die App berechnet $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ neu und vergleicht das Ergebnis mit der gespeicherten Konstante; außerdem prüft sie die Ziehungen des Analysefensters auf Bereichsfehler, falsche Kugelanzahlen und doppelte Daten.
Gewinnklassen: offizielle Quotentabellen pro Ziehung. Das Ziehungsbild mittelt die letzten 60 echten Quotentabellen; nur für eine Lotterie ganz ohne Quotendaten schätzt es die Gewinner aus den Wahrscheinlichkeiten der Gewinnklassen in Abschnitt 8 und einem angenommenen Spieleinsatzvolumen, daher sind diese Zahlen nur illustrativ.

Ein ganzes Spielerleben simulieren

Die 50-Jahre-Simulation verwendet die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Jackpot bei $T$ unabhängigen Tipps:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Jackpot bei T Tipps; C ist die Anzahl der Jackpot-Kombinationen, d die Ziehungen pro Woche, r die Reihen pro Ziehung.

6. Kalenderanalyse

Die Kalenderanalyse sucht nach Übereinstimmungen zwischen Ziehungsdaten und gezogenen Zahlen – zum Beispiel, ob der Tag des Monats unter den Kugeln vorkommt – und vergleicht jede beobachtete Rate mit der Rate, die reiner Zufall ergeben würde.

Ziehungen auswählen

Ziehungen lassen sich nach Jahr, Monat, demselben Monat über alle Jahre oder einem Datumsbereich filtern sowie nach Regelära. Häufigkeitslisten (heiß, kalt, am längsten ausgeblieben) verwenden Rohzählungen in der Auswahl; eine Zahl, die in jeder gewählten Ära unmöglich ist, wird weggelassen, und eine Auswahl, die Ären mischt, wird mit einer Warnung markiert, weil eine nur in der neueren Ära gültige Zahl fälschlich „kalt“ aussieht. Die folgenden Datumsregeln berücksichtigen die Ära: Eine Ziehung zählt für eine Regel nur, wenn mindestens ein Kandidat nach den eigenen Regeln dieser Ziehung eine gültige Zahl ist.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Beobachtete Rate einer Datumsregel: C_t sind die Kandidatenzahlen der Ziehung t, X_t ihre gezogenen Zahlen, Ω_t die nach ihren Regeln gültigen Zahlen; ℰ sind die berücksichtigten Ziehungen.

Zehn Datumsregeln

Regel	Kandidatenzahlen für eine Ziehung am TT.MM.JJJJ
Tag	TT
Monat	MM
Jahr	JJJJ mod 100
Stunde	die Stunde der Ziehung, sofern der Veranstalter sie veröffentlicht
Jahresziffern	die verschiedenen Ziffern von JJJJ
Quersumme des Jahres	Summe der Ziffern von JJJJ
Quersumme des zweistelligen Jahres	Summe der Ziffern von JJJJ mod 100
Quersumme des Tages	Summe der Ziffern von TT
Quersumme des Datums	Summe aller Ziffern von TT, MM und JJJJ
einstellige Quersumme	die Quersumme des Datums, auf eine Ziffer reduziert

Ein Kandidat gleich 0 wird ignoriert, und eine Ziehung zählt für eine Regel nur einmal, auch wenn mehrere ihrer Zahlen übereinstimmen.

Zufallserwartung

Für eine Ziehung von $k$ Zahlen aus $S$ möglichen Werten und eine Menge von $m$ Kandidatenzahlen ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Kandidat gezogen wird, hypergeometrisch:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: kein Kandidat wird gezogen; P≥1: mindestens einer. Kandidaten außerhalb des Bereichs der Ära der Ziehung werden verworfen.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Erwartete Trefferrate r̂ über die berücksichtigten Ziehungen ℰ, jede mit ihrer eigenen Ära; P^M und P^B für Haupt- und Bonuspool werden als unabhängig kombiniert.

Kalendertreffer mit beobachteten Raten neben der Zufallserwartung — Kalendertreffer im Vergleich mit dem Zufall

Die Raten deuten

Paare werden ab 30 Ziehungen aufgeführt, Tripel ab 120 (nur Kombinationen, die mindestens zweimal vorkamen, die zehn häufigsten); unter 100 Ziehungen erscheint eine Warnung wegen kleiner Stichprobe. Bei 100 Ziehungen hat eine Rate nahe 20% immer noch ein 95%-Band von etwa $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ Prozentpunkten.

7. Historisches Archiv und Regelären

Lotterien ändern ihre Regeln. Eine Ziehung ist nur zusammen mit den an ihrem Datum geltenden Regeln aussagekräftig, daher trägt jede gespeicherte Ziehung ihre Regelversion.

Regelären

Lotterie	Ären (Haupt- · Bonuszahlen)
Lotto (Norwegen)	7/34 + 3 Zusatzzahlen → 7/34 + 1 Zusatzzahl (ab 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + Zusatzzahl und Glückszahl → Vikingzahl 1–8 (2017) → 1–5 (ab 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (ab 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (ab 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (ab 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (ab 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly seit 1997; SuperStar ist eine separate Trommel und von den Modellen ausgeschlossen
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (ab 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (ab 19.04.2018)

Kompatibilitätsregel

Modelle und Analysen verwenden nur Ziehungen, die mit den heutigen Regeln vergleichbar sind. Zwei Ären werden Gruppe für Gruppe verglichen:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

Die Ära e ist für die Hauptzahlen vergleichbar, wenn Anzahl und Bereich übereinstimmen (links), und für die Bonuszahlen, wenn jede Bonusgruppe 𝓑 übereinstimmt (rechts). Eine Ziehung mit vergleichbaren Hauptzahlen, aber anderen Bonusregeln behält ihre Hauptzahlen und verliert ihre Bonuszahlen.

Eurojackpot-Historie mit der Karte der Ära nach aktuellen Regeln und Ziehungen, die mit ihrer Regelversion markiert sind — Das Archiv markiert jede Ziehung mit ihrer Regelära

8. Wahrscheinlichkeit und Grenzen

Jede offizielle Ziehung ist ein unabhängiges Zufallsexperiment. Keine Historie, kein Modell, kein Gericht und keine Simulation ändert die Wahrscheinlichkeit irgendeiner Kombination.

Jackpot-Wahrscheinlichkeit

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Jackpot-Wahrscheinlichkeit einer Reihe nach aktuellen Regeln (rechts: Eurojackpot); Lotterien ohne Bonuszahl für den Spieler verwenden nur den ersten Faktor.

Lotterie	Regeln	Jackpot-Chance
Lotto (Norwegen)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Alle Gewinnklassen

Genau $i$ der $k$ Hauptzahlen und $j$ der $b$ Bonuszahlen zu treffen, ist ein Produkt zweier hypergeometrischer Wahrscheinlichkeiten:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Für eine Zusatzzahl aus derselben Trommel (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) ist der zweite Faktor (k−i)/(N−k) für „+1“.

Gewinnklasse Eurojackpot	Chance
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Warum keine Methode den Zufall schlagen kann

Sind die Ziehungen unabhängig und jede Kombination gleich wahrscheinlich, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit der nächsten Ziehung bei beliebiger Historie dieselbe wie ohne sie, und die erwartete Anzahl getroffener Hauptzahlen ist für jede Reihe gleich, egal wie sie entstanden ist:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H ist die Anzahl der getroffenen Hauptzahlen einer Reihe. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 pro Reihe für jede Methode.

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