Matematica e tecnologia

La vera matematica, la statistica, gli algoritmi e la fisica dietro Lotto Simulator — presi dal codice che gira nell’app.

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Come leggere questa pagina

Ogni formula qui sotto è copiata dall’implementazione, non da una brochure. Dove un componente è una regola deterministica o un’euristica anziché una formula, descriviamo l’algoritmo esattamente come viene eseguito, senza inventare matematica che non c’è.

Lotto Simulator è un ambiente di analisi, apprendimento e simulazione. Genera combinazioni con sedici metodi, le sottopone a un Tribunale matematico composto da dodici giurati, sei avvocati della difesa e un Giudice supremo, verifica l’equità degli storici delle estrazioni reali, analizza le coincidenze di calendario e riproduce un’urna fisica in 3D. Nulla di tutto ciò modifica la probabilità di un numero in un’estrazione ufficiale — la sezione 8 spiega perché, numeri alla mano.

Notazione usata in tutta la pagina

dove

$N$: dimensione dell’insieme dei numeri principali (per esempio 50 nell’Eurojackpot)
$k$: quanti numeri principali vengono estratti e giocati (5 nell’Eurojackpot)
$B,\; b$: dimensione dell’insieme separato dei numeri bonus e quanti numeri bonus si giocano (12 e 2 nell’Eurojackpot)
$D$: numero di estrazioni passate nella finestra di analisi selezionata
$c_n$: quante volte il numero $n$ è uscito tra i numeri principali di quelle $D$ estrazioni
$t = 0, 1, \dots$: indice dell’estrazione, dalla più recente: $t = 0$ è l’ultima estrazione
$\binom{n}{r}$: coefficiente binomiale, il numero di modi di scegliere $r$ elementi tra $n$

1. Architettura del sistema

Una sola applicazione, un solo codice sorgente: la stessa web app funziona nei browser desktop e mobile e, senza modifiche, dentro le app iOS e Android (WebView Capacitor). I calcoli pesanti e a pagamento girano sul server; tutto ciò che l’utente vede viene renderizzato sul dispositivo.

Dispositivo (web, iOS, Android)Interfaccia, schedina e set di lavoro, i quattro metodi FREE del generatore, grafici delle frequenze, test χ², calcoli di calendario, urna 3D. Casuale puro e l’urna 3D attingono la casualità dalla Web Crypto API.
Funzioni edge (TypeScript, Deno)I dodici metodi PRO del generatore, tutti i diciannove modelli del Tribunale, i dodici giurati, i sei avvocati, il Giudice supremo, le matrici della ruota, il registro delle previsioni. Il Tribunale lavora su flussi casuali riproducibili, inizializzati da un seme.
Database (PostgreSQL)Risultati ufficiali delle estrazioni con la relativa versione delle regole, tabelle dei premi, account e diritti di accesso, il registro delle previsioni a sola aggiunta e la sua valutazione.
Pipeline dei datiJob pianificati raccolgono i risultati ufficiali, convalidano ogni estrazione secondo le regole della sua epoca e pubblicano il set di dati con le regole attuali.

Chi calcola cosa

Nel browser: i metodi FREE (Numeri caldi, Combinato, Copertura del segmento, Casuale puro) e tutte le statistiche descrittive. La build pubblica rimuove fisicamente dal client le implementazioni PRO: le loro funzioni sono sostituite da stub, quindi un risultato PRO può arrivare solo dal server.
Sul server: ogni metodo PRO, l’intero Tribunale matematico e il Giudice supremo. Una richiesta contiene la lotteria, il metodo, il numero di righe (1–50) e la finestra di analisi; il server carica da sé le estrazioni, così il client non può fornirgli uno storico inventato.
Rifiuto anziché invenzione: un modello sul server richiede almeno 5 estrazioni nella finestra di analisi selezionata. Con meno estrazioni rifiuta con una risposta esplicita «storico insufficiente» invece di produrre righe dal nulla.

Calcolo riproducibile del Tribunale

Ogni giurato, avvocato e modello del Tribunale lavora sul proprio flusso pseudocasuale, il cui seme è un hash della versione dell’algoritmo, del personaggio, della lotteria, dello storico completo delle estrazioni e della data dell’estrazione di riferimento. Gli stessi dati producono quindi sempre lo stesso verdetto, e qualsiasi modifica dello storico cambia tutti i flussi.

h_1 = \operatorname{FNV1a}(H;\ h_0), \quad h_2 = \operatorname{FNV1a}(g \,\|\, d;\ h_1), \quad s = \operatorname{FNV1a}(v \,\|\, \kappa;\ h_2), \qquad u_i = \operatorname{mulberry32}(s)_i \in [0,1)

Seme di un calcolo del Tribunale e flusso di numeri uniformi che ne deriva.

dove

$v$: versione dell’algoritmo del motore del Tribunale
$\kappa$: chiave del personaggio o del modello, per esempio l’identificativo di un giurato
$H$: tutte le estrazioni della finestra, numeri principali e bonus in ordine
$g,\; d$: identificativo della lotteria e data dell’estrazione di riferimento
$h_0$: la base di offset (offset basis) di FNV-1a; $\operatorname{FNV1a}(x;\,h)$ calcola l’hash del testo $x$ partendo dallo stato $h$
$u_i$: l’ $i$ -esimo numero casuale uniforme del flusso

Persistenza e provenienza

Ogni combinazione porta con sé un record di provenienza: la sua origine (metodo del generatore, giurato, consenso della giuria, ruota, estrazione 3D, Giudice supremo, inserimento manuale), i numeri di partenza e un registro di eventi a sola aggiunta con esami, proposte, posizioni degli avvocati, verdetti, decisioni e trasformazioni (al massimo 200 eventi). Un record viene accettato solo se, riapplicando le sue trasformazioni ai numeri iniziali, si ottiene esattamente la riga; altrimenti la riga viene mostrata come di origine non disponibile.

R_m = \bigl(\tau_m \circ \cdots \circ \tau_2 \circ \tau_1\bigr)(R_0)

Verifica della provenienza: la riga attuale R_m deve coincidere con la riga iniziale R_0 a cui si applicano, in ordine, tutte le sostituzioni registrate τ₁ … τₘ.

Discendenza: quando una riga viene modificata a mano, si crea un nuovo record che ha come genitore il precedente (si conservano fino a quattro record precedenti), così la storia anteriore alla modifica manuale resta visibile.
Registro delle previsioni: ogni raccomandazione (una riga generata, la sostituzione di un giurato, la posizione di un avvocato, un verdetto) viene scritta in un registro prima dell’estrazione di riferimento e valutata automaticamente dopo il risultato ufficiale.

2. Generatore principale: sedici metodi

Il generatore offre sedici opzioni. Quattro metodi FREE girano nel browser; dodici metodi PRO girano sul server. Tutti scelgono $k$ numeri distinti da $1..N$ più i numeri bonus della lotteria; differiscono solo nel modo in cui i numeri vengono pesati o costruiti.

Il Generatore di serie con la quantità, il metodo di analisi e i tre filtri predefiniti — Il pannello del generatore: selettore del metodo e filtri predefiniti

Elementi comuni

I metodi pesati assegnano un peso $w_n \ge 0$ a ogni numero e poi estraggono in sequenza senza reinserimento: ogni scelta rimuove il numero e rinormalizza i pesi rimanenti.

P\bigl(x_j = n \mid x_1,\dots,x_{j-1}\bigr) = \frac{w_n}{\displaystyle\sum_{m \notin \{x_1,\dots,x_{j-1}\}} w_m}

Campionamento pesato sequenziale senza reinserimento, usato da tutti i metodi basati su pesi.

dove

$x_j$: il $j$ -esimo numero scelto per la riga, $j = 1,\dots,k$
$w_n$: il peso del numero $n$ secondo il metodo

Casualità: nel browser, Casuale puro e il passaggio di unicità usano la Web Crypto API, mentre Numeri caldi, Combinato e Copertura del segmento usano il generatore standard del browser (Math.random). Sul server i metodi attingono a casualità crittografica, tranne il Modello fisico (generatore standard) e il seme di Caos, che mescola casualità crittografica e un timer ad alta risoluzione. Nel browser un intero non distorto in $0..M-1$ si ottiene con il campionamento per rifiuto, così nessun resto è favorito:

r = x \bmod M, \qquad x \sim \mathcal{U}\{0,\dots,2^{32}-1\} \ \bigm|\ x < 2^{32} - \bigl(2^{32} \bmod M\bigr)

Campionamento per rifiuto: un valore crittografico x a 32 bit viene estratto di nuovo finché non scende sotto il più grande multiplo di M, poi viene ridotto modulo M.

Numeri bonus

I numeri bonus (Eurojackpot 2 su 12, EuroMillions 2 su 12, Powerball 1 su 26, Mega Ball 1 su 24, numero Viking 1 su 5, Powerball AU 1 su 20) vengono estratti dal loro insieme, indipendentemente dai numeri principali. Lotto, SuperEnalotto e Lotto Max non hanno un numero bonus per il giocatore: la loro pallina aggiuntiva viene estratta dall’operatore dall’urna principale.

w'_j = \begin{cases} c'_j + 0.05 & \mu = \mathtt{freq} \\ 1 & \mu \in \{\mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \\ c'_j + 2 & \mu \notin \{\mathtt{freq}, \mathtt{rnd}, \mathtt{phys}, \mathtt{chaos}, \mathtt{world}\} \end{cases}

Peso w′ⱼ del numero bonus j con conteggio bonus c′ⱼ per il metodo μ: freq = Numeri caldi; rnd, phys, chaos, world = Casuale puro, Modello fisico, Caos, metodi mondiali; tutti gli altri metodi usano c′ⱼ + 2. Con meno di 5 estrazioni ogni metodo usa pesi uniformi.

Filtri FREE e unicità

Le righe prodotte nel browser passano tre filtri attivi per impostazione predefinita: non tutti i numeri pari o tutti dispari; la somma entro un intervallo; nessuna sequenza di più di tre numeri consecutivi. Una riga scartata viene sostituita da una riga casuale uniforme che supera i filtri (i suoi numeri bonus vengono estratti con i pesi bayesiani $c'_j + 2$ ).

\bar S = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \Delta = \max\!\bigl(18,\ \operatorname{round}(0.22\,Nk)\bigr), \qquad S \in \bigl[\max(k, \operatorname{round}(\bar S - \Delta)),\ \min(kN, \operatorname{round}(\bar S + \Delta))\bigr]

Intervallo di somma predefinito. Eurojackpot: S̄ = 127.5, Δ = 55, intervallo 73–183.

Per evitare di consegnare due volte la stessa combinazione sullo stesso dispositivo, ogni riga FREE è identificata dal rango lessicografico dei suoi numeri principali tra tutte le $\binom{N}{k}$ combinazioni e confrontata con le ultime 20 000 righe emesse per quella lotteria; un rango ripetuto viene alterato con scambi casuali e, come ultima risorsa, si prende il successivo rango inutilizzato da una permutazione affine casuale di tutti i ranghi. Una riga modificata in questo modo non viene ricontrollata dai filtri.

\operatorname{rank}(x_1 < \dots < x_k) = \sum_{i=1}^{k} \ \sum_{v = x_{i-1}+1}^{x_i - 1} \binom{N - v}{k - i}, \quad x_0 = 0; \qquad \rho_j = (a\,j + b) \bmod \binom{N}{k},\ \gcd\!\bigl(a, \tbinom{N}{k}\bigr) = 1

Rango lessicografico di una combinazione e percorso affine a periodo completo su tutti i ranghi.

Percorsi di esecuzione FREE e PRO

Percorso	Metodi	Dove gira	Righe per esecuzione	Storico
FREE	Numeri caldi, Combinato, Copertura del segmento, Casuale puro	browser	fino a 5 (fino a 50 per gli utenti PRO)	la finestra FREE delle estrazioni recenti
PRO	gli altri dodici metodi	server	fino a 50	la finestra di analisi selezionata, almeno 5 estrazioni

Numeri caldi

FREENel browser

Scopo: favorire i numeri usciti più spesso nella finestra di analisi.

w_n = c_n + 0.05

Peso del numero n; con meno di 5 estrazioni tutti i pesi valgono 1.

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Combinato

FREENel browser

Scopo: mescolare numeri caldi, medi e freddi in una proporzione fissa.

I numeri vengono ordinati per $c_n$ (a parità vince il numero più piccolo) e divisi in terzi di dimensione $\lceil N/3 \rceil$ : caldi, medi, freddi. La riga $i$ prende scelte uniformi da ciascun terzo:

h = \max\!\bigl(1, \operatorname{round}(0.4k)\bigr), \qquad a = \Bigl\lfloor \frac{k-h}{2} \Bigr\rfloor, \qquad (m_i, c_i) = \begin{cases} (a,\ k-h-a) & i \equiv 1 \pmod 2 \\ (k-h-a,\ a) & i \equiv 0 \pmod 2 \end{cases}

La riga i prende h numeri caldi, mᵢ medi e cᵢ freddi; le righe dispari e pari si scambiano le quote dei medi e dei freddi.

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Copertura del segmento

FREENel browser

Scopo: distribuire una riga in modo uniforme su tutto l’intervallo dei numeri.

s = \Bigl\lfloor \frac{N}{k} \Bigr\rfloor, \qquad x_p \sim \mathcal{U}\{\,p\,s + 1, \dots, (p+1)\,s\,\}\ \ (p < k-1), \qquad x_{k-1} \sim \mathcal{U}\{(k-1)\,s + 1, \dots, N\}

Un numero uniforme da ciascuno dei k segmenti consecutivi; l’ultimo segmento prende il resto.

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Casuale puro

FREENel browser

Scopo: il riferimento onesto — ogni numero ugualmente probabile.

P(x_1,\dots,x_k) = \binom{N}{k}^{-1}

Un rimescolamento di Fisher–Yates crittografico dà a ogni combinazione la stessa probabilità prima del filtraggio.

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Matrice della ruota

PROServer

Scopo: costruire più righe che insieme coprano il maggior numero possibile di coppie di un piccolo insieme di numeri — un disegno di copertura greedy.

L’insieme ha $\min(N, k+5)$ numeri presi alternativamente dai terzi caldo, freddo e medio. Tutte le $\binom{|P|}{k}$ combinazioni dell’insieme sono candidate (oltre 40 000 si usa un campione casuale); a ogni passo si aggiunge la candidata con il punteggio migliore e se ne segnano le coppie come coperte:

\operatorname{score}(R) = 100\,\Bigl|\tbinom{R}{2} \setminus \mathcal C\Bigr| \;-\; 6 \sum_{n \in R} u_n \;-\; 2\,\bigl[\max R - \min R < \lfloor \max P / 3 \rfloor\bigr]

Punteggio greedy di copertura delle coppie; le parità vengono risolte in modo uniformemente casuale.

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dove

$\tbinom{R}{2},\ \mathcal C$: le coppie della riga candidata $R$ e le coppie già coperte dalle righe scelte
$u_n$: quante righe già scelte contengono il numero $n$
$[\,\cdot\,]$: vale 1 se la condizione è vera, altrimenti 0

Caldo mondiale e Combinata mondiale

PROServer

Scopo: trasferire sulla lotteria attuale il profilo di frequenza di tutte e nove le lotterie supportate.

Ogni numero estratto $x$ di ogni lotteria $g$ viene ricondotto alla sua posizione relativa $q = (x-1)/(N_g - 1)$ e distribuito con un nucleo gaussiano stretto sui numeri della lotteria attuale; ogni lotteria riceve lo stesso peso per estrazione, e la frequenza propria della lotteria attuale viene aggiunta ancora una volta in più:

S(n) = 10^{-4} + \sum_{g} \frac{1}{D_g} \sum_{x \in X_g} \exp\!\Bigl(-\frac{(q_n - q_x)^2}{2\sigma^2}\Bigr) + 1.8\,\frac{c_n}{D}, \qquad q_n = \frac{n-1}{N-1},\ \ \sigma = 0.035

Punteggio mondiale del numero n; X_g sono tutti i numeri principali estratti nella lotteria g (fino a 400 estrazioni recenti con le regole attuali, D_g estrazioni).

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Caldo mondiale: $k$ scelte uniformi tra i $\max(3k, 12)$ numeri con il punteggio più alto.
Combinata mondiale: $\lceil 0.45k \rceil$ dal terzo superiore, $\max(1, \lfloor 0.2k \rfloor)$ dal terzo inferiore, il resto da quello centrale. I numeri bonus sono uniformi.

Catene di Markov

PROServer

Scopo: pesare i numeri in base a quanto spesso hanno seguito i numeri dell’estrazione precedente.

w_n = \frac{1}{|L|} \sum_{a \in L} \frac{T(a \to n) + 1}{T(a) + N}, \qquad T(a) = \sum_{b} T(a \to b)

Probabilità di transizione del primo ordine con lisciamento di Laplace, mediata sull’ultima estrazione L.

Dettagli avanzati

dove

$T(a \to b)$: quante volte il numero $b$ è uscito nell’estrazione immediatamente successiva a un’estrazione contenente $a$
$L$: i numeri principali dell’ultima estrazione

Gauss · teorema del limite centrale

PROServer

Scopo: costruire righe con una somma tipica. La somma di $k$ numeri estratti senza reinserimento ha

\mu = \frac{k(N+1)}{2}, \qquad \sigma^2 = \frac{k(N+1)(N-k)}{12}

Media e varianza della somma di una riga nel campionamento senza reinserimento (sostituite dai valori empirici quando esistono almeno 5 somme).

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Ogni numero viene pesato con una gaussiana centrata sul valore medio per posizione, e si estraggono fino a 40 righe candidate; vince quella con la somma più vicina a $\mu$ (la ricerca si ferma in anticipo entro $0.5\sigma$ ):

w_n = \exp\!\Bigl(-\frac{(n - \mu/k)^2}{2 s^2}\Bigr) + 0.02, \qquad s = \max\!\Bigl(3,\ 1.6\,\frac{\sigma}{\sqrt{k}}\Bigr)

Peso per numero del metodo di Gauss.

Modello a intervalli Δ

PROServer

Scopo: imitare la distanza tra numeri vicini nelle estrazioni reali.

Dalle ultime 120 estrazioni raccoglie il numero più piccolo di ogni estrazione e tutte le differenze tra numeri vicini ordinati. Una riga si costruisce come un inizio casuale più differenze casuali; una riga che supera $N$ viene scartata (fino a 300 tentativi, poi una riga uniforme):

x_1 \sim \{\min Y_t\}, \qquad x_{j+1} = x_j + \Delta_j,\ \ \Delta_j \sim \{\,y_{t,i+1} - y_{t,i}\,\}

Bootstrap empirico dei primi numeri e degli intervalli; Y_t = (y_{t,1} < … < y_{t,k}) è l’estrazione t ordinata.

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Bayes · Dirichlet

PROServer

Scopo: la frequenza con una contrazione (shrinkage) verso l’uniforme.

\hat p_n = \frac{c_n + \alpha}{kD + \alpha N}, \qquad \alpha = 3

Media a posteriori di una distribuzione a priori di Dirichlet(α) simmetrica aggiornata con i conteggi osservati; il metodo campiona con pesi c_n + 3.

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Analisi degli scostamenti

PROServer

Scopo: favorire i numeri che non escono da molto tempo.

w_n = \Bigl(\frac{\operatorname{gap}_n}{\bar g}\Bigr)^{1.6} + 0.15, \qquad \bar g = \max\!\Bigl(1, \frac{N}{k}\Bigr)

gap_n è l’indice dell’estrazione più recente che contiene n (0 = l’ultima estrazione); un numero mai uscito riceve D + ḡ.

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Modello fisico della macchina della lotteria

PROServer

Scopo: lasciare che una simulazione 2D semplificata decida l’ordine di uscita.

$N$ dischi di raggio $r = \operatorname{clamp}(0.12/\sqrt N,\ 0.006,\ 0.018)$ si muovono in un quadrato unitario con raffiche d’aria casuali, una deriva costante verso l’uscita, smorzamento e urti elastici tra masse uguali; viene estratto il disco che esce dall’apertura al centro della parete inferiore.

v_x \leftarrow 0.992\,(v_x + \xi_x), \quad v_y \leftarrow 0.992\,(v_y + 0.0015 + \xi_y), \qquad \xi_x \sim \mathcal U(\pm 0.003),\ \xi_y \sim \mathcal U(\pm 0.004)

Un passo del modello 2D (y punta verso il basso, verso l’uscita; al massimo 2400 passi). Un disco esce quando 0.43 < x < 0.57 sulla parete inferiore; se escono meno di k dischi, la riga viene completata in modo uniforme.

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\mathbf v_i' = \mathbf v_i - \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}, \qquad \mathbf v_j' = \mathbf v_j + \bigl((\mathbf v_i - \mathbf v_j)\cdot\hat{\mathbf n}\bigr)\,\hat{\mathbf n}

Urto elastico tra masse uguali: le componenti normali delle velocità si scambiano.

Caos · mappa logistica

PROServer

Scopo: mostrare che un sistema del tutto deterministico può essere imprevedibile.

x_{t+1} = r\,x_t\,(1 - x_t), \quad r = 3.99, \qquad n_t = 1 + \lfloor x_t N \rfloor

Dopo 100 iterazioni di riscaldamento da un seme casuale, si raccolgono valori finché non si trovano k numeri distinti.

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Collasso quantistico

PROServerSperimentale

Scopo: un peso controcorrente che favorisce i numeri estratti raramente.

w_n = \exp\!\Bigl(-1.15\,\frac{c_n}{\bar c}\Bigr) + 0.02, \qquad \bar c = \max\!\Bigl(1, \frac{1}{N}\sum_m c_m\Bigr)

Peso a «barriera di frequenza»; i numeri casuali provengono da un buffer di valori crittografici a 16 bit.

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Sistema di paradossi

PROServerSperimentale

Scopo: righe di ricerca costruite su proprietà controintuitive delle combinazioni casuali. Si usano a turno cinque archetipi:

Folla: preferisce i numeri sopra il 31 negli insiemi di almeno 42 numeri (i compleanni finiscono al 31), peso 2.6 sopra la soglia e 0.28 sotto, ×1.1 per i multipli di 10, poi impone almeno $\lceil 0.6k \rceil$ numeri sopra la soglia. Meno persone giocano questi numeri, quindi un’eventuale vincita sarebbe divisa con meno vincitori — la probabilità di vincere non cambia.
Scontro: metà della riga dai numeri più frequenti, il resto da quelli assenti da più tempo.
Grappolo: contiene una coppia di numeri consecutivi — una proprietà molto più comune nelle estrazioni casuali di quanto suggerisca l’intuizione:

P\bigl(\exists\, i : x_{i+1} = x_i + 1\bigr) = 1 - \frac{\binom{N-k+1}{k}}{\binom{N}{k}}

Eurojackpot circa 35%, Lotto 7/34 circa 78%.

Dettagli avanzati

Specchio: abbina $n$ e $N + 1 - n$ .
Regressione: i numeri la cui frequenza recente (ultime 10 estrazioni) si discosta di più da quella di lungo periodo.

3. Il Tribunale matematico

Il Tribunale esamina una combinazione che hai già. Giurati e modelli possono proporre di sostituire un numero; gli avvocati della difesa si esprimono a favore o contro ogni proposta; il Giudice supremo decide sulla base di un campo strutturale delle estrazioni passate. I numeri cambiano solo quando lo decidi tu — e ogni passaggio viene registrato.

Selezione dei dodici giurati attorno all’emblema del Tribunale — La giuria: dodici personaggi, ciascuno con la propria strategia matematica

Lo svolgimento di un caso

Proposta. Un giurato o un modello esamina ogni possibile scambio singolo della riga e propone al massimo una sostituzione — oppure propone di mantenere la riga.
Difesa. Gli avvocati prendono posizione su ogni proposta: sostegno, obiezione o protesta. Un avvocato non propone né applica mai un numero.
Verdetto. Il Giudice supremo accetta la proposta, offre un’alternativa o mantiene il numero, basandosi sul campo strutturale delle estrazioni passate.
Decisione. Solo tu cambi i numeri: accetta una proposta, segui la difesa, accetta il Giudice, mantieni l’originale o torna indietro. Ogni decisione viene salvata con il suo autore.

Da un modello a una preferenza per numero

Ogni modello viene ridotto a una preferenza relativa $\operatorname{rel}(n)$ per ogni numero, dove 1 significa «la media del modello», insieme a un errore standard. I modelli definiti da un vettore di pesi esplicito sono esatti; gli altri vengono misurati eseguendoli:

\operatorname{rel}(n) = \frac{w_n}{\frac{1}{N}\sum_m w_m}, \qquad \operatorname{se}(n) = 0

Preferenza relativa esatta di Numeri caldi, Markov, Gauss, Bayes, Analisi degli scostamenti, Collasso quantistico, Quantistico-astrale e Campo strutturale.

\hat p_n = \frac{1}{R}\sum_{r=1}^{R} \bigl[\,n \in X_r\,\bigr], \quad \operatorname{rel}(n) = \frac{\hat p_n}{k/N}, \quad \operatorname{se}(n) = \frac{\sqrt{\hat p_n (1 - \hat p_n)/R}}{k/N}

Preferenza Monte Carlo dei modelli procedurali: X₁ … X_R sono R = 600 righe del modello generate con seme (120 per il modello fisico). Il Consenso invece fa la media di tre esecuzioni (vedi la sua scheda).

I diciannove modelli

Il Tribunale usa i sedici metodi del generatore della sezione 2 più tre modelli propri. Quattro di essi non usano lo storico e sono registrati come privi di preferenza per i numeri (Copertura del segmento, Casuale puro, Modello fisico, Caos); in pratica Copertura del segmento favorisce i numeri dei segmenti corti quando $k$ non divide $N$ , e Caos favorisce gli estremi dell’intervallo, come mostrano le loro schede. Due modelli sono compositi (Consenso e Campo strutturale).

Modello	Tipo	Base
Numeri caldi	pesi	$c_n + 0.05$
Combinato	campionato	terzi caldo / medio / freddo
Copertura del segmento	campionato, senza storico	un numero per segmento
Casuale puro	campionato, uniforme	rimescolamento di Fisher–Yates
Catene di Markov	pesi	transizioni lisciate dall’ultima estrazione
Gauss · TLC	pesi	gaussiana attorno a $\mu/k$
Modello a intervalli Δ	campionato	bootstrap degli intervalli
Bayes · Dirichlet	pesi	$c_n + 3$
Analisi degli scostamenti	pesi	$(\operatorname{gap}/\bar g)^{1.6} + 0.15$
Modello fisico	campionato, senza storico	simulazione di dischi in 2D
Caos	campionato, senza storico	mappa logistica, sbilanciata verso gli estremi
Collasso quantistico	pesi, sperimentale	$e^{-1.15 c_n/\bar c} + 0.02$
Sistema di paradossi	campionato, sperimentale	cinque archetipi
Quantistico-astrale	pesi, sperimentale	segno e illuminazione della Luna
Matrice della ruota	campionato	disegno di copertura delle coppie
Caldo mondiale	campionato	profilo a nucleo tra lotterie
Combinata mondiale	campionato	profilo a nucleo tra lotterie
Consenso dei modelli	ensemble	14 modelli membri
Campo strutturale	composito	sei componenti descrittive

Campo strutturale

Server

Il campo è la misura del Giudice supremo: un composito, pesato a mano, di sei componenti descrittive. Frequenze, connettività e copertura delle coppie vengono divise per il loro massimo su tutti i numeri; ritardo e tipicità sono già in $[0,1]$ .

F(n) = 100\,\bigl(0.25\,A_n + 0.15\,S_n + 0.15\,G_n + 0.20\,L_n + 0.15\,T_n + 0.10\,(1 - P_n)\bigr)

Punteggio del campo strutturale del numero n, da 0 a 100.

Dettagli avanzati

dove

$A_n,\ S_n$: frequenza nell’intera finestra e nelle ultime $\max(3, \min(10, D))$ estrazioni
$G_n$: ritardo, $\min(\operatorname{gap}_n/\bar g, 2)/2$
$L_n$: somma dei lift di coppia $\ell_{nm} = \dfrac{O_{nm}}{(c_n/D)(c_m/D)\,D}$ su tutti i partner $m$ , con $O_{nm}$ il numero di estrazioni che contengono entrambi
$T_n$: tipicità strutturale media delle estrazioni che contengono $n$ : $1 - 0.6 \cdot 2\,|e - \tfrac12| - 0.4 \min(|z_S|, 2)/2$ , con $e$ la quota di numeri pari e $z_S$ la somma standardizzata
$P_n$: copertura delle coppie, il numero totale di osservazioni di coppie che coinvolgono $n$

Consenso dei modelli

Server

Quattordici modelli membri di dodici famiglie producono ciascuno 10 righe; un numero ottiene punti in base a quanti modelli e quante famiglie lo hanno scelto, a quanto spesso e a quanto in modo uniforme:

C(n) = 100\Bigl(0.40\,\frac{M_n}{14} + 0.25\,\frac{F_n}{12} + 0.20\,\frac{f_n}{\max_m f_m} + 0.15\,\min(\operatorname{stab}_n, 1)\Bigr)

Punteggio di consenso; il Tribunale fa la media di tre esecuzioni indipendenti e usa la loro dispersione come errore standard.

Dettagli avanzati

dove

$M_n,\ F_n$: numero di modelli membri e di famiglie di modelli le cui righe contengono $n$
$f_n$: numero totale di righe che contengono $n$
$\operatorname{stab}_n$: numero medio di comparse per modello membro che ha scelto $n$ , diviso per 10

Modello quantistico-astrale

ServerSperimentale

Un modello di intrattenimento che pesa i numeri in base alla Luna nella data dell’estrazione di riferimento, più una piccola quota del campo strutturale:

w_n = 1 + \bigl[\,n \bmod 12 = \sigma\,\bigr]\Bigl(0.10 + 0.20\,\frac{I}{100}\Bigr) + 0.15\,\frac{F(n)}{100}

Peso quantistico-astrale; σ ∈ {0,…,11} è il segno zodiacale della longitudine eclittica della Luna nella data dell’estrazione di riferimento, I l’illuminazione in percentuale.

Dettagli avanzati

I = 100 \cdot \frac{1 - \cos(2\pi A / P)}{2}, \qquad P = 29.530588853\ \mathrm{d}

Illuminazione della Luna in percentuale a partire dall’età A nel mese sinodico di durata P (giorni).

Come un modello esamina una riga

Per ogni possibile scambio $a \to b$ — il numero $a$ esce dalla riga, il numero $b$ entra — il modello calcola il guadagno e il relativo rumore. Un guadagno conta solo se è statisticamente netto; una perdita conta sempre.

\delta = \operatorname{rel}(b) - \operatorname{rel}(a), \qquad z = \frac{\delta}{\operatorname{SE}_\delta}, \qquad \operatorname{effect} = \begin{cases} \delta & \operatorname{SE}_\delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*} \\ \min(\delta, 0) & \operatorname{SE}_\delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*} \end{cases}

Esame da parte di un modello. I modelli a pesi esatti hanno SE = 0, quindi i loro guadagni contano sempre; lo scambio è ammesso quando effect ≥ 0.10.

\operatorname{SE}_\delta = \frac{1}{k/N}\sqrt{\frac{2\,\bar p\,(1 - \bar p)}{R}}, \qquad \bar p = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{rel}(a) + \operatorname{rel}(b)}{2}\,\frac{k}{N},\ \frac{1}{2R}\Bigr)

Errore standard di uno scambio per un modello campionato: la proporzione combinata sotto l’ipotesi che a e b siano ugualmente probabili. Per il Consenso SE_δ = √(se(a)² + se(b)²) sulle sue tre esecuzioni; i modelli a pesi esatti hanno SE_δ = 0.

z^{*} = \Phi^{-1}\!\Bigl(1 - \frac{1 - \Phi(1.5)}{k(N-k)}\Bigr)

Soglia con correzione di Bonferroni su tutti i k(N−k) scambi possibili; Eurojackpot: 3.43.

$z$ di base	Eurojackpot, 225 scambi	Lotto 7/34, 189 scambi
0.5	2.995	2.942
1.0	3.193	3.142
1.5	3.434	3.387
2.0	3.716	3.672
3.0	4.378	4.340

I dodici giurati

Ogni giurato ha una strategia, le proprie fonti (modelli o segnali dello storico), un effetto minimo e un livello di significatività. Il verdetto di un giurato su una riga è «mantieni» oppure esattamente una sostituzione; i giurati non sollevano obiezioni né proteste — quello è il ruolo della difesa.

\operatorname{score}(n) = \sum_m \omega_m \operatorname{rel}_m(n), \qquad \Delta = \lambda\,\bigl(\operatorname{score}(b) - \operatorname{score}(a)\bigr)

Guadagno numerico di uno scambio dalle fonti pesate del giurato; λ = D/(D+40) per Eva Lind, altrimenti 1.

E = \begin{cases} \Delta & \operatorname{SE}_\Delta = 0 \ \vee\ z \ge z^{*}(z_{\min}) \\ \min(\Delta, 0) & \operatorname{SE}_\Delta > 0 \ \wedge\ z < z^{*}(z_{\min}) \end{cases} \ +\ \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \Delta \ell_c \ +\ \omega_C\,\Delta \Gamma, \qquad E \ge E_{\min} \ \Rightarrow\ a \to b

Valore effettivo di uno scambio. Vince il miglior scambio ammesso (a parità: il nuovo numero più piccolo, poi la posizione precedente); se non ce n’è nessuno, il giurato mantiene la riga.

dove

$\omega_m$: peso della fonte $m$ nella definizione del giurato
$z$: $\Delta / \operatorname{SE}_\Delta$ , con $\operatorname{SE}_\Delta = \lambda\sqrt{\sum_m (\omega_m \operatorname{SE}_m)^2}$
$z^{*}(z_{\min})$: il livello di significatività del giurato corretto per $k(N-k)$ scambi, come nella tabella sopra
$\Delta \ell_c$: variazione della log-verosimiglianza della componente strutturale $c$ (in nat)
$\Delta \Gamma$: variazione del punteggio di copertura della schedina

Segnali calcolati dallo storico

Tre giurati usano segnali letti direttamente dalle estrazioni anziché da un generatore. Con $p = k/N$ :

\operatorname{rel}(x) = \frac{c_x}{Dp}, \qquad \operatorname{SE}_{ab} = \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,D}}

Test di frequenza. In estrazioni eque Var(c_a − c_b) = 2Dp(1−p)·N/(N−1), perché i numeri di una stessa estrazione sono correlati negativamente; dividendo per il conteggio atteso Dp si ottiene SE_ab.

\operatorname{rel}(x) = \max\!\Bigl(0,\ \bar f_x - \frac{\operatorname{sd}(f_x)}{\sqrt K}\Bigr), \qquad f_{x,w} = \frac{c_{x,w}}{s\,p}, \qquad K = \min\!\bigl(4, \lfloor D/5 \rfloor\bigr)

Replicazione. Frequenza in K finestre disgiunte di s = ⌊D/K⌋ estrazioni; il vantaggio deve resistere a una penalità di un errore standard.

\operatorname{raw}(x) = 1 + \left|\frac{c_x - Dp}{\sqrt{Dp(1-p)}}\right|, \qquad \operatorname{rel} = \frac{\operatorname{raw}}{\overline{\operatorname{raw}}}, \qquad \operatorname{SE} = \frac{\sqrt{1 - 2/\pi}}{\overline{\operatorname{raw}}}

Anomalia. Deviazione assoluta dal conteggio atteso; √(1−2/π) è la deviazione standard di |Z| per una normale standard Z.

Struttura e copertura

Le componenti strutturali confrontano una riga con il profilo delle estrazioni passate: parità, bassi/alti, grappoli e intervalli sono categoriali con lisciamento di Laplace; somma e ampiezza sono gaussiane.

\ell_1 = \ln\frac{n_j + 1}{D + J}, \qquad \ell_2 = -\frac12\Bigl(\frac{x - \mu}{\sigma}\Bigr)^2, \qquad \ell_3 = \frac{1}{k-1}\sum_{i} \ln\frac{n_{\Delta_i} + 1}{n_\Delta + N}

Log-verosimiglianze: ℓ₁ categoriale (parità, bassi/alti, grappoli; J categorie, n_j estrazioni passate nella categoria j), ℓ₂ gaussiana (somma, ampiezza), ℓ₃ intervalli tra numeri vicini.

\Gamma(R) = -\frac{\bigl|\tbinom{R}{2} \cap \mathcal P'\bigr|}{\binom{k}{2}} + 0.5\,\frac{\bigl|\{\lfloor (n-1)/10 \rfloor : n \in R\}\bigr|}{k}

Copertura della schedina: 𝒫′ è l’insieme delle coppie delle altre righe della schedina; il secondo termine conta le decine del campo numerico toccate dalla riga.

Eva Lind · Tiratrice scelta

Strategia: frequenza di lungo periodo con contrazione bayesiana. Fonti: Bayes 0.8 + Numeri caldi 0.2; $\lambda = D/(D+40)$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; nessun test di significatività (pesi esatti).

Regola: il miglior scambio è sempre il numero meno frequente della riga → il numero più frequente fuori dalla riga; è ammesso quando $\Delta \ge 0.12$ .

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Maya Chen · Architetta della forma

Strategia: la forma della riga. Fonti: Gauss 0.5 + Combinato 0.5; peso della struttura 2 su parità, bassi/alti, somma, ampiezza e grappoli; $z_{\min} = 1$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.19$ ); $E_{\min} = 0.12$ .

Regola: il termine di struttura conta sempre, quindi uno scambio che avvicina la riga alla forma tipica delle estrazioni passate può essere ammesso per la sola struttura.

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Clara Moretti · Cacciatrice di anomalie

Strategia: anomalie in entrambe le direzioni. Fonte: il segnale di anomalia; struttura degli intervalli 0.4, conteggiata solo per uno scambio significativo; $z_{\min} = 1.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.43$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

z = \frac{|z_b| - |z_a|}{\sqrt 2 \cdot 0.60281}

Per il segnale di anomalia la media si annulla: conta solo la differenza delle deviazioni assolute.

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Leila Haddad · Osservatrice globale

Strategia: il profilo mondiale. Fonti: Caldo mondiale 0.5 + Combinata mondiale 0.5; $z_{\min} = 1.5$ ; $E_{\min} = 0.12$ ; richiede i dati delle altre lotterie.

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Freya Olsen · Ingegnera della copertura

Strategia: copertura della schedina senza preferenza per i numeri. Nessuna fonte; peso della copertura 2; $E_{\min} = 0.20$ .

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Nora Blake · Chiaroveggente

Sperimentale

Strategia: il sistema astrologico di intrattenimento per la data dell’estrazione. Fonte: Quantistico-astrale; $E_{\min} = 0.05$ ; richiede una data di estrazione di riferimento.

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Derek Cole · Maestro delle catene

Strategia: le transizioni dall’ultima estrazione. Fonte: Catene di Markov; struttura degli intervalli 0.4, sempre conteggiata; $E_{\min} = 0.12$ . Poiché i pesi di Markov sommano a uno, $\operatorname{rel}(n) = N\,w_n$ .

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Marcus Reed · Segnale d’allarme

Strategia: l’assenza più lunga. Fonti: Analisi degli scostamenti 0.8 + Numeri caldi 0.2; $E_{\min} = 0.06$ ; nessun test di significatività.

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Victor Moreau · Fisico dell’urna

Strategia: una distorsione fisica dell’urna si ripeterebbe in ogni periodo. Fonte: replicazione; $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

\operatorname{SE}_{ab} = \max\!\Bigl(\frac{\operatorname{sd}_w(f_{b,w} - f_{a,w})}{\sqrt K},\ \sqrt{\frac{2(N-k)}{(N-1)\,p\,K s}}\Bigr)

La soglia minima di rumore impedisce che quattro finestre fortunate sembrino significative.

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Noah Bennett · Scettico vigile

Strategia: rifiutare il puro caso al livello più severo. Fonte: test di frequenza; $z_{\min} = 3$ (Eurojackpot $z^{*} = 4.38$ ); $E_{\min} = 0.15$ .

z = \frac{c_b - c_a}{\sqrt{2(N-k)\,Dp/(N-1)}}

Forma chiusa della statistica test di Noah.

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Elias Berg · Prestigiatore controcorrente

Sperimentale

Strategia: contro la folla — numeri più rari. Fonti: Collasso quantistico 0.85 + Sistema di paradossi 0.15; $z_{\min} = 0.5$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.00$ ); $E_{\min} = 0.08$ .

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Leo Fischer · Direttore del consenso

Strategia: la stabilità del consenso dei modelli. Fonte: Consenso (tre esecuzioni indipendenti); $z_{\min} = 2$ (Eurojackpot $z^{*} = 3.72$ ); $E_{\min} = 0.10$ .

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Generazione da parte della giuria

Quando la giuria genera una riga invece di esaminarne una, ogni giurato estrae 40 righe candidate con i propri pesi $\max(0.02, \operatorname{score}(n))$ e tiene la migliore secondo

\operatorname{rowScore}(R) = \frac{1}{k}\sum_{n \in R} \operatorname{score}(n) + \omega_S \cdot 0.25 \sum_c \ell_c(R) + \omega_C \operatorname{cov}(R)

La scheda di voto di un giurato. La riga della giuria prende i k numeri con più voti; a parità prevale il sostegno normalizzato più alto, poi il numero più piccolo.

I sei avvocati della difesa

Gli avvocati valutano uno scambio proposto $n_c \to n_p$ — il numero attuale e quello proposto, usciti $x_c$ e $x_p$ volte in $D$ estrazioni — con i propri segnali. I valori positivi sono a favore della proposta:

Segnale	Definizione
frequenza	$z = \dfrac{(x_p - x_c)/D}{\sqrt{2\bar p(1-\bar p)/D}},\ \bar p = \dfrac{x_c + x_p}{2D}$
a posteriori	$z = \Phi^{-1}\bigl(P(\theta_p > \theta_c)\bigr),\ \theta \sim \operatorname{Beta}(1 + x, 1 + D - x)$
Bayes, campo, astro	$z = \dfrac{\operatorname{rel}(p) - \operatorname{rel}(c)}{\sqrt 2\,\operatorname{sd}(\operatorname{rel})}$
struttura	$z = \operatorname{sign}(\Delta\ell)\sqrt{2\|\Delta\ell\|}$
stabilità	$z = (W - L)/\sqrt{6}$ su sei periodi consecutivi

La probabilità a posteriori viene calcolata in modo esatto, senza approssimazione normale:

P(\theta_B > \theta_A) = \sum_{i=0}^{a_B - 1} \frac{\mathrm B(a_A + i,\ b_A + b_B)}{(b_B + i)\,\mathrm B(1 + i,\ b_B)\,\mathrm B(a_A, b_A)}

Forma chiusa per distribuzioni a posteriori Beta con parametri interi; la funzione Beta usa un log-Gamma di Lanczos.

Regola di decisione per la sostituzione, con $\bar z$ la media pesata dei segnali dell’avvocato:

\psi = \begin{cases} \mathsf S & \bar z \ge z_{\mathrm{sup}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf P & \bar z \le -z_{\mathrm{prot}} \ \wedge\ \chi = 1 \\ \mathsf O & \bar z \in (-z_{\mathrm{prot}},\ z_{\mathrm{sup}}) \ \vee\ \chi = 0 \end{cases}

Posizione ψ di un avvocato: S sostegno, P protesta, O obiezione. χ = 1 quando i controlli dell’avvocato sono superati: per il sostegno — unanimità dei segnali, concordanza di un secondo segnale e veto strutturale; per la protesta — solo unanimità e concordanza.

Thomas Keller · Avvocato d’ufficio

FREE

Segnali: frequenza + Bayes + campo strutturale, che devono concordare tutti; sostegno a 1, protesta a −1; richiede 20 estrazioni, e da 5 a 19 estrazioni funziona in modalità limitata con Bayes + a posteriori.

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Elena Rossi · Avvocata statistica

Segnale: frequenza, corretta per i confronti multipli; veto strutturale a −1; sostegno e protesta a 1.96; almeno 30 estrazioni.

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Amelia Grant · Contro la falsa sicurezza

Segnale: probabilità a posteriori di superiorità; sostegno a $P \ge 0.90$ ( $z = 1.2816$ ), protesta a $P \le 0.20$ ( $z = -0.8416$ ); almeno 10 estrazioni.

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$D$	$x_c$	$x_p$	$P(\theta_p > \theta_c)$	Posizione
30	1	7	0.987	sostegno
30	4	3	0.354	obiezione
30	5	2	0.128	protesta
100	6	16	0.987	sostegno

Julien Morel · Avvocato della struttura

Segnale: variazione totale delle sei log-verosimiglianze strutturali; sostegno a 0.6325 ( $\Delta\ell \ge 0.2$ nat), protesta a 0.8944 ( $\Delta\ell \le -0.4$ ); almeno 20 estrazioni.

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Ingrid Falk · Stabilità nel tempo

Segnale: vittorie meno sconfitte del numero proposto su sei periodi consecutivi; deve concordare con la frequenza complessiva; soglia 1.5, quindi almeno $W - L \ge 4$ ; almeno 30 estrazioni.

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Adrian Vega · Astrologia d’intrattenimento

Sperimentale

Segnale: i pesi quantistico-astrali per la data dell’estrazione di riferimento; sostegno e protesta a 0.5.

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Il Giudice supremo

Il Giudice decide su un numero contestato usando il campo strutturale $F$ , normalizzato al suo massimo: $\phi(n) = F(n)/\max F$ . Un numero è debole se si trova nel 35% più basso del campo.

\theta = \phi_{(\lfloor 0.35 N \rfloor + 1)}, \qquad m = 0.08 \cdot \bigl[\, n_{\mathsf P} > \tfrac12\, n_{\mathrm{counsel}} \,\bigr]

θ è una statistica d’ordine dei valori del campo ordinati in senso crescente; il numero attuale è debole quando φ(n_c) < θ. Il margine m si applica quando protesta più della metà degli avvocati che hanno preso posizione.

V = \begin{cases} n_c & \phi(n_c) \ge \theta \\ n_p & \phi(n_p) > \phi(n_c) + m \ \wedge\ \phi(n_p) \ge \theta \\ a^{*} & \phi(a^{*}) > \phi(n_c) + m \\ n_c & \phi(a^{*}) \le \phi(n_c) + m \end{cases}

Il verdetto V è il numero che il Giudice mantiene nella posizione; si applica la prima riga che corrisponde. a* è il numero con il campo più alto fuori dalla riga e diverso dalla proposta.

Analisi e raccomandazione del Giudice supremo

Per righe intere il Giudice riporta un punteggio della riga e suggerisce di sostituire fino a $\lfloor k/2 \rfloor$ dei numeri più deboli sotto $\theta$ con i numeri più forti fuori dalla riga. Sei tu a scegliere quali scambi applicare. Senza righe, il Giudice formula una raccomandazione: bozze casuali uniformi vengono migliorate allo stesso modo e restituite con la loro provenienza.

\operatorname{RowScore}(R) = \frac{100}{k}\sum_{n \in R} \phi(n)

Punteggio della riga nell’analisi del Giudice supremo.

Decisioni, lotti e cronologia

Decisioni: accetta la proposta, accetta la difesa, accetta il Giudice, mantieni l’originale, torna indietro. I numeri cambiano solo quando accetti una proposta, accetti un verdetto del Giudice che sostituisce il numero o torni indietro; ogni modifica è una trasformazione nel record di provenienza.
Decisioni in blocco: al massimo una sostituzione per numero. «Accetta tutte le sostituzioni a maggioranza» applica solo le opzioni scelte da più della metà dei giurati selezionati; «Applica tutte le proposte» prende, per ogni numero, l’opzione di maggioranza o altrimenti quella con più voti, e salta i casi di parità.
Lotti: un esame di fino a 50 righe con la stessa formazione di personaggi conta come un unico tentativo; le righe già analizzate vengono saltate e un lotto interrotto riprende con lo stesso piano.
Cronologia: i tipi di evento sono esame della giuria, esame del modello, proposta, esame della difesa, esame del Giudice, decisione e trasformazione; il registro conserva fino a 200 eventi e non elimina mai una trasformazione né gli esami più recenti.

Il Tribunale alla prova dei fatti

Ogni affermazione viene scritta nel registro delle previsioni prima della sua estrazione e poi valutata rispetto al caso. Per affermazioni su $n_i$ numeri con probabilità di base $p = k/N$ :

\mathbb E[H] = \sum_i n_i\,p, \qquad \operatorname{Var}[H] = \sum_i n_i\,p(1-p), \qquad \operatorname{lift} = \frac{H}{\mathbb E[H]}, \qquad z = \frac{H - \mathbb E[H]}{\sqrt{\operatorname{Var}[H]}}

H è il numero di centri. Una fonte entra in classifica solo con almeno 30 numeri su almeno 3 estrazioni.

4. L’urna 3D: motore fisico

L’estrazione 3D è una simulazione di corpi rigidi in tempo reale: le palline sono corpi con massa, inerzia, attrito e restituzione, spinti dalla gravità, da un rotore miscelatore e da un campo d’aria, e la pallina estratta è quella che cade fisicamente attraverso l’uscita. È un modello fisico credibile di un’urna, non la registrazione di una macchina reale.

Urna del SuperEnalotto con 90 palline in miscelazione mentre viene selezionata una pallina — 90 palline del SuperEnalotto nella camera simulata

Motore e coordinate

La fisica gira in Rapier 3D (versione 0.14, WebAssembly); il rendering usa Three.js (r169). Il sistema di riferimento è destrorso, con $+y$ verso l’alto e l’origine al centro della camera; l’asse del rotore è l’asse orizzontale $x$ e $+z$ punta verso l’osservatore.

Camera: una sfera di raggio $R = 3.0$ unità, costruita come mesh di triangoli con normali rivolte verso l’interno e un’uscita circolare sul fondo (semiangolo $\arcsin(0.34/3) \approx 6.5^\circ$ ).
Palline: sfere di raggio $r = 0.2$ e densità 1; una pallina per numero, da 5 a 90 palline.
Rotore: un albero cinematico a sei bracci le cui pale a capsula sono dimensionate per fermarsi a 0.14 unità dal vetro nel loro piano di rotazione, più un rotore più piccolo a tre bracci il cui verso si alterna tra le fasi di miscelazione.
Chiusura: un tappo cilindrico nell’uscita, rimosso quando una pallina può uscire.

m = \tfrac43 \pi r^3 \rho = 0.03351, \qquad I = \tfrac25 m r^2 = 5.36 \times 10^{-4}, \qquad m\,|g| = 1.005

Massa, momento d’inerzia e peso di una pallina in unità del modello.

Scala e similitudine di Froude

Un’unità del modello vale 10 cm: una pallina da 40 mm misura 0.4 unità e la camera è una sfera da 600 mm. La gravità è ridotta a $30$ unità/s² invece dei $98.1$ reali. Un moto dominato da gravità e inerzia appare identico quando il numero di Froude è lo stesso, quindi la simulazione corrisponde a una macchina in scala reale con un orologio più lento:

\mathrm{Fr} = \frac{v^2}{g L}, \qquad \gamma = \frac{g'}{g} = \frac{30}{98.1} = 0.306, \qquad \frac{t'}{t} = \frac{1}{\sqrt\gamma} \approx 1.81

Le grandezze con l’apice appartengono al modello. A parità di numero di Froude e di lunghezza, le velocità scalano con √γ e i tempi con 1/√γ.

Forze

Ogni pallina obbedisce alla seconda legge di Newton con le forze che il codice applica davvero:

m\,\frac{d^2 \mathbf x}{dt^2} = m\,\mathbf g + \mathbf F_D + \mathbf F_W + \mathbf F_S + \mathbf F_C, \qquad I\,\frac{d\boldsymbol\omega}{dt} = \boldsymbol\tau_W + \boldsymbol\tau_C

F_D resistenza dell’aria, F_W parete analitica, F_S aspirazione all’uscita, F_C contatti con palline, rotore e chiusura (calcolati da Rapier); τ i momenti corrispondenti. Rapier applica anche un piccolo smorzamento lineare e angolare, e le velocità sono limitate a 22 unità/s e 105 rad/s come rete di sicurezza.

Campo d’aria e resistenza quadratica

Il soffiatore è modellato come un campo prescritto di velocità dell’aria $\mathbf u(\mathbf x, t)$ ; ogni pallina subisce una resistenza quadratica verso la velocità locale dell’aria. La costante di resistenza è fissata da una velocità limite di 48 unità/s:

\mathbf F_D = m\,k_d\,\lVert \mathbf u - \mathbf v \rVert\,(\mathbf u - \mathbf v), \qquad k_d = \frac{|g|}{v_t^2} = \frac{30}{48^2} = 0.01302

In aria ferma una pallina in caduta raggiunge v_t = √(g/k_d) = 48 unità/s, circa 8.7 m/s in scala reale.

u_y^{\uparrow} = J \Bigl(1 - \frac{\rho_h^2}{R^2}\Bigr)\, \operatorname{clamp}\!\Bigl(\frac{6 - y}{6 + R},\, 0,\, 1\Bigr), \qquad J = 102

Corrente ascensionale centrale: massima sull’asse vicino al fondo (102 a y = −3, 68 al centro, 34 in cima); ρ_h è la distanza orizzontale dall’asse.

Vortice: una rotazione orizzontale di 11 unità/s attorno all’asse verticale.
Flusso verso l’interno: oltre il 60% del raggio, fino a $50\,(|\mathbf x| - 1.8)/1.2$ verso il centro, così le palline continuano a circolare invece di restare attaccate al vetro.
Turbolenza: un rumore di valori tridimensionale e liscio di ampiezza 58 che deriva nel tempo; è una funzione deterministica fissa, non un generatore di numeri casuali.
Raffiche anti-stallo: una pallina che resta troppo a lungo sul fondo, in cima, contro la parete o quasi ferma riceve una raffica locale aggiunta alla velocità dell’aria, che agisce comunque tramite la resistenza.

Parete sferica analitica

Oltre alla mesh, il vetro viene imposto come sfera esatta a livello di velocità, il che impedisce il tunnelling e dà un rotolamento corretto. Con normale uscente $\hat{\mathbf n}$ , velocità uscente $v_n$ e penetrazione $\xi = |\mathbf x| - (R - r - 0.06)$ :

v^{*} = \begin{cases} -\min\!\bigl(2,\ 0.25\,\xi/\Delta t\bigr) & \xi > 0 \\ -\xi/\Delta t & \xi \le 0 \end{cases}, \qquad e = \begin{cases} \tfrac12 (e_b + 0.28) & v_n > 0.6 \\ 0 & v_n \le 0.6 \end{cases}

Tolleranza di contatto speculativo v* e restituzione e (e_b è la restituzione della pallina; zero sotto la velocità di tolleranza, così una pallina ferma non può vibrare).

\Delta v_n = v_n - \min(v^{*},\, -e\,v_n), \qquad \mathbf F_n = -\frac{m\,\Delta v_n}{\Delta t}\,\hat{\mathbf n}

Risposta normale, applicata solo se v_n > v*.

j_t = \min\!\Bigl(\mu\, m\,\Delta v_n,\ \tfrac27 m\,\lVert \mathbf s \rVert\Bigr), \qquad \mathbf F_t = -\frac{j_t}{\Delta t}\,\hat{\mathbf s}, \qquad \boldsymbol\tau = (-r\hat{\mathbf n}) \times \mathbf F_t

Attrito di Coulomb nel punto di contatto; s è la velocità di slittamento tangenziale v + ω × (−r n̂), μ = ½(μ_b + 0.35) con μ_b l’attrito della pallina.

Contatti tra corpi

I contatti pallina–pallina, pallina–rotore e pallina–chiusura sono risolti dal risolutore di vincoli di Rapier con rilevamento continuo delle collisioni sulle palline. I coefficienti si combinano facendo la media:

Coppia	Attrito	Restituzione
pallina – pallina	0.16	0.55
pallina – vetro	0.255	0.415
pallina – pala	0.19	0.525
pallina – braccio o albero	0.17	0.35
pallina – chiusura	0.23	0.375

Lo smorzamento è basso durante l’estrazione (lineare 0.05, angolare 0.035) e forte mentre le palline si assestano (2.4). Non esiste un parametro di resistenza al rotolamento: il rotolamento rallenta solo per lo smorzamento e l’attrito di contatto.

Passo temporale e integrazione

La simulazione avanza a passi fissi indipendenti dalla frequenza di aggiornamento dello schermo; ogni fotogramma esegue tanti passi fissi quanti ne richiede il tempo reale, al massimo cinque:

A \leftarrow \min\bigl(A + \Delta t_f,\ 5\,\Delta t\bigr), \qquad n = \bigl\lfloor A / \Delta t \bigr\rfloor, \qquad A \leftarrow A - n\,\Delta t, \qquad \Delta t = \tfrac{1}{60}\ \mathrm{s}

Accumulatore a passo fisso: un fotogramma di durata Δt_f esegue n passi fissi (al massimo 5); ogni passo è diviso in 2 sottopassi di Rapier da h = 1/120 s con 6 iterazioni del risolutore.

All’interno di un sottopasso il motore aggiorna le velocità dalle forze e poi le posizioni dalle nuove velocità — lo schema di Eulero semi-implicito (simplettico) usato dai motori basati su impulsi, mostrato qui come principio generale:

\mathbf v_{t+h} = \mathbf v_t + h\,M^{-1}\bigl(\mathbf F + \mathbf F_{\mathrm c}\bigr), \qquad \mathbf x_{t+h} = \mathbf x_t + h\,\mathbf v_{t+h}

Forma generale: F sono le forze applicate, F_c le forze di vincolo (di contatto) trovate dal risolutore iterativo di Rapier.

Le forze proprie dell’applicazione (aria, parete, aspirazione) vengono calcolate una volta per passo dallo stato all’inizio del passo e mantenute per entrambi i sottopassi. Il rotore è cinematico e il suo obiettivo viene riaggiornato a ogni sottopasso:

\omega \leftarrow \omega + (\omega^{*} - \omega)\bigl(1 - e^{-4h}\bigr), \qquad \theta \leftarrow \theta + \omega\,h

Avvicinamento esponenziale della velocità del rotore al suo obiettivo; la miscelazione passa ciclicamente per 2.4, 2.9, 2.1 e 2.7 rad/s.

Come viene selezionata una pallina

Dopo 1 s di avvio e 2.6 s di miscelazione la chiusura si apre. Finché l’uscita è aperta, la corrente ascensionale sopra di essa si spegne gradualmente, il getto centrale scende al 62% e un’aspirazione di circa 2.2 pesi di pallina (circa 4 dopo 5 s) attira le palline vicine all’uscita:

\mathbf F_S = \beta\,(-1.2\,x,\ -2.2,\ -1.2\,z), \qquad \beta = \begin{cases} 1 & t_c \le 5\ \mathrm{s} \\ 1.8 & t_c > 5\ \mathrm{s} \end{cases}

Aspirazione vicino all’uscita (y < −1.6 e distanza orizzontale < 0.6); t_c è il tempo trascorso dall’apertura della chiusura.

La pallina estratta è la prima il cui centro scende sotto $y = -3.18$ ; se nello stesso passo succede a più palline, la più bassa. In quel momento non si consulta alcun numero casuale. I numeri casuali di un’estrazione sono la disposizione iniziale delle palline e una piccola velocità e rotazione iniziali, presi dalla Web Crypto API (di nuovo quando viene caricato un insieme bonus separato). La pallina percorre poi il tragitto di uscita fino alla rastrelliera; quel moto è scriptato, non simulato.

Rendering, simulazione e casualità

Simulazione: passi fissi da 1/60 s; i preset di qualità (ultra, alta, media, bassa) cambiano solo ombre, bloom, risoluzione e dettaglio delle mesh, mai la fisica.
Rendering: ogni fotogramma mostra l’ultimo passo completato; non c’è interpolazione tra i passi.
Casualità: le forze sono deterministiche; il risultato dipende dalla disposizione iniziale e, dalla seconda pallina in poi, anche da quanto dura sul dispositivo la presentazione della pallina precedente, quindi un’estrazione non può essere riprodotta esattamente.

5. Statistica delle estrazioni reali

Le schermate di analisi descrivono le estrazioni storiche. Rispondono a «che cosa è successo» e «è compatibile con una lotteria equa», mai a «che cosa succederà».

Frequenze, numeri caldi e freddi

Per ogni numero l’app conta le uscite nella finestra e le mostra accanto al conteggio atteso di una lotteria equa; la deviazione standard è riportata qui come riferimento:

\mathbb E[c_n] = \frac{kD}{N}, \qquad \operatorname{sd}(c_n) = \sqrt{D\,\frac{k}{N}\Bigl(1 - \frac{k}{N}\Bigr)}

Conteggio atteso (mostrato nell’app) e sua deviazione standard (riferimento) per un numero su D estrazioni indipendenti.

Caldi e freddi: i cinque numeri più e meno frequenti, ciascuno con il suo conteggio atteso (servono almeno 5 estrazioni).
Barre di frequenza: rosse quando la quota di un numero supera 1.3 volte la quota attesa, blu sotto 0.7 volte.
Mappa di calore: colore secondo la normalizzazione min–max $s_n = (c_n - \min c)/\max(1, \max c - \min c)$ .

Mappa di calore dell’Eurojackpot dei 50 numeri principali colorata dal blu al rosso — Mappa di calore: il colore mostra solo la frequenza passata

Test di equità: χ² con correzione

Il test χ² verifica se i conteggi sono compatibili con probabilità uguali. In un’estrazione i $k$ numeri sono presi senza reinserimento, il che rende i conteggi correlati negativamente; la statistica multinomiale semplice risulta allora troppo piccola, e l’app la corregge:

\chi^2_P = \sum_{n=1}^{N} \frac{(c_n - e)^2}{e}, \quad e = \frac{kD}{N}, \qquad \chi^2 = \chi^2_P\,\frac{N-1}{N-k} \ \sim\ \chi^2_{N-1}

Statistica di Pearson con la correzione per l’estrazione senza reinserimento; servono almeno 10 estrazioni.

p = Q\Bigl(\frac{N-1}{2},\ \frac{\chi^2}{2}\Bigr) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}, \frac{\chi^2}{2}\bigr)}{\Gamma\bigl(\frac{N-1}{2}\bigr)}

Funzione gamma incompleta superiore regolarizzata, calcolata con serie e frazione continua.

Valore p	Esito
$p > 0.05$	nessuna deviazione significativa
$0.01 < p \le 0.05$	deviazione al limite
$p \le 0.01$	deviazione statisticamente significativa

Test Q posizionale

Con almeno 30 estrazioni complete l’app verifica anche la media di ogni posizione ordinata (Coronel-Brizio et al., arXiv:0806.4595). L’ $i$ -esimo più piccolo di $k$ numeri estratti da $1..N$ ha media e covarianza

\mu_i = \frac{(N+1)\,i}{k+1}, \qquad V_{ij} = \frac{i\,(k - j + 1)(N+1)(N-k)}{(k+1)^2 (k+2)}\ \ (i \le j), \qquad Q = m\,\boldsymbol\delta^{\mathsf T} V^{-1} \boldsymbol\delta \ \sim\ \chi^2_k

δ è il vettore delle differenze tra le medie osservate per posizione e μ su m estrazioni.

Coppie, confronti e verifiche

Coppie: una matrice 12 × 12 di quante volte i 12 numeri più frequenti sono usciti insieme (almeno 10 estrazioni). Sono conteggi grezzi; come riferimento, il conteggio atteso di una data coppia in estrazioni eque è $D\,\frac{k(k-1)}{N(N-1)}$ .
Confronto tra lotterie: probabilità del jackpot, prezzo, costo per acquistare tutte le combinazioni.
Verifica matematica: l’app ricalcola $\binom{N}{k}\binom{B}{b}$ e lo confronta con la costante memorizzata, e controlla nelle estrazioni della finestra di analisi errori di intervallo, numeri di palline errati e date duplicate.
Categorie di premio: tabelle ufficiali delle vincite per estrazione. L’immagine dell’estrazione fa la media delle ultime 60 tabelle reali delle vincite; solo per una lotteria senza alcun dato sulle vincite stima i vincitori dalle probabilità per categoria della sezione 8 e da un volume di vendite ipotetico, quindi quei valori sono puramente illustrativi.

Simulare una vita di gioco

La simulazione su 50 anni usa la probabilità di almeno un jackpot in $T$ giocate indipendenti:

P_T = 1 - \Bigl(1 - \frac{1}{C}\Bigr)^{T}, \qquad T = 50 \cdot 52 \cdot d \cdot r

Probabilità di almeno un jackpot in T giocate; C è il numero di combinazioni del jackpot, d le estrazioni a settimana, r le righe per estrazione.

6. Analisi per calendario

L’analisi per calendario cerca coincidenze tra le date delle estrazioni e i numeri estratti — per esempio il giorno del mese che compare tra le palline — e confronta ogni frequenza osservata con quella che produrrebbe il puro caso.

Selezione delle estrazioni

Le estrazioni si possono filtrare per anno, mese, stesso mese in tutti gli anni o intervallo di date, e per epoca delle regole. Gli elenchi di frequenza (caldi, freddi, assenti da più tempo) usano i conteggi grezzi della selezione; un numero impossibile in tutte le epoche selezionate viene escluso, e una selezione che mescola epoche diverse viene segnalata con un avviso, perché un numero valido solo nell’epoca più recente sembra falsamente «freddo». Le regole di data qui sotto tengono conto delle epoche: un’estrazione conta per una regola solo se almeno un candidato è un numero valido secondo le regole proprie di quell’estrazione.

\hat r = \frac{\bigl|\{\, t \in \mathcal E : C_t \cap X_t \ne \varnothing \,\}\bigr|}{|\mathcal E|}, \qquad \mathcal E = \bigl\{\, t : C_t \cap \Omega_t \ne \varnothing \,\bigr\}

Frequenza osservata di una regola di data: C_t sono i numeri candidati dell’estrazione t, X_t i suoi numeri estratti, Ω_t i numeri validi secondo le sue regole; ℰ sono le estrazioni ammissibili.

Dieci regole di data

Regola	Numeri candidati per un’estrazione del GG.MM.AAAA
giorno	GG
mese	MM
anno	AAAA mod 100
ora	l’ora dell’estrazione, dove l’operatore la pubblica
cifre dell’anno	le cifre distinte di AAAA
somma delle cifre dell’anno	somma delle cifre di AAAA
somma dell’anno a due cifre	somma delle cifre di AAAA mod 100
somma delle cifre del giorno	somma delle cifre di GG
somma delle cifre della data	somma di tutte le cifre di GG, MM e AAAA
radice numerica	la somma delle cifre della data ridotta a una sola cifra

Un candidato pari a 0 viene ignorato, e un’estrazione conta una sola volta per una regola anche quando più dei suoi numeri corrispondono.

Attesa casuale

Per un’estrazione di $k$ numeri da $S$ valori possibili e un insieme di $m$ numeri candidati, la probabilità che non esca nessun candidato è ipergeometrica:

P_0 = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{S - m - i}{S - i} = \frac{\binom{S-m}{k}}{\binom{S}{k}}, \qquad P_{\ge 1} = 1 - P_0

P₀: non esce nessun candidato; P≥1: ne esce almeno uno. I candidati fuori dall’intervallo dell’epoca dell’estrazione vengono scartati.

\mathbb E[\hat r] = \frac{1}{|\mathcal E|}\sum_{t \in \mathcal E} P_{\ge 1}^{(t)}, \qquad P^{\cup} = 1 - \bigl(1 - P^{\mathrm M}\bigr)\bigl(1 - P^{\mathrm B}\bigr)

Frequenza attesa di corrispondenza r̂ sulle estrazioni ammissibili ℰ, ciascuna con la propria epoca; P^M e P^B per l’insieme principale e quello bonus vengono combinati come indipendenti.

Corrispondenze di calendario con le frequenze osservate accanto all’attesa casuale — Corrispondenze di calendario confrontate con il caso

Interpretare le frequenze

Le coppie vengono elencate da 30 estrazioni e le terne da 120 (solo le combinazioni viste almeno due volte, le dieci più frequenti); sotto le 100 estrazioni compare un avviso di campione piccolo. Con 100 estrazioni, una frequenza vicina al 20% ha ancora una banda al 95% di circa $\pm 1.96\sqrt{0.2 \cdot 0.8/100} \approx \pm 7.8$ punti percentuali.

7. Archivio storico ed epoche delle regole

Le lotterie cambiano le loro regole. Un’estrazione ha senso solo insieme alle regole in vigore alla sua data, per questo ogni estrazione memorizzata porta con sé la sua versione delle regole.

Epoche delle regole

Lotteria	Epoche (principali · bonus)
Lotto (Norvegia)	7/34 + 3 numeri supplementari → 7/34 + 1 supplementare (dal 21.03.2015)
Vikinglotto	6/48 + supplementare e numero fortunato → numero Viking 1–8 (2017) → 1–5 (dal 09.06.2021)
Eurojackpot	5/50 + 2/8 → 2/10 (2014) → 2/12 (dal 25.03.2022)
Powerball	5/59 + 1/39 → 5/59 + 1/35 (2012) → 5/69 + 1/26 (dal 07.10.2015)
Mega Millions	5/52 + 1/52 → 5/56 + 1/46 → 5/75 + 1/15 → 5/70 + 1/25 → 5/70 + 1/24 (dal 08.04.2025)
EuroMillions	5/50 + 2/9 → 2/11 (2011) → 2/12 (dal 27.09.2016)
SuperEnalotto	6/90 + Jolly dal 1997; il SuperStar proviene da un’urna separata ed è escluso dai modelli
Lotto Max	7/49 → 7/50 (2019) → 7/52 (dal 14.04.2026)
Powerball AU	5/45 + 1/45 → 6/40 + 1/20 (2013) → 7/35 + 1/20 (dal 19.04.2018)

Regola di compatibilità

Modelli e analisi usano solo estrazioni comparabili con le regole attuali. Due epoche vengono confrontate gruppo per gruppo:

(k, n_{\min}, n_{\max})_e = (k, n_{\min}, n_{\max})_{\mathrm{now}}, \qquad \mathcal B_e = \mathcal B_{\mathrm{now}}

L’epoca e è comparabile per i numeri principali quando quantità e intervallo coincidono (a sinistra), e per i numeri bonus quando coincide ogni gruppo bonus 𝓑 (a destra). Un’estrazione con numeri principali comparabili ma regole bonus diverse conserva i numeri principali e scarta quelli bonus.

Storico dell’Eurojackpot con la scheda dell’epoca delle regole attuali e le estrazioni contrassegnate con la loro versione delle regole — L’archivio contrassegna ogni estrazione con la sua epoca delle regole

8. Probabilità e limiti

Ogni estrazione ufficiale è un esperimento casuale indipendente. Nessuno storico, modello, tribunale o simulazione cambia la probabilità di alcuna combinazione.

Probabilità del jackpot

P_J = \frac{1}{\binom{N}{k}\binom{B}{b}}, \qquad \frac{1}{\binom{50}{5}\binom{12}{2}} = \frac{1}{2\,118\,760 \times 66} = \frac{1}{139\,838\,160}

Probabilità del jackpot di una riga con le regole attuali (a destra: Eurojackpot); le lotterie senza numero bonus per il giocatore usano solo il primo fattore.

Lotteria	Regole	Probabilità del jackpot
Lotto (Norvegia)	7/34	1 : 5 379 616
Vikinglotto	6/48 + 1/5	1 : 61 357 560
Eurojackpot	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
EuroMillions	5/50 + 2/12	1 : 139 838 160
Powerball	5/69 + 1/26	1 : 292 201 338
Mega Millions	5/70 + 1/24	1 : 290 472 336
SuperEnalotto	6/90	1 : 622 614 630
Lotto Max	7/52	1 : 133 784 560
Powerball AU	7/35 + 1/20	1 : 134 490 400

Ogni categoria di premio

Indovinare esattamente $i$ dei $k$ numeri principali e $j$ dei $b$ numeri bonus ha come probabilità il prodotto di due probabilità ipergeometriche:

P(i, j) = \frac{\binom{k}{i}\binom{N-k}{k-i}}{\binom{N}{k}} \cdot \frac{\binom{b}{j}\binom{B-b}{b-j}}{\binom{B}{b}}

Per una pallina aggiuntiva estratta dalla stessa urna (Lotto, SuperEnalotto, Lotto Max) il secondo fattore è (k−i)/(N−k) per «+1».

Categoria Eurojackpot	Probabilità
5 + 2	1 : 139 838 160
5 + 1	1 : 6 991 908
5 + 0	1 : 3 107 515
4 + 2	1 : 621 503
4 + 1	1 : 31 075
3 + 2	1 : 14 125
4 + 0	1 : 13 811
2 + 2	1 : 985
3 + 1	1 : 706
3 + 0	1 : 314
1 + 2	1 : 188
2 + 1	1 : 49

Perché nessun metodo può battere il caso

Se le estrazioni sono indipendenti e ogni combinazione è ugualmente probabile, la probabilità condizionata della prossima estrazione dato qualsiasi storico è la stessa che senza di esso, e il numero atteso di numeri principali indovinati è lo stesso per ogni riga, comunque sia stata prodotta:

P\bigl(X_{t+1} = A \mid X_1, \dots, X_t\bigr) = P(X_{t+1} = A) = \binom{N}{k}^{-1}, \qquad \mathbb E[H] = k \cdot \frac{k}{N}

H è il numero di numeri principali indovinati da una riga. Eurojackpot: 5 · 5/50 = 0.5 per riga con qualsiasi metodo.

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